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DEVOIRS DE MATHEMATIQUES

1S1Année scolaire 2014-2015

1 Les devoirs non surveillés

DNS 1 DNS 2 DNS 3 DNS 4 DNS 5 DNS 6 DNS 7 DNS 8

2 Les devoirs surveillés

DS 1 DS 2

DS Commun Décembre

DS 4 DS 5 DS 6

DS Commun Avril

Lycée Gustave Eiel 1èreS 2014/2015DEVOIR NON SURVEILLE N o1 Exercice 1Soientfetgles fonctions dénies surRpar :f(x) =-x3+4xetg(x) =-x2+4. On a tracé sur le graphique ci-contre les courbes re- présentatives defet deg.

1)Associer chaque courbe à la fonction qu'elle

représente. Justier succintement.

2)Déterminer graphiquement le nombre de so-

lutions des équations : a)f(x) = 0,b) g(x) = 0, c)f(x) =g(x).

3)Résoudre par le calcul :f(x) = 0 etg(x) = 0

4)Résoudre graphiquement :f(x)6g(x).

5)Un logiciel de calcul formel ache les résul-

tats suivants :1factor(-x^3+x^2+4 *x-4); -(x-2)(x-1)(x+2) a.Interpréter ces deux lignes.b.En déduire une résolution algébrique de l'inéquationf(x)6g(x).1234 1 2 3 4

51 2 3123O

xyExercice 2La méthode d"Al-Khawarizmi 1) a. Prouver que l'équationx2+10x= 96 équivaut à (x+5)2= 121. b.En déduire les solutions de l'équationx2+10x= 96.

2)Pour déterminer une solution positive de l'équationx2+ 10x= 96, voici comment procédaitAl-

Khawarizmi(mathématicien arabe du IXèa ) :

Diviser 10 par 2.

Élever ce quotient au carré.

Additionner ce carré à 96.

Prendre la racine carrée de cette somme.

Retrancher à ce résultat le quotient du début.a.Vérier que l'algorithme donne bien une solution positive de cette équation.

b.Trouver en utilisant la méthode d'Al-Khawarizmiune solution positive de l'équation x

2+8x= 2009.

c.En admettant que ce procédé donne la seule solution positive pour des équations du type x

2+bx=coùbetcsont deux nombres positifs, écrire un algorithme qui mette en oeuvre cette

méthode.a. Il est à l'origine du mot " algorithme » (qui n'est autre que son nom latinisé : "algoritmi")

Lycée Gustave Eiel 1èreS 2014/2015DEVOIR NON SURVEILLE N o2

Exercice 1Une aire minimale

ABCD est un carré de côté 7 cm. À partir d'un point M du segment [AD], on le découpe en quatre rec-

tangles comme l'indique la gure ci-contre. On note S l'aire du domaine coloré.

1)On note AM =x. Dans quel intervalle, noté I, variex?

2)Démontrer que l'aire S est une fonction dexdénie sur I par :

S(x) = 2x2-14x+49.

3)Mettre S sous forme canonique et en déduire les coordonnées

du sommet de la parabole représentant S

4)Dresser en justiant le tableau de variations de S sur I

5)Déterminer la position de M sur [AD] telle que l'aire S soit mi-

nimale.

6)Déterminer les différentes positions du point M pour lesquelles

l'aire S soit supérieure ou égale à 29cm

2.ABCD

M xx

Exercice 2Avec un changement de variable

Dans cet exercice on se propose de résoudre l'équation (E) : 2x4-9x3+ 8x2-9x+ 2 = 0 à l'aide d'un

changement d'inconnue.

1)0 est-il solution de (E)?

2)Démontrer que l'équation (E) est équivalente à l'équation (E') : 2x2-9x+8-9x

+2x 2= 0

3)Pour tout réelxnon nul on pose X =x+1x

a.Calculer X2en fonction dex. b.En déduire que l'équation (E') équivaut à2X2-9X+4 = 0 c.Résoudre l'équation2X2-9X+4 = 0puis en déduire les solutions de l'équation (E)

Exercice 3Problème ouvert

Une parabolePcoupe l'axe des abscisses en -1 et 5 et passe par le point C(2;-18).

Calculer les coordonnées de son sommet.

