denombrabilite.pdf
May 14 2005 Comme R n'est pas dénombrable (théor`eme 1)
D.M. 15 (?) (parfois (??)) : introduction `a la topologie de R
Définition : Un ensemble E est dit dénombrable s'il existe une bijection ? c) Plus nouveau : nous allons montrer que R n'est pas dénombrable et cela de ...
Sans titre
A étant une partie de R et f une fonction de R dans R n'est pas forcément le même ... Nous démontrons que l'ensemble infini R n'est pas dénombrable.
Chapitre 1 :Ensembles dénombrables topologie de R
https://melusine.eu.org/syracuse/immae/mp/mathematiques/01.pdf
On the distribution of prime numbers which are of the form x2+y2+l
Jp (2t) est convergent et n'est donc pas nul si tes. Travaux cités Namely we must prove the uniformity of the value r(n) in an arithmetical.
1 Introduction 2 Dénombrabilité
Jan 4 2014 (Cantor). Corollaire 31. L'ensemble des irrationnels n'est pas dénombrable. Exemple 32. ]0
Colle semaine 1
Sep 17 2020 Montrer que R n'est pas dénombrable. Cours 3. Montrer que pour K un corps
DÉNOMBRABLE OU CONTINU
Un ensemble E est dit « dénombrable » s'il existe une bijection de ` sur E Pour montrer que ] 0 ; 1 [ [ n'est pas dénombrable on raisonne par l'absurde ...
Annexe A - Ensembles dénombrables
n'est pas unique s'il y a au moins deux pommes mais l'entier n que l'on On dit d'un ensemble qu'il est dénombrable s'il est en bijection avec une.
Introduction 1 Les infinis dénombrables 2 La théorie de Zermelo
ensemble infini avant de chercher les ensembles en bijection avec R. La derni` d'apr`es le théor`eme de Cantor P(N) n'est pas dénombrable donc R n'est.
[PDF] DENOMBRABILITE
14 mai 2005 · Fin du cours n09 Corollaire 11 L'ensemble des nombres irrationnels n'est pas dénombrable Preuve Par l'absurde Comme Q est dénombrable si R
[PDF] Ensembles dénombrables
On a alors défini une bijection entre l'ensemble des pommes du panier et l'ensemble [1n] Cette bijection n'est pas unique s'il y a au moins deux pommes mais
[PDF] DÉNOMBRABLE OU CONTINU
DÉNOMBRABLE OU CONTINU ? Objectif Déterminer pour divers ensembles simples s'ils sont dénombrables ou continus Démontrer que ` et \ ne sont pas
[PDF] 35 “plus déléments” que N : les ensembles non dénombrables
ensembles étaient dénombrables puisque Z est dé- nombrable et même Q l'est Cependant nous allons voir que R lui ne l'est pas
[PDF] 2 Ensembles et dénombrabilité
Attention ce n'est pas l'ensemble R puisque c'est un ensemble fini (il n'y a que Les ensembles infinis dénombrables en bijection avec IN de cardinal
[PDF] Ensembles dénombrables topologie de R suites numériques
Donc f n'est pas surjective Corollaire : N n'est pas équipotent à )( N P Exemple : L'ensemble R n'est pas dénombrable (démonstration de Cantor) :
[PDF] Soit A une partie infinie de N Notons a le plus petit élément
5 déc 2014 · Conclu- sion ? (4 ) Montrer que R n'est pas dénombrable (5 ) Montrer que l'ensemble des irrationnels n'
[PDF] Quelques notions sur la dénombrabilité - Gargantua de lX
L'ensemble des nombres réels irrationnels n'est pas dénombrable (si tel n'´tait pas le cas R = (R ? Q) ? Q) serait dénombrable) Quelques notions sur la
[PDF] TD2 Mercredi 26 septembre Mathématiques discrètes Exercice 0 : 1
Démontrer que ?? n'est pas dénombrable (sauf si ? est un singleton) Solution: En utilisant le théorème de Cantor Bernstein démontrer que NN et R sont
Exercices corrigés -Ensembles dénombrables ensembles équipotents
En déduire que l'ensemble des applications de N N dans N N n'est pas dénombrable Indication Corrigé
Pourquoi l'ensemble R n'est pas dénombrable ?
