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12.2 Exercices du chapitre 2
12.2.1 Tribus
Corrig´e 9 (Caract´erisation d"une tribu)
SoitEun ensemble.
1. SoitTune partie deP(E) stable par union d´enombrable, stable par passage au compl´ementaire et
t.q.∅ ?T. Montrer queTest une tribu, c"est-`a-dire qu"elle v´erifie aussiE?Tet qu"elle est stable
par intersection d´enombrable. -------------corrig´e-------------- •E?TcarE=∅cet queTest stable par passage au compl´ementaire. •Test stable par intersection d´enombrable car, si (An)?T, on a (∩n?NAn)c=?n?NAcn?T(car Test stable par passage au compl´ementaire et par union d´enombrable) et donc∩n?NAn?T (carTest stable par passage au compl´ementaire).2. L"ensemble des parties finies deEest-il une tribu ?
-------------corrig´e-------------- •SiEest fini, l"ensemble des parties finies deEest une tribu, c"est la tribuP(E).•SiEest infini, l"ensemble des parties finies deEn"est pas une tribu, car il n"est pas stable par
passage au compl´ementaire (le compl´ementaire d"une partie finie est infinie...).Corrig´e 10 (Tribu engendr´ee)
SoitEun ensemble.
1. Montrer qu"une intersection quelconque de tribus surEest une tribu surE.
-------------corrig´e-------------- Soit (Ti)i?Iune famille de tribus surI(Iest un ensemble quelconque). On poseT={A?E; A?Tipour touti?I}(Test bien l"intersection des tribusTi,i?I). On montre queTest une tribu : • ∅ ?Tcar∅ ?Tipour touti?I. •Test stable par compl´ementaire car, siA?T, on aA?Tipour touti?I, doncAc?Ti pour touti?I(carTiest stable par passage au compl´ementaire), doncAc?T. •Test stable par union d´enombrable car, si (An)n?N?T, on aAn?Tipour touti?Iet toutn?Ndonc?n?NAn?Tipour touti?Iet toutn?N(carTiest stable par union d´enombrable), donc?n?NAn?T, d"apr`es l"exercice pr´ec´edent, on en d´eduit queTest une tribu. 2832. SoitA ? P(E). On noteTAl"intersection de toutes les tribus surEcontenantA(une partie
deEappartient donc `aTAsi et seulement si elle appartient `a toutes les tribus contenantA, on remarquera qu"il y a toujours au moins une tribu contenantA, c"est la tribuP(E)). Montrer que T Aest la plus petite des tribus contenantA(c"est la tribu engendr´ee parA). -------------corrig´e--------------D"apr`es la question pr´ec´edente,TAest bien une tribu. La d´efinition deTAdonne que toute tribu
contenantAdoit contenirTA.TAest donc la plus petite tribu contenantA.3. SoientAetB ? P(E) etTA,TBles tribus engendr´ees parAetB. Montrer que siA ? Balors
T A?TB. -------------corrig´e-------------- T Best une tribu contenantB, donc contenantA. DoncTA?TB.Corrig´e 11 (Exemples de tribus)
1. Tribu trace
(a) SoitTune tribu sur un ensembleEetF?E. Montrer queTF={A∩F, A? T }est une tribu surF(tribu trace deTsurF). -------------corrig´e-------------- • ∅ ? TFcar∅=∅ ∩Fet∅ ? T.
•SoitA? TF. Il existeB? Tt.q.A=B∩F. On a doncF\A= (E\B)∩F? TFcar E\B? T.TFest donc stable par passage au compl´ementaire. •Soit (An)n?N? TF. Pour toutn?N, il existeBn?Tt.q.An=Bn∩F. On a donc?n?NAn= (?n?NBn)∩F? TFcar?n?NBn? T.TFest donc stable par union d´enombrable. Ceci est suffisant pour dire queTFest une tribu surF. (b) SiEest un espace topologique etT=B(E) (B(E) est la tribu bor´elienne deE), montrer que la tribu trace surF, not´eeTF, est la tribu engendr´ee par la topologie trace surF(tribu bor´elienne deF, not´eeB(F)). [Montrer queB(F)?TF. Pour montrer queTF? B(F), consid´ererC={A? P(E);A∩F? B(F)}et montrer queCest une tribu (surE) contenant les ouverts deE.] SiFest un bor´elien deE, montrer queTFest ´egale `a l"ensemble des bor´eliens deEcontenus dansF. -------------corrig´e-------------- On noteOFl"ensemble des ouverts deF, etOEl"ensemble des ouverts deE. Par d´efinition de la topologie trace,OF={O∩F,O? OE}. CommeOE? B(E), on aOF?TF={B∩F,B? B(E)}(Noter queTF=B(E)F, avec les notations de la question pr´ec´edente). On en d´eduit queB(F)?TFcarTFest une tribu surFcontenantOFqui engendreB(F).