Lycée Gustave Eiffel 1èreS 2014/2015DEVOIR NON SURVEILLE N o3

Exercice 1Le plan est muni d"un repère

(O;#»ı ,#»?). Pest la parabole d"équationy=x24x+ 3etDmest la droite d"équationy=mx+ 2oùmest un réel quelconque.

L"objectif de cet exercice est de déterminer quel est le nombre de points d"intersection de la parabole

Pet de la droiteDmselon les valeurs dem.

Partie A. Étude d"un cas particulier :m= 1

1) Montrer que le pointM(x;y)appartient à l"intersection dePet deD1si et seulement sixest solution dex24x+3 =x+2.

2)Résoudre cette équation.

3)En déduire le nombre de points d"intersection de la parabolePet de la droiteD1.

Partie B. Cas général :mquelconque

1)Une conjecture

À l"aide du logicielGeGebraet d"un curseurm, représenterPetDmet conjecturer, selon les valeurs dem, le nombre de points d"intersection de la parabolePet de la droiteDm.

On indiquera clairement les arguments en faveur de cette conjecture et on joindra une copie d"écran de son

fichier Geogebra à sa copie.

2)Résolution algébrique du problème

a. Montrer que le pointM(x;y)appartient à l"intersection dePet deDmsi et seulement sixest solution de l"équation E m:x2(4+m)x+1 = 0 b.Déterminer, en fonction dem, l"expression du discrimantmde l"équationEm. c.Déterminer le signe demselon les valeurs dem. d.En déduire le nombre de solutions de l"équationEmselon les valeurs dem. e.Conclure. Exercice 2On considère un triangle ABC non aplati.

1)Construire les points D et E défini par# »AD = 2# »AB+# »AC et# »BE =13

# »BC.

2)Montrer que# »AE =23

# »AB+13 # »AC.

3)En déduire que A, E et D sont alignés.

Lycée Gustave Eiffel 1èreS 2014/2015DEVOIR NON SURVEILLE N o4

Exercice 1On considère l"algorithme ci-contre.

1)Que renvoie l"algorithme pourx= 4?

2)Cet algorithme calcule l"image d"une certaine

fonction. Laquelle?

3)Quelle fonction obtiendrait-on en permutant

les lignes 4 et 5?1 ENTREE

2 LIRE X

3 INSTRUCTIONS

4 X PREND LA VALEUR X+3

5 X PREND LA VALEUR X^2

6 X PREND LA VALEUR 5X

7 SORTIE

8 AFFICHER X

Exercice 2Une catapulte, située sur un sol parfaitement ho- rizontal, envoie un projectile dont la trajectoire est une parabole. Si la catapulte est placée en O, origine du repère, on admet que la trajectoire est d"équation y=-x280 +x oùx, réel positif, en abscisse, est la position horizon- tale du projectile par rapport à la catapulte ety, en

ordonnée, est l"altitude du projectile par rapport ausol, ces deux valeurs étant exprimées en mètres.

Le repère ci-dessous schématise la situation.xyTous les résultats devront être justiés par le calcul.

1)À quelle distance de la catapulte le projectile retouchera-t-il le sol?

2)Quelle sera l"altitude maximale du projectile?

3)Le tir doit franchir un mur de 7,2 mètres de haut (qu"on considèrera d"épaisseur négligeable). Où doit

se situer le pied du mur pour que ce franchissement soit possible?

Exercice 3ABCD est un parallélogramme.

I est le milieu de [AD], E est le point tel que# »AE = 3# »AB et F est le symétrique de I par rapport à D.

1)Construire les points I, E et F sur la figure ci-desous.

2)

a. Exprimer# »DF en fonction de# »AD. En déduire que# »EF =-3# »AB+1;5# »AD.

b.Exprimer# »EC en fonction de# »AB et# »AD. c.Que peut-on en déduire pour les points E, C et F?Justier.

3)Montrer que les droites (BI) et (EF) sont parallèles.

bb b b AB C D

0"' 122 3!' *$' 4" 156!7! !

""#"$%&.!$' 00( !& Lycée Gustave Eiel 1èreS 2014/2015DEVOIR NON SURVEILLE N o6 Exercice 1Soitfla fonction définie surRparf(x) = 4x2+4x-3.

1)Déterminer, en justifiant, le tableau de variation def.

2)Soitgla fonction définie parg(x) =12x-1-12x+3.

a.Déterminer l"ensemble de définition deg, notéDg. b.Montrer que, pour toutxappartenant àDg,g(x) =4f(x). c.En déduire, en justifiant, le tableau de variation deg. Exercice 21)Sur le cercle trigonométrique, pourquoi les nombres5π8 et117π8 repèrent-ils le même point?

