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Première S - Schéma de Bernoulli – Loi binomiale

Son espérance est E(X) = sa variance est V(x) = et son écart type est ? (X) = . II) Schéma de Bernoulli. 1) Définition 1 : Schéma de Bernoulli.



Loi binomiale Lois normales

1.3 Espérance variance





Calcul élémentaire des probabilités

16 févr. 2006 écart-type sont alors donnés par les formules suivantes : ... On remplace la loi binomiale par la loi de Poisson de même espérance.



Ch. 5 : Echantillonnage estimation

X suit la loi binomiale B(500.5). Calculer p(X = 24)



VARIABLES ALÉATOIRES (Partie 2)

Tout le cours sur la loi binomiale en vidéo : https://youtu.be/xMmfPUoBTtM Calculer l'espérance et l'écart-type de la loi de probabilité de X.



Loi binomiale

V 3 Loi binomiale intervalle de fluctuation centré et simulation . PROPRIETE : Espérance



lois de poisson

L'espérance de X est E(X) = ? et sa variance est V(X) = ? ainsi son écart-type est ?(X) = ?. Propriétés. Les lois de Poisson interviennent dans la 



Etude dune loi binomiale avec le TInspire

3° Calculer l'espérance de . 4° Calculer l'écart type de . 1°) Déterminer la loi de probabilité de . est une variable aléatoire qui suit une loi 



Espérance variance et écart type Numworks

On cherche l'espérance ( ) la variance ( ) et l'écart type ( ) d'une v.a. dont on a la loi de probabilité : ?. ( = ).



Loi binomiale espérance et écart type- Terminale- Mathématiques

On admet les résultats suivants sur l'espérance et l'écart type d'une loi binomiale de paramètres n et p : E(X) = np ; V(X) = npq ;



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Une loi binomiale est une loi de probabilité d'une variable aléatoire X qui donne le V Espérance variance et écart-type de la loi binomiale



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V 3 Loi binomiale intervalle de fluctuation centré et simulation PROPRIETE : Espérance variance et écart-type d'une VA suivant la loi de Bernoulli



[PDF] Chapitre 3: Variables aléatoires discrètes Espérance-Variance Loi

4) Le nombre V ar(X) = E((X ? E(X))2) lorsqu'il existe est appelé variance de X et le nombre ?X = ?V ar(X) est l'écart type de X 5) Une v a X telle que E( 



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Quelle est la vraie loi de X ? (on ne donnera que la forme générale); quelle est son espérance son écart-type? 4 En approchant cette loi par celle d'une loi 



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Espérance variance et écart-type d'une variable aléatoire Définition de la loi binomiale Représentation graphique d'une loi binomiale



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Une batterie a une durée de vie normalement distribuée avec une espérance de 1000 heures et un écart type de 50 heures Trouver la proportion de batterie avec 

  • Comment calculer l écart type d'une loi binomiale ?

    ? calculer l'écart type de X : ?(X)=np(1?p) .

  • Comment calculer l'espérance avec une loi binomiale ?

    lorsque X suit une loi de probabilité "connue" (comme la loi binomiale par exemple), on dispose de formules. Par exemple, si X suit la loi binomiale de paramètres n et p alors l'espérance de X est E(X)=n×p.

  • Comment interpréter l'espérance d'une loi binomiale ?

    Lorsque la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p, alors l'espérance E\\left(X\\right) =np correspond à la valeur que prend X en moyenne. On appelle X la variable aléatoire donnant le nombre de boules blanches tirées dans une urne.
  • Quelle est la variance de la loi binomiale ? La variance de la loi binomiale est donnée par l'expression n p ( 1 ? p ) . Ici, (n\\) est le nombre d'expériences et est la probabilité de réussite. Si la variance d'une variable aléatoire est petite, alors les valeurs de la variable sont souvent proches de l'espérance.
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P2Loi binomialeCoursLoi binomiale

Probabilité - Chapitre 2

Table des matièresI Rappels et introduction, variable aléatoire discrète2

I 1 Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

I 2 Variance et écart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

I 2 a Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

I 2 b Propriétés de la variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

II Somme de variables aléatoires7

III Schéma de Bernoulli8

III 1 Problématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

III 2 Épreuve de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

III 3 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

III 4 Schéma de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

IV Loi binomiale12

IV 1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

IV 2 Propriété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

IV 3 Espérance et variance de la loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

V Introduction à l"échantillonnage15

V 1 Représentation : diagramme en barres (ou bâtons) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

V 2 Intervalle de fluctuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

V 3 Loi binomiale, intervalle de fluctuation centré et simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

V 4 Prise de décision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20C. DU BOIS Terminale Spécialité 1/ 21

P2Loi binomialeCoursI Rappels et introduction, variable aléatoire discrète

Variable aléatoire : définition

Loi de probabilitéExercice 1 - Activité -

Dans une entreprise on dispose de5 000euros pour le salaire de 5 personnes. Soit 3 manières A, B et C pour répartir ces5 000euros entre ces 5 personnes. Calculer la moyenne, la variance et l"écart-type de ces 3 répartitions des salaires.ABC