Pour démontrer que ? est non dénombrable, il suffit de démontrer la non-dénombrabilité du sous-ensemble [0, 1[ de ?, donc de construire, pour toute partie dénombrable D de [0, 1[, un élément de [0, 1[ n'appartenant pas à D. Soit donc une partie dénombrable de [0, 1[ énumérée à l'aide d'une suite r = (r1, r2, r3, … ).Est-ce que R est dénombrable ?
R n'est pas dénombrable. Il suffit de montrer que le segment [0,1[ ne l'est pas. Pour cela, on applique une méthode connue sous le nom de procédé diagonal de Cantor.Comment montrer qu'un ensemble n'est pas dénombrable ?
Alors ?n ? 1, x = xn car an = an,n, ce qui est une contradiction. Un sous-ensemble A ? R tel que ? A = 0, n'est pas dénombrable. R n'est pas dénombrable. L'ensemble des nombres réels irrationnels n'est pas dénombrable (si tel n'´tait pas le cas, R = (R ? Q) ? Q) serait dénombrable).- En mathématiques, un ensemble est dit dénombrable, ou infini dénombrable, lorsque ses éléments peuvent être listés sans omission ni répétition dans une suite indexée par les entiers.
Colle semaine 1
Pierre Le Scornet
17 septembre 2020
Cours 1
Montrer queZ=nZest un corps si et seulement sinest premier.Cours 2
Montrer queRn"est pas dénombrable.
Cours 3
Montrer que pourKun corps, les idéaux deK[X]sont de la formePK[X],Punitaire ou nul.
Exercice 1 - *
Cours : SoitA1;:::Andes anneaux. Donner la définition de l"anneau produit A1 An.
1) Quels sont les inversibles de cet anneau?
2) À quelle condition l"anneau produitABest-il un corps / est intègre?
Solution
1)(x1;:::xn)est inversible ssi il existe(y1;:::yn)tel quexy= (1;:::1),
ssi il existey1;:::yntel que81in;xiyi= 1, c"est à direx1:::xnsont tous inversibles.2) On s"intéresse au produit(0;1)(1;0) = (0;0). SiABest intègre (ou
plus particulièrement un corps), cette égalité implique que(1;0) = 0ABou (0;1) = 0AB. Ainsi, ouAest réduit à0ouBl"est. Ainsi,ABest un 1 corps/intègre ssi l"un des deux anneaux est réduit à0et l"autre est intègre/un corps.Exercice 2 - *
Les groupes suivants sont-ils isomorphes?
-(R;+)et(Q;+) -(R;+)et(R+;) -(R;+)et(R;) -(Q;+)et(Q+;)Solution
1) Non car ils ne peuvent pas être en bijection,Rest indénombrable.
2) La fonction exponentielle convient.
3) Raisonnons par l"absurde, en supposant qu"on a bien un isomorphisme.
Pourx=12R, on axx= 1donc son antécédentypar l"isomorphisme vérifiey+y= 0, doncy= 0, ce qui est incompatible avecx=1.4) Par l"absurde aussi, supposons qu"il existe un isomorphismefentre ces
deux groupes. Dans le premier groupe, pour touty2Qil existex2Qtel quex+x=y. Or pouryl"antécédent de22Q+, on ax=p2=2Q+.Exercice 3 - **
Montrer queGest fini si et seulement si il possède un nombre fini de sous- groupe.Solution
Le sens direct est trivial (car les sous groupes deGsont inclus dans les sous-ensembles deG, qui sont en nombre fini). Pour la réciproque, on va le montrer en deux étapes. D"une part, pourx2G, le groupe engendré par xest soit fini (n:x= 0pour un certainn2N), soit infini et isomorphe à (Z;+). S"il est isomorphe àZ, alors il a une infinité de sous-groupes ce qui est impossible carGa un nombre fini de sous-groupes, donchxiest isomorphe àZ=nZ;n2N. D"autre part, puisqueG=[x2Ghxi, et qu"on a un nombre fini de sous-groupes de la formehxi(qui sont finis),Gest fini. 2Exercice 4 - *
1) SoitARdénombrable. Montrer queRnAn"est pas dénombrable.
