[PDF] D.M. 15 (?) (parfois (??)) : introduction `a la topologie de R

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D.M. 15(?)(parfois(??)) : introduction a la topologie deRNotation :Pour un intervalleI=[a;b]ou bienJ=]a;b[, on notera`(I)=`(J)=b-aappele

longueurde l'intervalle.

0) Preliminaires sur la denombrabilte

Cette partie n'est pas directement liee au theme du devoir, mais elle permettra de mieux com- prendre certains exemples, et est importante dans beaucoup de contextes. Denition :Un ensembleEest ditdenombrables'il existe une bijection'deNdansE. Remarque :Toute partie innie deNest denombrable. (Voyez-vous pourquoi?) Denition :Un ensemble est ditau plus denombrables'il existe unesurjectiondeNdansE, ce qui est equivaut en fait a dire queEest en bijection avec une partie deN, donc est ni ou denombrable. a) Rappeler sans entrer dans les details des justications comment on construit une bijection entreZetNd'une part et entreN2etNd'autre part. b) Exhiber une surjection deZ×NdansQ. En deduire queQest denombrable. c) Plus nouveau : nous allons montrer queRn'estpasdenombrable et cela de deux facons dierentes. Plus precisement nous allons montrer que[0;1]n'est pas denombrable. (M1) En coupant en trois, avec le theoreme des segments emboites Par l'absurdesi[0;1]est denombrable. Autrement dit on suppose qu'on a'?N→[0;1] bijective, et on note (pour simplier)'(n)=rnpour toutn?N. En particulier la surjectivite de' donne :[0;1]={rn;n?N}: on dit que(rn)est une enumeration de[0;1]. L'idee (geniale) de Cantor, est de couper[0;1]en trois morceaux :[0;1?3],[1?3;2?3],[2?3;1]. Parmi ces trois intervalles, il y en a au moins un qui ne contient pasr0. On choisit le premier (en partant de la gauche) de ces trois intervalles qui ne contient parr0 et on l'appelleI0. (Sir0??[0;1?3],I0=[0;1?3], sinon et sir0??[1?3;2?3],I0=[1?3;2?3]et sinon I

0=[2?3;1]).

On suppose ensuite qu'on a construit une suite de segments emboitesIn?In-1?????I1?I0, ou a chaque etape`(Ik)=13 :`(Ik-1)etrk??Ik.

AinsiIn, ne contient aucun element de{r0;:::;rn}.

(i) En deduire comment fabriquerIn+1veriant les m^emes proprietes a savoir queIn+1?In, `(In+1)=13 :`(Ik-1)etrn+1??In+1. On a ainsi par recurrence fabrique une suite de segments embo^tes(In)dont le diametre tend vers zero. (ii) En considerant ⋂n?NIn={c}montrer unecontradiction. (M2) Avec le developpemnt decimal et procede diagonal (encore de Cantor). On suppose encore qu'on a une enumeration(rn)de[0;1]i.e. une bijection'?N→[0;1], n↦'(n)=rn. Chaque nombreriadmet une ecriture decimale propreri=0;ri;1ri;2:::ri;n:::avec lesri;n? ⟦0;9⟧. On considere alors le reelx?[0;1]de la formex=0;x1:::xn:::dont lan-ieme decimalexn est denie comme suit : ?si lan-ieme decimalern;ndernest dierente de 1 alorsxn=1, ?sirn;n=1 alorsxn=2. Justier que ce nombrex(bien deni) ne peut ^etre de la formernpour aucunn?N. On en deduit l'application'?N→[0;1],n↦rnn'est pas surjective comme on l'avait suppose, contradiction. 1