Personne 11 000800200

Personne 21 000900800

Personne 31 0001 0001 000

Personne 41 0001 1001 200

Personne 51 0001 2001 800

C. DU BOIS Terminale Spécialité 2/ 21

P2Loi binomialeCoursObjectifs : faire les calcul à la main pour rappels des définitions de ces indicateurs, puis utilisation du mode statistique de la calculatrice, et interprétation

des notions d"espérance et de variance.C. DU BOIS Terminale Spécialité 3/ 21

P2Loi binomialeCoursI 1 Espérance

DEFINITION : Espérance (moyenne)

L"espérance mathématique de la loi de probabilité deXest le nombreréel, notéE(X), défini par :E(X) =n

i=1p

ixi(Il s"agit de la moyenne pondérée par les probabilités, en statistique, la moyenne est pondérée par les fréquences.)

PROPRIETE : Linéarité

Soitaetbdeux réels etXune variable aléatoire. Alors :E(aX+b) =aE(X) +bDEMONSTRATION : SiXprend les valeursx1,x2, ...,xnalorsaX+bprend les valeursax1+b,ax2+b, ...,axn+b.

Donc quelle que soit la valeur dei, la probabilité deX=xiest égale à la probabilité deaX+b=axi+b.

Si on poseP(X=xi) =pi, on a alors :

E(aX+b) =n?

i=1(axi+b)P(aX+b=axi+b) =n? i=1(axi+b)pi=n? i=1ax ipi+n? i=1bp i=an? i=1p ixi+bn? i=1p i Or n? i=1p ixi=E(X)etn i=1p i= 1doncE(aX+b) =aE(X) +b.C. DU BOIS Terminale Spécialité 4/ 21

P2Loi binomialeCoursI 2 Variance et écart-type

I 2 a

Définitions

DEFINITION : Variance et écart-type

La variance de la loi de probabilité deXest lenombre réel positifnotéV(X)défini par :

V(X) =n

i=1p i(xi-E(X))2(Somme pondérée des carrés des écarts à la moyenne)

L"écart-type de la loi de probabilité deXest lenombre réel positifnotéσ(X)défini par :σ(X) =?V(X)C. DU BOIS Terminale Spécialité 5/ 21

P2Loi binomialeCoursI 2 bPropriétés de la v ariance

SoitXune variable aléatoire. Alors :V(X) =n?

i=1p ix2i-? n? i=1p ixi? 2 =E(X2)-E(X)2(Formule pratique pour les calculs)

DEMONSTRATION :

V(X) =n?

i=1p i(xi-E(X))2=n? i=1p i(x2i-2×xi×E(X) +E(X)2) =n? i=1p ix2i-2E(X)n i=1p ixi+E(X)2n? i=1p i or n? i=1p ix2i=E(X2),n? i=1p ixi=E(X)etn? i=1p i= 1doncV(X) =E(X2)-2E(X)2+E(X)2=E(X2)-E(X)2PROPRIETE : Non-linéarité de la variance Soitaetbdeux réels etXune variable aléatoire.

Alors pour lavarianceV(aX+b) =a2V(X)et en conséquence pour l"écart-typeσ(aX+b) =|a|σ(X)(valeur absolue dea)DEMONSTRATION :

V(aX+b) =n

i=1p i(axi+b-E(aX+b))2doncV(aX+b) =n i=1p i(axi+b-(aE(X) +b))2

V(aX+b) =n

i=1p i(axi-aE(X))2doncV(aX+b) =n i=1p ia2(xi-E(X))2

V(aX+b) =a2n?

i=1p i(xi-E(X))2doncV(aX+b) =a2V(X)

σ(aX+b) =?V(aX+b) =?a

2V(X) =|a|σ(X)C. DU BOIS Terminale Spécialité 6/ 21

P2Loi binomialeCoursII Somme de variables aléatoires PROPRIETE : admise, sera démontrée au chapitre P3

SoitXetYdeux variables aléatoires. On a alorsE(X+Y) =E(X) +E(Y)(2ème formule de lalinéaritéde l"espérance)

SiXetYsontindépendanteson a égalementV(X+Y) =V(X) +V(Y)REMARQUE(S) :

Lalinéarité de l"espérancese traduit par :E(X+Y) =E(X) +E(Y)etE(aX+b) =aE(X) +b(Applications linéaires, post-bac)

C. DU BOIS Terminale Spécialité 7/ 21

P2Loi binomialeCoursIII Schéma de Bernoulli

III 1 Problématique

Exercice 2 - Problématique -

On lance vingt fois de suite, dans les mêmes conditions, un dé bien équilibré à 6 faces.

1. Quelle est la p robabilitéd"obtenir 20 fois la face 6 sur les 20 lancers ? 2. Quelle est la p robabilitéd"obtenir 0 fois l aface 6 sur les 20 lancers ? 3.

Quelle est la p robabilitéd"obtenir 4 fois l aface 6 sur les 20 lancers ?C. DU BOIS Terminale Spécialité 8/ 21

P2Loi binomialeCoursIII 2 Épreuve de Bernoulli

DEFINITION : Épreuve de Bernoulli

S Sp

1-pLorsque, dans une expérience aléatoire, on s"intéresse uniquement à la réalisation d"un certain événementS(appelé

" succès ») ou à sa non-réalisationS(appelé " échec »), on dit que cette expérience est uneépreuve de Bernoulli.

