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Succession d"épreuves indépendantes

Loi binomiale

Christophe ROSSIGNOL

Année scolaire 2020/2021Table des matières

1 Succession d"épreuves indépendantes

2

2 Loi de Bernoulli3

3 Schéma de Bernoulli - Loi binomiale

4

3.1 Un exemple pour comprendre

4

3.2 Schéma deBernoulli- Loi binomiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.3 Espérance, variance, écart-type

6

3.4 Un exemple de recherche de seuil

7

Table des figures

1 Répétition d"expériences identiques et indépendantes

2

2 Loi deBernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

3 Un exemple de schéma deBernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

4 Diagramme en barre de la loiB(20; 0,6). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

5 Différents diagrammes en forme de " cloche »

7 ?

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1

1 SUCCESSION D"ÉPREUVES INDÉPENDANTES

1 Succession d"épreuves indépendantes

Définition :Des expériences aléatoires sontindép endantessi l"issue de l"une quelconque de ces e xpériences

ne dépend pas de l"issue des autres expériences.Exemple :Une urne contient 4 boules rouges, 3 boules vertes et deux boules noires. On tire successivement

deux boulesavec remise. Il y a bien succession de deux expériences indépendantes.

On obtient l"arbre pondéré de la figure

1 .Figure1 - Répétition d"expériences identiques et indépendantes La probabilité de tirer une b oulev ertepuis un eb oulerouge est : p((V1;R2)) =39

×49

=13

×49

=427 La probabilité de tirer deux b oulesde même couleur est : p=p((R1;R2)) +p((V1;V2)) +p((N1;N2)) 49

×49

+39

×39

+29

×29

=16 + 9 + 481 =2981

Remarques :

1.

Si le tirage a vaitété sans remise, les expériences n"auraient pas été indépendantes (la répartition des

boules du deuxième tirage dépend de la couleur de la première boule tirée). 2. Le résultat se géné ralisea vecla propr iétésuiv ante. 2

2 LOI DEBERNOULLIPropriété :Soit une succession denépreuvesin dépendantesdon tl esuniv ersasso ciésson tΩ1,Ω2,...,

n.

L"univers associé à cette succession denépreuves indépendantes est le produit cartésien

1×Ω2× ··· ×Ωnet la probabilité de chaque issue(x1;x2;...;xn)est :

p((x1;x2;...;xn)) =p(x1)×p(x2)× ··· ×p(xn)Exercices :2 page 369; 21 page 381; 33, 36, 37 page 383; 79, 80 page 3871[Magnard]

2 Loi de BernoulliDéfinition :-On app elleépreuv ede Bernoullitoute épreuve àdeux issues p ossibles: un s uccès(noté

S) ou un échec (notéS).

La

loi de Bernoulliest la loi de probabilité de la variable aléatoireYprenant la valeur 1 si l"issue

est un succès, et 0 si l"issue est un échec.

On notep=p(Y= 1) =p(S).

pest appeléparamètre de la loi de Bernoulli.

On dit aus sique loi loi de probabilité de la v ariablealéatoire Ysuit la loi deBernoulli.Remarques :1.On p eutreprésen terla loi de Bernoullipar l"arbre pondéré de la figure2 .Figure2 - Loi deBernoulli

2.

La loi de probabilité de Yest alors :k01

p(Y=k)1-pp

Exemple :On lance un dé équilibré à six faces, les faces étant numérotés de 1 à 6.

On considère qu"il y a un succès lorsque le résultat du lancer est un 6, un échec sinon. Il s"agit d"une épreuve deBernoullide paramètre16

Elle correspond à la loi de Bernoulli :k01

p(Y=k)5 61
6 Propriété :SoitYune variable aléatoire suivant la loi deBernoullide paramètrep. E(Y) =pV (Y) =p(1-p)σ(Y) =?p(1-p)Démonstration : E(Y) =p(Y= 0)×0 +p(Y= 1)×1 =p×1 =p1. Succession d"épreuves indépendantes 3

3 SCHÉMA DEBERNOULLI- LOI BINOMIALEV(Y)= p(Y= 0)×(0-E(Y))2+p(Y= 1)×(1-E(Y))2

(1 -p)×p2+p×(1-p)2=p(1-p)[p+ 1-p] =p(1-p)

σ(Y) =?V(Y) =?p(1-p)

Exercices :39, 40, 43, 45 page 3832[Magnard]

3 Schéma de Bernoulli - Loi binomiale

3.1 Un exemple pour comprendre

Exemple :On considère l"expérience aléatoire consistant à lancer trois fois de suite un dé à 6 faces non

truqué. La variable aléatoireXreprésente le nombre de fois que le numéro 6 est sorti au cours de ces 3

lancers.

On peut modéliser cette expérience par une répétition indépendante de l"épreuve deBernoullide

l"exemple du 2

On obtient l"arbre pondéré de la figure

3 La variable aléatoireXpeut prendre les valeurs 0, 1, 2 ou 3. -X= 0correspond à l"événement??S;S;S

On a donc :

p(X= 0) =56

×56

×56

=?56 3 =125216 -X= 1correspond à l"événement??S;S;S ?;?S;S;S ?;?S;S;S??.

On a donc :

p(X= 1) =16

×56

×56

+56

×16

×56

+56

×56

×16

= 3×16

×?56

2 =75216 -X= 2correspond à l"événement??S;S;S ?;?S;S;S?;?S;S;S??.