284On montre maintenant queTF? B(F). On poseC={A? P(E);A∩F? B(F)}.∅ ? C car∅ ∩F=∅ ? B(F).Cest stable par passage au compl´ementaire car, siA? C, on a (E\A)∩F=F\A=F\(A∩F)? B(F), donc (E\A)? C. Enfin, pour montrer queCest stable par union d´enombrable, soit (An)n?N? C, on a (?n?NAn)∩F=?n?N(An∩F)? B(F), ce qui donne?n?NAn? Cet la stabilit´e deCpar union d´enombrable.Cest donc une tribu. Il est clair queOE? Ccar siO? OE, on aO∩F? OF? B(F). La tribuCcontientOE, ce qui prouve queCcontientB(E) et donc queA∩F? B(F) pour toutA? B(E). Ceci donne exactementTF? B(F). On a bien montr´e finalement queTF=B(F) (on rappelle que T F=B(E)F, avec les notations de la question pr´ec´edente). On suppose maintenant queFest un bor´elien deE, c"est-`a-dire queF? B(E). On a alors T F? B(E) (carA∩F? B(E) siA? B(E)). Puis, soitA?Ft.q.A? B(E), on peut ´ecrire A=A∩F, doncA?TF. On a bien montr´e queTF={A?F;A? B(E)}.
2. SoitEun ensemble infini etS={{x},x?E}. D´eterminer la tribu engendr´ee parS(distinguer les
casEd´enombrable et non d´enombrable). -------------corrig´e--------------On noteT(S) la tribu engendr´ee parS.
•On suppose queEest au plus d´enombrable (c"est-`a-dire dire fini ou d´enombrable). D"apr`es
la stabilit´e deT(S) par union d´enombrable, la tribuT(S) doit contenir toutes les parties au plus d´enombrables. Comme toutes les parties deEsont au plus d´enombrables, on en d´eduitT(S) =P(E).
•On suppose maintenant queEest infini non d´enombrable. On noteAl"ensemble des parties de Eau plus d´enombrables etB={Ac,A? A}. D"apr`es la stabilit´e deT(S) par union d´enom- brable, la tribuT(S) doit contenirA. Par stabilit´e deT(S) par passage au compl´ementaire,T(S) doit aussi contenirB.
on va montrer maintenant queA ? Best une tribu (on en d´eduit queT(S) =A ? B). On a ∅ ? A ? A ? Bet il est clair queA ? Best stable par passage au compl´ementaire (carA? A impliqueAc? BetA? BimpliqueAc? A). Enfin, si (An)n?N? A ? B, on distingue 2 cas :1er cas. SiAn? Apour toutn?N, on a alors?n?NAn? A ? A ? B.
2eme cas. Si il existen?Nt.q.An? Bon a alorsAcn? A, doncAcnest au plus d´enombrable
et (?p?NAp)c=∩p?NAcp?Acnest aussi au plus d´enombrable,ce qui donne (?p?NAp)c? Aet p?NAp? B ? A ? B. On a bien montr´e que?n?NAn? A ? B. Ce qui prouve la stabilit´e par union d´enombrable de A ? B. Finalement,A ? Best donc une tribu contenantSet contenu dansT(S), ceci donneT(S) =A ? B.
Corrig´e 12 (Tribu image)
SoientEetFdes ensembles. PourA ? P(E) (resp.P(F)) on noteT(A) la tribu deE(resp.F) engendr´ee parA.Soitf:E→Fune application.