1) Ouverts et fermes deR:

a) Ouverts :Denition : Un sous ensembleAdeRest ditouvertsi, et seulement si,

?x?A;?">0;]x-";x+"[?A:Autrement ditAest ouvert si, et seulement si, pour chaque pointxdeA, il existe un voisinage

dexinclus dansA. (i) Verier que les intervalles ouverts]a;b[ou]a;+∞[ou]- ∞;a[sont ouverts, et que par exempleI=[a;b]n'est pas ouvert (ouaRemarquer aussi que∅etRsont ouverts. (ii) Verier qu'une reunion (m^eme innie) d'intervalles ouverts est encore ouverte c'est-a-dire que siIest un ensemble quelconque et(Ui)i?Iest une famille d'ouverts indexee parIalors⋃ i?IU i est un ouvert. Remarque {En fait un ouvert deRest toujours une reunion (eventuellement innie) d'intervalles ouverts. En eet pour toutx?Asi on note"x>0 un"tel que]x-"x;x+"x[?A, on a

A=⋃

x?A]x-"x;x+"x[ (†)

Ce qui est un peu deplaisant avec l'ecriture (†) precedente est que les intervalles bien s^ur se

chevauchent, voir la remarque du c). (iii) Montrer que l'intersection d'un nombrenid'ouverts est un ouvert, mais donner un exemple d'une intersection innie d'ouverts qui ne donne pas un ouvert. (iv) On rappelle que pour tout sous-ensembleAdeR, on a deni son interieur○Acomme {x?A;?">0;]x-";x+"[?A}. Montrer queAest ouvert si, et seulement si,A=○A. b) Fermes :Denition :Un sous-ensembleFdeRest ditfermesi, et seulement si, son complementaire {a}) et aussi[a;+∞[sont fermes. (ii) Verier que l'ensembleZest ferme dansR. (iii) Montrer qu'une intersection quelconque de fermes deRest un ferme deR. c) Autres exemples d'ouverts et de fermes : (i) Justier queF={0}?{1n ; n?N?}est un ferme. Denition {Pour un intervalleI=[a;b], on appellelongueur deIle nombre`(I)?=b-a. SiIest une reunion d'intervallesJkdeux a deux disjoints on noteral(I)=∑k`(Jk). Si cette famille est innie, cette somme sera une limite. (ii) SoitU=⋃ k?N]k-13 k+1;k+13 k+1[. Montrer que cet ensemble ouvert est de longueur 1 (bien qu'il contienne tous les entiers naturels). Remarque :dans les deux exemples precedents, on a immediatement pour l'ouvertUconsidere au (ii), et pour le fermeFconsidere au (i) en denissantU′=R∖F, une ecriture deU(et U

′) comme reunion d'intervalles ouverts deux a deux disjoints. En fait, on peut montrer qu'il est

toujourspossible d'ecrire un ouvert ainsi, mais attention la forme du ferme complementaire de 2 l'ouvert peut-^etre beaucoup plus compliquee comme etudie avec l'exemple de l'ensemble de Cantor donne plus loin. d) Notion de point isole et de point d'accumulation : Denition :SoitA?R. Un pointa?Aest ditisole(dansA) ssi il existe un">0 tel que ]a-";a+"[∩A={a}.

Sinon, on dit queaest unpoint d'accumulationdeA.

Par exemple siA1={1n

;n?N?}etA={0}?{1n ; n?N?}determiner les points isoles et les points d'accumulation resp. deA1et deA.

Noter queAest ferme et queA1lui n'est pas ferme.

2) Caracterisation sequentielle des fermes

a) Demontrer l'equivalence suivante :A?Rest ferme si, et seulement si, [pour toute suite (an)?AN, si(an)est convergente dansRalors sa limite est dansA]. (Bien s^ur les intervalles fermes verient cette propriete). b) Retrouver, a l'aide de la prop. du a), le fait queZest ferme dansR, en considerant ce qu'est une suite d'entiers qui converge. c) Soit(un)une suite convergente, soitlsa limite etA={un;n?N}?{l}. Demontrer que cet ensemble est ferme.

3) Distance a un ensemble et adherence

PourA?Retx?R, on denit la distance dexaA,d(x;A)def=inf{?x-a?; a?A}. a) Montrer qued(x;A)=0??(an)?AN; an?→n→+∞x. b) On appelleadherence deAet noteA={x?R; d(x;A)=0}. Justier queAestferme dansRsi, et seulement si,A=A. c) Que dire de l'adherence deAdansRsiAest dense dansR? Retenir que les proprietes : fermes et denses sont ≪opposees≫en ce qui concerne l'adherence.

