[PDF] Devoir surveillé Devoir surveillé. 1ère S.

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Devoir surveillé 1ère S

Exercice 1

4 points

Déterminer la mesure principale q en radians d"un angle dont une mesure a en radians est :

1°)

11p 10

2°) - 19p

4 3°) 99p 4°) 65p

7

Exercice 2

4 points

A, B et C sont trois points du plan tels que : (\AB,\AC) = p

3 et (\BA,\BC) = - p

4 . O est le centre du cercle G circonscrit au triangle ABC.

Déterminer une mesure en radians de chacun

des angles suivants :

1°) (

\BA,\AC) ;

2°) (

\BA,\CA) ;

3°) (

\CA,\CB) ;

4°) (

\OA,\OB).

Exercice 3

4 points

On donne cos 2p

5 = 5 - 1

4.

1°) Calculer la valeur exacte de sin 2p

5

2°) En déduire, en justifiant : cos 3p

5 , sin 3p

5 et cos p

10.

Exercice 4

4 points

1°) Démontrer que, quel que soit le réel t, on a :

a. cos t + cos ((( )))t + p 2 + cos (t + p) + cos ((( )))t + 3p 2 = 0 b. sin t + sin ((( )))t + p 2 + sin (t + p) + sin ((( )))t + 3p 2 = 0

2°) Faire une figure et donner une interprétation géométrique à ces identités.

Exercice 5

4 points

Résoudre dans ô les équations trigonométriques suivantes :

1°) sin t = -

3

2 2°) cos t = sin t 3°) cos (2t) = cos (t + p)

A B C O G

Corrigé du devoir surveillé 1ère

S

Exercice 1

4 points

1°) Mesure principale associée à aaaa = 11111111pppp

10

101010 :

9p 10 + 2p = - 9p

10 + 20p

10 = 11p

10 et - p < - 9p

10 : p donc q = - 9p

10.

2°) Mesure principale associée à aaaa = - 19p19p19p19p

4 444
3p 4 - 2 ´ 2p = - 3p

4 - 16p

4 = - 19p

4 et - p < - 3p

4 : p donc q = - 3p

4.

3°) Mesure principale associée à aaaa = 99p99p99p99p : : : :

p + 49 ´ 2p = p + 98p = 99p et - p < p : p donc q = p.

4°) Mesure principale associée à aaaa = 65p65p65p65p

7 777
5p 7 + 5 ´ 2p = - 5p

7 + 70p

7 = - 5p

7 et - p < - 5p

7 : p donc q = - 5p

7.

Exercice 2

4 points

1°) (\BA,\AC) = (- \AB,\AC) = (\AB,\AC) + p = p

3 + p = 4p

3 soit - 2p

3.

2°) (

\BA,\CA) = (- \AB,- \AC) = (\AB,\AC) = p 3

3°) Notons d"abord que (

\BC,\BA) = - (\BA,\BC) = p 4. Ainsi, avec les données et la propriété de la somme des angles orientés d"un triangle : \AB,\AC) + (\BC,\BA) + (\CA,\CB) = p ? p 3 + p

4 + (\CA,\CB) = p

? (\CA,\CB) = p - p 3 - p

4 = 12p - 4p - 3p

12 = 5p

12

4°) O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, donc, avec la mesure calculée et le théorème de

l"angle inscrit : (\OA,\OB) = 2 (\CA,\CB) = 2 ´ 5p 12 = 5p 6

Exercice 3

4 points

1°) Quel que soit t ÎÎÎÎ ôôôô : cos2 t + sin2 t = 1, en particulier :

cos 2 2p 5 + sin2 2p

5 = 1 et cos 2p

5 = 5 - 1

4 5 - 1 42
+ sin2 2p 5 = 1 ? sin2 2p 5 = 1 - ((( )))5 - 1 42
= 16 16 - 5 - 2 5 + 1

16 = 10 + 2 5

16 ? sin 2p 5 = 10 + 2 5

16 = 10 + 2 5

4 ou sin 2p

5 = -10 + 2 5

16 = - 10 + 2 5

4 or 2p 5

Î [ 0 ; p ] donc sin 2p

5 ; 0 soit sin 2p

5 = 10 + 2 5

4

2°) Lignes trigonométriques de

3pppp 5 555
: Remarquons d"abord que 3p

5 = 5p

5 - 2p

5 = p - 2p

5. cos 3p

5 = cos (())p - 2p

5 = - cos 2p

5 = 1 - 5

4 sin 3p

5 = sin (())p - 2p

5 = sin 2p

5 = 10 + 2 5

4

Cosinus de pppp

10

101010 : Remarquons d"abord que p

10 = 5p

10 - 4p

10 = p

2 - 2p

5 cos p

10 = cos (())p

2 - 2p

5 = sin 2p

5 = 10 + 2 5

4

Exercice 4

4 points

1°) Résultats préliminaires sur les lignes trigonométriques de t + 3p

2 cos (())t + 3p 2 = cos (())t + p + p

2 = - sin (t + p) = sin t

sin (())t + 3p 2 = sin (())t + p + p

2 = cos (t + p) = - cos t

a. Identité avec les cosinus : cos t + cos (())t + p 2 + cos (t + p) + cos (())t + 3p

2 = cos t - sin t - cos t + sin t = 0

b. Identité avec les sinus : sin t + sin (())t + p 2 + sin (t + p) + sin (())t + 3p

2 = sin t + cos t - sin t - cos t = 0

2°) Dans un repère (O, I, J), si on associe

respectivement les points A, B, C et D aux réels t, t + p 2 , t + p et t + 3p

2, on observe que le quadrilatère ABCD

est un carré de centre O. En particulier O est l"isobarycentre des points A, B, C et D, donc : \OA + \OB + \OC + \OD = Y0 Les identités proposées traduisent cette égalité pour les abscisses et les ordonnées...

Exercice 5

4 points

1°) Equation sin t = - 3333

2 222 :
sin t = - 3

2 Û sin t = - sin p

3 = sin (())- p

3

Û t = - p

3 + 2kp ou t = p - (())- p

3 + 2kp = p + p

3 + 2kp = 4p

3 + 2kp

L"ensemble des solutions est donc ???

???- p

3 + 2kp | k Î ÷ È

???- 2p

3 + 2kp | k Î ÷

2°) Equation cos t = sin t :

cos t = sin t Û cos t = cos (())p 2 - t

Û t = p

2 - t + 2kp ou t = - (())p

2 - t + 2kp

Û 2t = p

2 + 2kp ou t = - p

2 + t + 2kp

Û t = p

4 + kp ou 0 = - p

2 + 2kp (impossible!)

L"ensemble des solutions est donc ???

???- 3p

4 + 2kp | k Î ÷ È ???

???p

4 + 2kp | k Î ÷

3°) Equation cos (2t) = cos (t + pppp) :

cos (2t) = cos (t + p) Û 2t = t + p + 2kp ou 2t = - (t + p) + 2kp = - t - p + 2kp

Û t = p + 2kp ou 3t = - p + 2kp

Û t = p + 2kp ou t = - p

3 + 2kp 3

L"ensemble des solutions est donc ???

???- p

3 + 2kp | k Î ÷ È ???

???p

3 + 2kp | k Î ÷ È { }p + 2kp | k Î ÷

o A B C Dquotesdbs_dbs14.pdfusesText_20

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