2) SoitBun ensemble disjoint deR. Montrer queR[Bn"est pas dénom-
brable. Bonus)f0;1gNest-il dénombrable? (penser à la diagonale de Cantor) Bonus) Montrer quef0;1gNest en bijection avecR. (ne pas hésiter à de- mander des indications)Solution
1) Supposons queRnAétait dénombrable. AlorsR=A[(RnA)est l"union
de deux ensembles dénombrables, il est donc dénombrable, ce qui est absurde.2) Supposons queR[Best dénombrable. Alors il existe une bijection de
R[BdansN. La restriction de cette fonction àRest donc injective deR dansN, ce qui est absurde. Bonus 1) On montre qu"il n"est pas dénombrable de la même façon que l"on montre que[0;1[n"est pas dénombrable. On remplace juste les suites des décimales des nombres de[0;1[par les suites def0;1gN, et on construit une suite composée des1bnlenebit de lanesuite de notre dénombrement de f0;1gNet on montre qu"il n"est pas dans notre dénombrement. Bonus 2) On construit tant bien que mal deux injections dans chaque sens. Pour la première, on peut prendref:u2 f0;1gN7!P+1 n=0u n10 n, et pour la seconde, on prendg:x2[0;1[7!ux2 f0;1gNl"écriture binaire principale de ce nombre (comme l"écriture décimale, sauf qu"au lieu de regarder le chiffre en10nentre0et9on regarde le terme en2nentre0et1).Exercice 5 - **
On dit quexest algébrique s"il est racine d"un polynôme à coefficients ra- tionnels.1) Existe-t-il des réels non algébriques?
Solution
On sait queQest dénombrable. Montrons queQ[X]est dénombrable. D"une part, pourn2N Qn[X]l"ensemble des polynômes de degré au plusnest immédiatement en bijection avecQn+1, il est donc dénombrable. D"autre part,Q[X] =[n2NQn[X], il est donc une union dénombrable de dénom- brables. Ainsi,Q[X]est dénombrable. Enfin, l"ensemble des nombres algé- 3 briques est égal à[P2Q[X]racine(P), une union dénombrable d"ensembles finis non vides, donc il est dénombrable.Exercice 6 - **
SoitEun ensemble quelconque. Montrer queP(E)l"ensemble des sous- parties deEn"est pas en bijection avecE.Solution
Comme pour la diagonale de Cantor, l"idée est de démontrer que s"ils sont en bijection, on trouve un élément deP(E)qui conduit à une absurdité. Soitfune bijection deEdansP(E), etF=fx2E;x =2f(x)g. Alors pour l"uniquex2Etel quef(x) =F, on a deux cas : Si x2F, alors par définition deF x =2f(x) =F, ce qui est une contradiction, Si x =2F, alors par définition deFon ax2f(x) =Fce qui est contradictoire. On a donc une absurdité, et on conclut queEetP(E)ne sont pas en bijection.Exercice 7 - ***
Pourn2Nà quoi est congru(n1)!modulon?
Solution
P ournnon premier (doncn >3, on a deux cas :
ou n=pk,ppremier etk >1. Sip=k= 2, alors(n1)! = 62 mod 4. Sinonp;2p;:::kpsont membres du produit(n1)!(car kp < p k, avec(k;p)6= (2;2)). Ainsi, le produitk!pkdivise(n1)!, doncpkj(n1)!et(n1)!0 modn. Sinon, n=ab,a;b >1.aetbsont deux termes du produit(n1)!, donc(n1)!0 modn.Dans l ecas npremier, on a deux cas :
Si n= 2, on a(n1)! = 1 1 mod 2.
Si nest un premier impair, alors on sait que tous les éléments1;:::(n1)sont inversibles dansZ=nZ. Leur inverse fait partie
de cette séquence de nombre : on peut donc regrouper par paire les éléments et leurs inverses. Deux éléments sont leurs propres 4 inverses :1et1(qui sont différents puisquen >2). Ainsi,(n1)!1:1:(x1:x11):::::(xn32
:x1 n32 ) modn, c"est à dire(n1)! 1 modn.
5quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34[PDF] montrer que n*n est dénombrable
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