2851. Montrer que siT?est une tribu surF, alorsf-1(T?) ={f-1(B);B? T?}est une tribu surE
(tribu image r´eciproque). -------------corrig´e-------------- On d´emontre quef-1(T?) est une tribu surEen remarquant quef-1(∅) =∅,E\f-1(A) = f -1(F\A) (pour toutA?F) etf-1(?n?NAn) =?n?Nf-1(An) (pour toute suite (An)n?N? P(F)).2. Montrer que siTest une tribu surE, alorsT?={B?F;f-1(B)? T }est une tribu surF(tribu
image directe). -------------corrig´e-------------- Ici aussi, on montre queT?est une tribu surFen remarquant quef-1(∅) =∅,f-1(F\A) = E\f-1(A) (pour toutA?F) etf-1(?n?NAn) =?n?Nf-1(An) (pour toute suite (An)n?N? P(F)).Noter que, en g´en´eral,{f(B),B? T }n"est pas une tribu surF(par exemple, sifest non surjective,
F?? {f(B),B? T }).
3. Montrer que pour tout ensembleCde parties deFon a :T(f-1(C)) =f-1(T(C)). [Montrer que
T(f-1(C))?f-1(T(C)). Puis, pour montrer quef-1(T(C))?T(f-1(C)), montrer queT={G?F;f-1(G)?T(f-1(C))}est une tribu contenantC.]
-------------corrig´e-------------- f -1(T(C)) est une tribu surE(d"apr`es la premi`ere question) contenantf-1(C) (carT(C)? C), elle contient doncT(f-1(C)), ce qui donnef-1(T(C))?T(f-1(C)). Pour montrer l"inclusion inverse, c"est-`a-diref-1(T(C))?T(f-1(C)). On poseT={G?F; f -1(G)?T(f-1(C))}. On montre d"abord queTest une tribu : • ∅ ?Tcarf-1(∅) =∅ ?T(f-1(C)) •Test stable par passage au compl´ementaire car, siA?T, on af-1(A)?T(f-1(C)) et f -1(F\A) =E\f-1(A)?T(f-1(C)), donc (F\A)?T. •Test stable par union d´enombrable car, si (An)n?N?T, on af-1(An)?T(f-1(C)) pour toutn?Netf-1(?n?NAn) =?n?Nf-1(An)?T(f-1(C)), donc?n?NAn?T. On a bien montr´e queTest une tribu. Il est imm´ediat queT? C(carf-1(B)?T(f-1(C)) pour toutB? C). On en d´eduit queTcontientT(C), c"est-`a-dire quef-1(B)?T(f-1(C)) pour tout B?T(C). Ceci signifie exactement quef-1(T(C))?T(f-1(C)). Les 2 inclusions nous donnent bienf-1(T(C)) =T(f-1(C)).Corrig´e 13 (π-syst`eme,λ-syst`eme)
Soit Ω un ensemble etF ? P(Ω).
1. Montrer queFest une tribu si et seulement siFest unπ-syst`eme (c"est-`a-dire stable par intersection
finie) et unλ-syst`eme (c"est-`a-dire queFest stable par union d´enombrable croissante, Ω? Fet
A\B? FsiA,B? FavecB?A).
2862. On suppose queFest unλ-syst`eme. SoitC? F. On poseG={B?Ω t.q.C∩B? F}. Montrer
queGest unλ-syst`eme. -------------corrig´e--------------En attente
Corrig´e 14 (Tribu bor´elienne deR2)
On noteTla tribu (surR2) engendr´ee par{A×B;A, B? B(R)}. On va montrer ici queT=B(R2).1. Montrer que tout ouvert deR2est r´eunion au plus d´enombrable de produits d"intervalles ouverts de
R. [S"inspirer d"une d´emonstration analogue faite pourRau lieu deR2.] En d´eduire queB(R2)?T. -------------corrig´e--------------On s"inspire ici de la d´emonstration du lemme 2.1 (on peut reprendre aussi la d´emonstration de
l"exercice 15). SoitOun ouvert deR2. Pour toutx= (x1,x2)t?O, il exister >0 t.q. ]x1-r,x1+r[×]x2- r,x2+r[?O. Comme les rationnels sont denses dansR, on peut trouvery1?Q∩]x1-r,x1[,
z1?Q∩]x1,x1+r[,y2?Q∩]x2-r,x2[ etz2?Q∩]x2,x2+r[. On a doncx?]y1,z1[×]y2,z2[?O.