4) L'exemple de l'ensemble de Cantor (attention exemple plus dicile!)

Construction :On part de l'intervalleI0=[0;1]. On lui retire l'intervalle ouvert de son tiers du milieu. On obtientI1=[0;1?3]?[2?3;1]. On recommence : on retire a chacun des deux intervalles constituantI1son tiers du milieu. On obtientI2=[0;1?9]?[2?9;1?3]?[2?3;7?9]?[8?9;1]et on recommence. On construit alors par recurrence une suite d'ensembles fermes(Cn)n?Ntelle que chaque en-

sembleCnest reunion de 2nintervalles fermes de m^eme longueur.On appelleensemble de Cantorl'ensembleC=⋂

n?NC n.3 On peut caracteriser les points deCa l'aide de l'ecriture en base 3. On rappelle la propriete : Propriete :Tout reel positif non nul admet une ecriture (developpement en base 3); avec lesak?⟦0;2⟧. Cette ecriture est unique sauf pour lesx?Qdont le denominateur (de l'ecriture reduite) est une puissance de 3 : pour ceux-ci on a une ecriture propre (dev. ni) et une ecriture impropre ou tous lesa-ksont egaux a 2 A.P.C.R.

On ecrirax=am:::a0;a-1:::a-k:::en base3.

Par exemple 1=0;2222:::(a gauche l'ecriture naturelle qui est aussi l'ecriture propre, a droite ecriture impropre) en base 3, et 1?3=0;1=0;02222:::en base 3 (a gauche ecriture rationnelle, au milieu ecriture propre en base 3 et a droite l'ecriture impropre en base 3) Pour unx?[0;1[, l'ecriture precedente devient bien s^urx=+∞ k=1a -k3-k. On notera plut^ot b k=a-ket doncx=+∞ k=1b k3-kun developpement en base 3 dex. On ecrirax=0;b1:::;bk:::en base 3. a) Caracterisation des points deCa l'aide de l'ecriture en base3: Regardons les points a l'origine des intervalles deCn ?Pourn=1, il s'agit de 0 et de 2?3=0;2 en base 3 ?Pourn=2, il s'agit de 0, 2?9=0;02 en base 3, 2?3=0;2 en base 3, et 8?9=2?3+2?9=0;22 en base 3. Idee :Si pour unn?N,xest a l'origine d'un intervalle formantCn+1, deux cas seulement sont possibles : | Ou bienxetait deja a l'origine d'un intervalle deCn, | Ou bienx=y+23 n+1ouyest a l'origine d'un intervalle deCn.

Questions :

(i) En deduire la forme d'une ecriture en base trois des nombresxqui sont a l'origine (borne de gauche) d'un intervalle deCn. (ii) Caracteriser alors lesx?Cna l'aide de leur developpement en base trois (eventuellement impropre pour les bornes de droite des intervalles). (iii) En deduire queCest l'ensemble des reels dans[0;1]dont au moins une des deux ecritures en base trois ne comporte pas de 1 i.e. seulement des 0 et des 2. Remarque :Ceci doit faire comprendre queCcontient≪beaucoup plus≫de nombres que les seules extremites des intervalles desCn. On peut montrer a l'aide de cette caracterisation des elements deCavec le developpement en base 3 queCn'est pas denombrable (en adaptant la preuve de la (M2) de la non-denombrabilite deRvue au 0)). On peut aussi exhiber directement une surjection deCsur[0;1]. b) Interieur et longueur du complementaire : (i) Montrer queCest ferme (donc pas du toutdense dans[0;1]) et d'interieur vide. (ii) On noteUn=[0;1]∖Cn. Calculer la longueur deUn. En passant a la limite en deduire la longueur deU=[0;1]∖C. c) Points d'accumulation : Montrer que l'ensemble de CantorCn'a aucun point isole. (Mediter sur le fait que ceci ne contredit pas du tout le fait queCest pourtant ferme et d'interieur vide!). 4quotesdbs_dbs27.pdfusesText_33

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