Sipest un réel appartenant à l"intervalle[0 ;1], on modélise une épreuve de Bernoulli avec l"arbre ci-contre.

La probabilité dusuccèsSestpet celle de l"échecSestq= 1-p.III 3 Loi de Bernoulli

DEFINITION : Loi de Bernoulli

Soitpun réel de l"intervalle[0 ;1]et uneépreuve de BernoullidesuccèsSayant pourprobabilitép.

Lavariable aléatoireXsuit uneloi de Bernoullilorsqu"elle prend la valeur1 en cas de succès, et0 en cas d"échec.

On résume laloi de Bernoullipar le tableau :x

i10

P(X=xi)pq= 1-pExemple :Un jeu de dé est tel que le joueur gagne lorsque le 6 sort et perd dans le cas contraire.

SoitSl"événement " le 6 sort »; alors si le dé n"est pas pipé,P(S) =16 etP(S) = 1-16 =56

La variable aléatoire qui prend la valeur 1 si le 6 sort et la valeur 0 dans les cinq autres cas suit une loi de Bernoulli :x

i10

P(X=xi)1

65
6

C. DU BOIS Terminale Spécialité 9/ 21

P2Loi binomialeCoursPROPRIETE : Espérance, variance et écart-type d"une VA suivant la loi de Bernoulli

SiXest une variable aléatoire qui suit laloi de Bernoulli, alors :

L"espérancedeXestE(X) =p, savarianceestV(X) =p(1-p)et sonécart-typeestσ=?p(1-p)DEMONSTRATION :

•L"espérancedeXest :E(X) =P(X= 1)×1 +P(X= 0)×0 =p×1 + (1-p)×0 =p. •LavariancedeXest :V(X) =P(X= 1)×(1-E(X))2+P(X= 0)×(0-E(X))2=p×(1-p)2+ (1-p)×(0-p)2 V(X) =p×(1-p)2+ (1-p)×p2=p(1-p)(1-p+p) =p(1-p).

•Immédiat pour l"écart-type, racine carrée de la variance.Exemple :On reprend l"exemple précédent, et on a doncE(X) =16

etV(X) =16

×56

=536

C. DU BOIS Terminale Spécialité 10/ 21

P2Loi binomialeCoursIII 4 Schéma de Bernoulli

DEFINITION : Schéma de Bernoulli

Soitnun entiernaturel non nul.

Lorsque l"on effectuenépreuves de Bernoullisuccessives, identiques et indépendantes les unes des autres, on constitue alors unschéma de

Bernoulli d"ordren.Exemple :L"expérience consistant à effectuer 20 fois de suite le lancer de dé dans l"activité de début de chapitre est un schéma de Bernoulli d"ordre 20.C. DU BOIS Terminale Spécialité 11/ 21

P2Loi binomialeCoursIV Loi binomiale

IV 1 Définition

DEFINITION : Loi binomiale

Soitnun entiernaturel non nuletpunréel compris entre 0 et 1.

On considère unschémade Bernoulli constitué par la répétition denépreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Pour chacune d"elles, on

notepla probabilité d"obtenir un succèsS. SoitXlavariable aléatoireégale aunombre de succèsobtenus parmi lesnépreuves.

Alors on dit que la loi de probabilité deXest uneloi binomiale de paramètresnetp. On note :X ?→ B(n;p)IV 2 Propriété

PROPRIETE : Théorème

SoitXune variable aléatoire qui suit la loibinomialede paramètresnetp. Alors pour tout entierkcompris entre 0 etn, on a :

P(X=k) =?n

k?pk(1-p)n-kDEMONSTRATION : ♥Bac♥

L"événementX=kest associé à l"ensemble des chemins dans l"arbre pour lesquels il y a exactementksuccès et donc(n-k)échecs.

Chacun de ces chemins a une probabilité égale au produit des probabilités inscrites sur les branches qui constituent ce chemin, c"est-à-direpk(1-p)n-k.

Or, il y a

?n k?chemins de ce type. D"oùP(X=k) =?n k?pk(1-p)n-kRappel : ?n k?=n!(n-k)!k!C. DU BOIS Terminale Spécialité 12/ 21

P2Loi binomialeCoursExemple :

Considérons un schéma de Bernoulli constitué de la répétition de 4 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. On posep=P(S)oùSest le succès

de l"épreuve de Bernoulli. SoitXla variable aléatoire égale au nombre de succès obtenus parmi les 4 épreuves. Cette situation peut être représentée par l"arbre ci-après :•P(X= 4) =p4 •P(X= 0) = (1-p)4 •P(X= 1): L"événementX= 1est réalisé parquatrechemins différents de l"arbre. Chaque chemin comporte 1 succès parmi 4 épreuves.

Ce nombre de chemins est?4

1?. On a?4

1?= 4.

On remarque que chacun de ces chemins a la même probabilité :p(1-p)3quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34
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