On note alorsI={(y1,z1,y2,z2)?Q4; ]y1,z1[×]y2,z2[)?O}. Pour toutx?O, il existe donc (y1,z1,y2,z2)?It.q.x?]y1,z1[×]y2,z2[. On en d´eduit queO=?(y1,z1,y2,z2)?I]y1,z1[×]y2,z2[.
CommeIest au plus d´enombrable (carQ4est d´enombrable), on en d´eduit queO?T. On a ainsimontr´e queTest une tribu contenant tous les ouverts deR2, et donc contenant la tribu engendr´ee
par les ouverts deR2(c"est-`a-direB(R2)). Donc,B(R2)?T.2. SoitAun ouvert deRetT1={B? B(R);A×B? B(R2)}. Montrer queT1est une tribu (surR)
contenant les ouverts (deR). En d´eduire queT1=B(R). -------------corrig´e-------------- • ∅ ?T1carA× ∅=∅ ? B(R2). •On montre ici queT1est stable par passage au compl´ementaire. SoitB?T1, on a doncBc? B(R) etA×Bc=A×(R\B) = (A×R)\(A×B). Or, (A×R) est un ouvert deR2(carAetRsont des ouverts deR), on a donc (A×R)? B(R2). D"autre part, (A×B)? B(R2) (carB?T1). Donc,A×Bc= (A×R)\(A×B)? B(R2). Ce qui prouve queBc?T1et donc queT1est stable par passage au compl´ementaire. •Enfin,T1est stable par union d´enombrable. En effet, si (Bn)n?N?T1, on aA×(?n?NBn) = n?NA×Bn? B(R2) (carA×Bn? B(R2) pour toutn?N). Donc,?n?NBn?T1. On a donc montr´e queT1est une tribu, il reste `a montrer queT1contient les ouverts deR. SoitBun ouvert deR. On a doncB? B(R) et, commeA×Best un ouvert deR2, on aA×B? B(R2). On a doncB?T1.
287T
1est donc une tribu contenant les ouverts deR, donc contenantB(R). Donc,T1=B(R).
La cons´equence de cette question est donc :
Aouvert deRetB? B(R)?A×B? B(R2).(12.4)
3. SoitB? B(R) etT2={A? B(R);A×B? B(R2)}. Montrer queT2=B(R).
-------------corrig´e-------------- On commence par remarquer que la question pr´ec´edente donne queT2contient les ouverts deR. En effet, soitAun ouvert deR, la propri´et´e (12.4) donneA×B? B(R2), et doncA?T2. On montre maintenant queT2est une tribu (on en d´eduira queT2=B(R)). • ∅ ?T2car∅ ×B=∅ ? B(R2). •On montre ici queT2est stable par passage au compl´ementaire. SoitA?T2, on aAc? B(R) etAc×B= (R×B)\(A×B). La propri´et´e (12.4) donne (R×B)? B(R2) carRest un ouvert deR. D"autre part, (A×B)? B(R2) (carA?T2). Donc,Ac×B? B(R2). Ce qui prouve queAc?T2et donc queT2est stable par passage au compl´ementaire. •Enfin,T2est stable par union d´enombrable. En effet, si (An)n?N?T2, on a (?n?NAn)×B= n?N(An×B)? B(R2) (carAn×B? B(R2) pour toutn?N). Donc,?n?NAn?T2. T2est donc une tribu (surR) contenant les ouverts deR, ce qui prouve queT2? B(R) et donc,
finalement,T2=B(R).4. Montrer queT? B(R2) (et donc queT=B(R2)).
-------------corrig´e--------------La question pr´ec´edente donne :
A,B? B(R)?A×B? B(R2).
On a donc{A×B;A, B? B(R)} ? B(R2). On en d´eduitT? B(R2). Avec la question 1, on a finalementT=B(R2).Corrig´e 15 (Tribu bor´elienne surRN)
1. Montrer que la tribu bor´elienne deRNest ´egale `a celle engendr´ee par l"ensemble de toutes les boules
ouvertes deRN. [On pourra montrer d"abord que tout ouvert deRNest r´eunion d´enombrable de boules ouvertes deRN.] -------------corrig´e-------------- SoitTla tribu engendr´ee par l"ensemble de toutes les boules ouvertes deRN. Comme les boules ouvertes sont des ouverts, on aT? B(RN). 288On montre maintenant l"inclusion inverse, c"est-`a-direB(RN)?T. SoitOun ouvert deRN. Pour toutx?O, il exister >0 t.q.B(x,r)?O(o`uB(x,r) d´eisgne la boule ouverte de centrexet rayonr). Comme les rationnels sont densesR, on peut donc trouvery?QNets?Q?+={t?Q; t >0}, t.q.x?B(y,s)?O. On note alorsI={(y,s)?QN×Q?+;B(y,s)?O}. On a alors O=?(y,s)?IB(y,s). CommeIest au plus d´enombrable (carQN+1est d´enombrable), on en d´eduit queO?Tet donc queB(RN)?T(carTest une tribu contenant tous les ouverts).
