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Pour montrer que R n'est pas dénombrable l'idée est de montrer que R est en bijection avec P(N) en utilisant le développement décimal des nombres réels. Ceci
1 Tribus
R stable par complémentaire et par intersection dénombrable. Vérions que A est bien une tribu. R = ? n i=1 Ai appartient bien à A. Soit B = ?i?I Ai un
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Cardinalité des ensembles finis
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MAT-22257 : Exercices COURS 6 Réponses etou solutions
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Cardinaux chapitre 3 I Généralités
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(4) Si E est dénombrable et T est une tribu sur E alors T est dénombrable. (3) Montrer que BR n'est pas engendrée par une partition de R.
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Exercices corrigés -Ensembles dénombrables ensembles équipotents
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Comment montrer que n * est dénombrable ?
On dit qu'un ensemble X est dénombrable s'il est fini ou s'il est en bijection avec N. Exemple : N ? {0}, 2N, Z sont dénombrables. (1) ?0(n) = n + 1 réalise une bijection de N sur N ? {0}.- Q est dénombrable. Tout rationnel s'écrit de façon unique comme fraction réduite x = p/q o`u q ? 1 et p ? q = 1. L'application f : Q ?? Z × N, f(x) = (p, q) est injective, c'est une bijection sur son image, un sous-ensemble de Z × N.14 mai 2005
Annexe A
Ensembles dénombrables
A.1 Cardinal
Lorsque l'on veut dénombrer les éléments d'un ensemble fi ni (par exemple, si on veut savoir combien de pommes contient un panier, ou combien de rayures a Arthur le glomorphe à rayures), on établit une bijection entre un ensemble d'entiers et l'ensemble en question. Onattribue le nombre 1 à une pomme, le nombre 2 à une autre, le nombre 3 à une troisième, et
ainsi de suite, jusqu'à fi nalement attribuer un entier nà la dernière pomme. On a alors dé
fi ni une bijection entre l'ensemble des pommes du panier et l'ensemble 1 ,n . Cette bijection n'est pas unique s'il y a au moins deux pommes, mais l'entier n que l'on obtient est toujours le même. On dit alors qu'il y a n pommes dans le panier. Lorsque l'on est plus jeune, et que l'on doit encore compter sur ses doigts, on établit en fait une bijection entre l'ensemble des pommes et un ensemble de doigts. Dans tous les cas, on a compté en établissant une bijection entre l'ensemble étudié et un ensemble de référence bien compris. Imaginons maintenant que ces pommes soient destinées au goûter d'un groupe d'enfants. Si on peut donner exactement une pomme à chaque enfant (chacun reçoit exactement une pomme, et aucune pomme ne reste à la fi n), alors même si on ne sais pas combien on avait de pommes et combien il y a d'enfants, on peut dire qu'il y avait exactement autant de pommes qu'il n'y a d'enfants. Ces notions sont intuitivement claires tant qu'on ne manipule que des ensembles fi nis. Comparer le nombre d'éléments pour des ensembles in fi nis peut par contre amener quelques surprises... Dé fi nition A.1.On dit que deux ensembles
E et F qu'ils ont même cardinal s'il existe une bijection de E dans F . Dans ce cas on écrira Card E Card FThéorème A.2
(Théorème de Cantor-Bernstein)Soient
E et F deux ensembles. S'il existe une injection de E dans F et une injection de F dans E , alors il existe une bijection de E dans FDémonstration.
Soit f une injection de E dans F et g une injection de F dans E . On note F g F E.On peut alors voir
g comme une bijection de F dans˜F. On maintenant E
0 E \˜F puis, par récurrence sur n N E n +1 g f E n Pour x E on note h x g f x si x n N E n x sinon.Cela dé
fi nit une bijection de E dans˜F. g
1 h est alors une bijection de E dans F 1 L2 Parcours Spécial - S3 - Mesures et IntégrationA.2 Ensembles
fi nis - Ensembles in fi nisLemme A.3.
Soit n,p N 2 . S'il existe une injection de 1 ,n dans 1 ,p alors n pDémonstration.
On montre le résultat par récurrence sur
p N . Si p = 0 alors n = 0 , car il n'existe pas d'application d'un ensemble non vide dans l'ensemble vide. On suppose le résultat acquis jusqu'au rang p 1 p N ) et on suppose qu'il existe une injection de 1 ,n dans 1 ,p . Si n = 0 alors on a bien n p . On suppose maintenant que n 1 . Onquotesdbs_dbs27.pdfusesText_33[PDF] montrer qu'une fonction est injective
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