2)Trouver la mesure principale d"un angle orienté de mesure :

a) -5π3 b)-117π7

3)Une mesure de (#»u;#»v) estπ6

Dans chacun des cas suivant, donner une mesure de l"angle orienté indiqué : a) ( #»u;2#»v)b) ( #»v;-2#»u)c) ( -#»v;-#»u)

Exercice 3Soitmun nombre réel. On considère la droiteΔmd"équation cartésienne, (1+m)x+(1-m)y-6 = 0.

1)Montrer qu"il existe un point A commun à toutes les droitesΔm, quelque soit la valeur dem.

2)Pour chacun des cas suivants, déterminer la valeur dem, puis donner l"équation cartésienne deΔm.

a.La droiteΔmpasse par le point B(1;-1). b.La droiteΔmest parallèle à l"axe des ordonnées. c.Le vecteur#»u?1 -1? est un vecteur directeur deΔm. d.La droiteΔma pour coecient directeur 3.

Lycée Gustave Eiffel1èreS 2014/2015

DEVOIR NON SURVEILLE No7

Exercice 1

La courbeCest la représentation graphique d"une fonctionfdéfinie et dérivable surR, dans un repère

orthogonal (O;#»{ ;#»|).

1)Déterminer graphiquement :

a.f(0) etf0(0); b.f(1) etf0(1); c.f(2) etf0(2); d.L"équation de la tangente (TA) au point d"abs- cisse1; e.L"équation de la tangente (TB) au point d"abs- cisse 0.

2)La droite (T) tangente à la courbeCau point

d"abscisse2 et d"ordonnée1 passe par le point C de coordonnées (1; 26) a.Déterminer par le calcul une équation de (T). b.En déduiref0(2). c.Représenter (T) sur le graphique ci-contre 5 10 -5

1234-1-2-30A

BC Exercice 2Position d"une courbe par rapport à l"une de ses tangentes O~ O (Cf) A

4321012345

4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Dans un repère(O;#»{ ;#»|)on a tracé la courbe représentativeCfde la fonctionfdéfinie surRparf(x) =x3et (T) la tangente àCfau point

A d"abscisse 1.

1)Déterminer par le calculf(1) etf0(1). En déduire l"équation de

la droite (T).

2)Démontrer que étudier la position relative deCfpar rapport à

(T) revient à étudier le signe dex33x+2.

3)Vérifier que pour tout nombrex,

x

33x+2 = (x1)(x2+x2):

4)En déduire alors la position relative deCfpar rapport à (T).

Exercice 3

1)Résoudre dansRles équations suivantes :

a.cos(x) =1 2. b.cos(x) =1.

2)Déterminer les racines du trinôme 2t2+t1 = 0.

3)On se propose de résoudre dans l"intervalle [0;2π[ l"équation : 2cos2(x)+cos(x)1 = 0.

a.Quelles sont les valeurs possibles de cos(x)? b.En déduire les solutions de l"équation 2cos2(x)+cos(x)1 = 0 sur [0;2π[ Lycée Gustave Eiel 1èreS 2014/2015DEVOIR NON SURVEILLE N o8

Exercice 1Un fermier décide de réaliser un poulailler (de forme rectangulaire) le long du mur de sa maison. Ce

poulailler devra avoir une aire de 392 m

2. Où doit-on placer les piquets A et B pour que la longueur de la

clôture soit minimale?

La gure ci-dessous représente le poulailler accolé à la ferme envue de dessus. On appellexla distance

séparant chaque piquet au mur etyla distance entre les deux piquets A et B. (On a doncx >0 ety >0).

1)Sachant que l'aire du poulailler est de 392 m2, exprimeryen fonction dex.

2)Démontrer que la longueurl(x) du grillage est :l(x) =2x2+392x

3)Calculer la dérivéel0del. En déduire le tableau des variations del.

4)En déduire les dimensionsxetypour lesquelles la clôture a une longueur minimale. Préciser cette

longueur.AByx xMur de la fermeExercice 2 Une entreprise veut réaliser les deux montants laté- raux d'un toboggan. La courbe qui modélise le toboggan est dénie comme une partie de la représentation graphique

Cd'une fonctionfdans un repère orthonormé

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