Le raisonnement pr´ec´edent montre mˆeme queB(RN) est aussi la tribu engendr´ee par l"ensemble
des boules ouvertes `a rayons rationnels et centre `a coordonn´ees rationnelles.2. Montrer que la tribu bor´elienne deRNest ´egale `a celle engendr´ee par l"ensemble des produits
d"intervalles ouverts `a extr´emit´es rationnelles. -------------corrig´e--------------On reprend le mˆeme raisonnement que dans la question pr´ec´edente en rempla¸cantB(x,r) par
P(x,r) =?N
i=1]xi-r,xi+r[, avecx= (x1,...,xN)t.3. Montrer que la tribu bor´elienne deRest engendr´ee par les intervalles ]a,b] o`ua,b?R,a < b.
-------------corrig´e-------------- SoitC={]a,b],a,b?R,a < b}etT(C) la tribu engendr´ee parC. Comme ]a,b] =∩n>0]a,b+1n on voit que ]a,b]? B(R) pour touta,b?R,a < b. Donc, on aC ? B(R) et doncT(C)? B(R). On montre maintenant l"inclusion inverse, c"est-`a-direB(R)?T(C). SoitI=]a,b[ aveca,b?R, a < b. On peut ´ecrireI=?n≥n0]a,b-1n ], avecn0t.q.1n0< b-a. On en d´eduit queI?T(C).
Puis, comme tout ouvert non vide peut s"´ecrire comme r´eunion d´enombrable d"intervalles ouverts
`a extr´emit´es finies (voir le lemme 2.1 page 20), on obtient que tout ouvert appartient `aT(C). Ceci
permet de conclure queB(R)?T(C) et finalement queB(R) =T(C).4. SoitSun sous ensemble dense deR. Montrer queB(RN) est engendr´ee par la classe des boules
ouvertes (ou bien ferm´ees) telles que les coordonn´ees du centre et le rayon appartiennentS. -------------corrig´e-------------- On reprend le mˆeme raisonnement que dans la premi`ere question en rempla¸cantQNparSN(qui est dense dansRN) etQ?+parS?+={s?S;s >0}(qui est dense dansR?+).Corrig´e 16
SoitEun ensemble etA ? P(E).
1. Montrer queAest une alg`ebre (cf. d´efinition 2.4) si et seulement siAv´erifie les deux propri´et´es
suivantes : (a)E? A,(b)A,B? A ?A\B? A. -------------corrig´e-------------- 289•On suppose queAest une alg`ebre. Il est clair que (a) est v´erifi´ee. Pour montrer (b) il suffit
d"utiliser la stabilit´e par intersection finie et par passage au compl´ementaire, cela donne bien
queA\B=A∩Bc? AsiA,B? A. •On suppose maintenant queAv´erifie (a) et (b).On a alors∅=E\E? A, et donc∅,E? A.
On remarque ensuite que, grˆace `a (b),Ac=E\A?EsiA? A. On a donc la stabilit´e deA par passage au compl´ementaire. Soit maintenantA1,A2? A. On aA1∩A2=A1\Ac2, on en d´eduit queA1∩A2? Apar (b) et la stabilit´e deApar passage au compl´ementaire. Une r´ecurrence surndonne alors queA est stable par intersection finie.Enfin, la stabilit´e deApar union finie d´ecoule de la stabilit´e deApar intersection finie et par
passage au compl´ementaire car (?np=0Ap)c=∩np=0Acp.On a bien montr´e queAest une alg`ebre.
2. Soit (Ai)i?Iune famille d"alg`ebres (surE). Montrer que∩i?IAi={A? P(E);A? Aipour tout
i?I}est encore une alg`ebre. -------------corrig´e--------------quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34[PDF] montrer qu'une fonction est injective
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