[PDF] Devoir surveillé Devoir surveillé. 1ère S.

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Devoir surveillé 1ère S

Exercice 1

4 points

Compléter le tableau pour chacune des situations suivantes :

- donner la limite si la forme proposée le permet (sans justification) ou indiquer une indétermination ;

- si nécessaire, donner une forme permettant de lever l"indétermination ; - donner alors la limite demandée. Situation Limite ou F.I. Forme plus adaptée Limite limx ® + d 3x2 - 4x + 1 limx ® - d x3 + 5x limx ® 0+ x - 2 x limx ® + d 2x2 - 3x + 1

3x2 + x - 4

Exercice 2

5 points

La fonction g admet le

tableau de variations ci- contre.

On nomme Cg sa courbe

représentative.

0 5 - d x 10

- d 2 2 + d + d 1 g + d 3

1°) Préciser les limites que l"on peut lire dans ce tableau.

2°) En déduire l"existence de droites asymptotes à Cg dont on donnera les équations.

Exercice 3

11 points

Soit f la fonction définie sur ] - d ; 2 [ È ] 2 ; + d [ par f(x) = x2 - 3x + 3 x - 2 On appelle Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, Yi,Yj) du plan.

1°) Vérifier que f(x) = x - 1 + 1

x - 2

2°) Limites et asymptotes

a. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. b. Quelle conséquence graphique peut-on en tirer ? c. Montrer que Cf admet une asymptote oblique D en + d et en - d dont on précisera une équation. d. Etudier la position relative de Cf et D.

3°) Dresser le tableau de variation complet de f.

4°) On considère la fonction g définie par g(x) = f(x + 2) - 1.

a. Donner l"expression de g(x). (Utiliser la forme la plus appropriée de f(x) !) b. Etudier la parité de la fonction g. c. Quelle conséquence graphique peut-on en tirer pour Cf ?

5°) Construire avec soin Cf et ses asymptotes dans le repère (O, Yi,Yj).

Corrigé du devoir surveillé 1ère S

Exercice 1

4 points

Situation Limite ou F.I. Forme plus adaptée Limite limx ® + d 3x2 - 4x + 1 F.I. (d - d) x2 ´ ((( )))3 - 4 x + 1 x 2 + d limx ® - d x3 + 5x - d limx ® 0+ x - 2 x - d limx ® + d 2x2 - 3x + 1

3x2 + x - 4 F.I. (d

d x2 x2´ 2 - 3 x + 1 x 2 3 + 1 x - 4 x 2 2 3

Exercice 2

5 points

1°) Le tableau de variation de la fonction g indique les limites suivantes :

limx ® + d g(x) = 3 limx ® 0- g(x) = 2 limx ® 5- g(x) = + d lim x ® - d g(x) = - d limx ® 0+ g(x) = 2 limx ® 5+ g(x) = + d

2°) Trois informations permettent d"en déduire l"existence d"asymptotes à CCCCg :

D"une part,

limx ® 5- g(x) = + det limx ® 5+ g(x) = + d donc la droite d"équation x = 5 est asymptote (verticale)

à Cg à droite et à gauche.

D"autre part,

limx ® + d g(x) = 3 donc la droite d"équation y = 3 est asymptote (horizontale) à Cg en + d.

Exercice 3

11 points

1°) Effectuons la mise au même dénominateur :

x - 1 + 1 x - 2 = (x - 1) (x - 2) + 1 x - 2 (x2 - 2x - x + 2) + 1 x - 2 x2 - 3x + 3 x - 2 = f(x)

2.a Etude des limites :

En ± d, la limite d"un quotient de polynômes est la limite du quotient des termes de plus haut degré, donc : limx ® - d x2 - 3x + 3 x - 2 = limx ® - d x2 x = limx ® - d x = - d lim x ® + d x2 - 3x + 3 x - 2 = limx ® + d x2 x = limx ® + d x = + d

Pour les limites en 2, on pose X = x - 2 et x ½¾¾® x - 2 est une fonction affine croissante

telle que 2 ½¾¾® 0, donc : limx ® 2- x - 1 + 1 x - 2 = limX ® 0- X + 1 + 1

X = - d car limX ® 0- 1

X = - d

lim x ® 2+ x - 1 + 1 x - 2 = limX ® 0+ X + 1 + 1

X = + d car limX ® 0+ 1

X = + d

2.b On en déduit que

la droite d"équation x = 2 est une asymptote verticale à Cf à gauche et à droite.

2.c Démontrons que la droite DDDD d"équation y = x - 1 est asymptote à CCCCf.

Notons d"abord que : f(x) - (x - 1) = 1

x - 2 En ± d, la limite d"un quotient de polynômes est la limite du quotient des termes de plus haut degré, donc : limx ® ± d f(x) - (x - 1) = limx ® ± d 1 x - 2 = limx ® ± d 1 x = 0 Ainsi, la droite D d"équation y = x - 1 est asymptote à Cf.

2.d Il s"agit d"étudier le signe de f(x) - (x - 1) = 1111

x - 2222 La fonction x ½¾¾® x - 2 est une fonction affine croissante qui s"annule en 2 , on a donc le tableau de signes ci- contre. x + d f(x) - (x - 1) - + 2 x - 2 + 0 - d

On en déduit que :

- sur l"intervalle ] - d ; 2 [, Cf est " en dessous » de D; - sur l"intervalle ] 2 ; + d [, Cf est " au dessus » de D.

3°) Déterminons l"expression de la fonction dérivée f " :

On choisit d"utiliser la forme f(x) = x2 - 3x + 3

x - 2 = u(x) v(x) car sa dérivée sera aussi un quotient... on obtient alors : f "(x) = u"(x) ´ v(x) - u(x) ´ v"(x) v 2(x) (2x - 3) (x - 2) - (x2 - 3x + 3) 1 (x - 2)2 x2 - 4x + 3 (x - 2)2

Etudions le signe de f " :

le trinôme du second degré ax2 + bx + c = x2 - 4x + 3 est du signe de a = 1 (et donc positif) " à l"extérieur des racines », il s"agit donc de déterminer ces dernières... Le discriminant est D = b2 - 4ac = (- 4)2 - 4 ´ 1 ´ 3 = 4 > 0

Le trinôme admet donc deux racines distinctes

x1 = - b -D

2a = 4 - 2

2 = 1 et x2 = - b + D

2a = 4 + 2

2 = 3 par ailleurs le carré (x - 2)2 est toujours positif et nul en 2. On en déduit le tableau de signe de f " et le tableau des variations de f suivant : + d 0 - 1 x - x2 - 4x + 3 (x2 - 2)2 f "(x) f

1 2 - d 3

0 0 0 0 + d - d - d 3 + d Notez que l"on pouvait aussi dériver f sous la forme f(x) = x - 1 + 1 x - 2 = u(x) + 1 v(x)

On obtient alors :

f "(x) = u"(x) - v"(x) v 2(x) = 1 - 1 (x - 2)2 (x - 2)2 - 1 (x - 2)2 [(x - 2) - 1] [(x - 2) + 1] (x - 2)2 (x - 3) (x - 1) (x - 2)quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20

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