On a donc :

p(X= 2) =16

×16

×56

+56

×16

×16

+16

×56

×16

= 3×?16 2

×56

=15216

X= 3correspond à l"événement{(S;S;S)}.

On a donc :

p(X= 3) =16

×16

×16

=?16 3 =1216

3.2 Schéma de Bernoulli - Loi binomialeDéfinition :-On app ellesc hémade Bernoullid"ordrenl"expérience consistant àrép éternfoisde

manière indép endantes la même é preuvede Bernoulli de paramètre p. La loi binomiale de paramètres netpest la loi de probabilité de la variable aléatoireXprenant prenant comme valeurs le nombre de succès (S) obtenus au cours desnépreuves du schéma de

Bernoulli. Elle est notéeB(n;p).

On dit aus sique loi loi de probabilité de la v ariablealéatoire Xsuit la loi binomiale de paramètres

netp.Remarque :Dans l"exemple du3.1 , on a donc un schéma deBernoullid"ordre 3. La variable aléatoireXsuit la loi binomiale de paramètres 3 et16 Exercices :3, 4 page 371 et 50 page 3843[Magnard]2. Loi deBernoulli.

3. Schéma deBernoulli.

4

3 SCHÉMA DEBERNOULLI- LOI BINOMIALE 3.2 Schéma deBernoulli- Loi binomialeFigure3 - Un exemple de schéma deBernoulli

5

3.3 Espérance, variance, écart-type 3 SCHÉMA DEBERNOULLI- LOI BINOMIALEPropriété :SoitXune variable aléatoire suivant laloi B(n;p).

1.

Les v aleursde Xsont{0; 1; 2;...;n}

2.

P ourtout k? {0; 1; 2;...;n}:

p(X=k) =?n k? p k(1-p)n-kDémonstration

Le 1. est évident.

Sur un arbre représentant un schéma de Bernoulli, tout chemin menant àksuccès comportek succès et(n-k)échecs. Sa probabilité est doncpk(1-p)n-k.

De plus, le nombre de chemins comportantksuccès représente le nombre de façons différentes de

placerksuccès parminchemins, sans ordre (car tous les succès sont les mes). Il y en a donc?n k?

On aboutit donc àp(X=k) =?n

k? p k(1-p)n-k.

Remarque :On peut utiliser la calculatrice pour trouver calculer des probabilités suivant une loi binomiale.

Voir le TP 1 page 398

4[Magnard].

Exercices :5, 6 page 373; 53, 54, 56 page 3845- 7, 8 page 373 et 58, 59, 61, 62 page 3846-83, 84 page

388

7- 85, 86, 87, 89 page 3888

3.3 Espérance, variance, écart-typePropriété :(admis)

SoitXune variable aléatoire suivant laloi B(n;p).

Son esp éranceest : E(X) =np

Sa v arianceest : V(X) =np(1-p)

Son écart-t ypeest : σ(X) =?np(1-p)Forme du diagramme en barres associés : le diagramme en barres asso ciéà Xesten forme de clo che, approximativementcen trésur son esp é- ranceE(X)(voir figure4 );Figure4 - Diagramme en barre de la loiB(20; 0,6)

p ourun même paramètre n, pluspest éloigné de 0,5plus l"écart-t ypeσ(X)est petitet plus la clo che

est " étroite » et " haute » (v oirfigure 5

Exercices :64, 66, 67, 69 page 3859- 9, 10 page 375 et 70, 71 page 38610- 90 page 388 et 91 page 38911

- 133 page 396 et 140 page 397

12[Magnard]4. Calculatrice et loi binomiale.

5. Loi binomiale, utilisation de la formule.

6. Loi binomiale, utilisation de la calculatrice.

7. Exemples d"utilisation d"une loi binomiale.

8. Cas particulier dep(X= 0)etp(X=n).

9. Espérance, variance d"une loi binomiale.

10. Utilisation du diagramme en " cloche »

11. Comparaisons de lois binomiales.

12. d"autres lois.

6 RÉFÉRENCES 3.4 Un exemple de recherche de seuil Figure5 - Différents diagrammes en forme de " cloche »

3.4 Un exemple de recherche de seuil

Soitα?]0; 1[etXune variable aléatoire qui suit la loiB(n;p).

Les calculatrices permettent de déterminer un seuil, c"est-à-dire déterminer la plus petite valeur dektel que

Exemple :

Une société de vente en ligne de matériel de jardinage propose à ses clients des lots de 80 asperseurs.

Une étude a montré que5%des asperseurs vendus sont défectueux.

On noteXla variable aléatoire qui compte le nombre d"asperseurs défectueux sur le lot de 80 asperseurs.

Xsuit la loiB(80; 0,05).

La société souhaite déterminer le plus petit nombre d"asperseursktelle que la probabilité que moins de

kasperseurs soient défectueux soit supérieure à 99,9 %, c"est-à-dire chercher la plus petite valeur dek

telle que :

On utilise la calculatrice en utilisant le protocole suivant :On trouve qu"il faut au minimum 11 asperseurs.

Exercices :11, 12 page 377; 15, 16 page 378; 17, 18 page 379; 72, 74 page 386 et 103, 105 page 39013

Magnard

Références

[Magnard]

Maths Tle Sp écialité,Magnard, 2020

3 4 6

7 13. Recherche de seuils

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