La démonstration par récurrence
n(n +1). 2 pour tout entier n )). La démonstration par récurrence se fait en trois étapes : • Initialisation : on vérifie que la propriété est vraie
Récurrence ; Sommes produits
27?/09?/2011 1 Démonstration par récurrence ... récurrence n'est pas très compliqué si on se force à bien en respecter la structure la rigueur est donc.
Entraînement sur les récurrences
donc la propriété est vraie au rang n + 1 ce qu'on voulait. Corrigé 2. Nous allons démontrer cette inégalité par récurrence sur n. Initialisation : pour n = 1
Raisonnement par récurrence
Correction (1.28 question 2). Montrons par récurrence sur n la propriété. Pn : ?x > 0
Chapitre 3: La démonstration par récurrence
2 · 1 expression que l'on appelle n factorielle (?n ? IN *). Page 7. CHAPITRE 3. DEMONSTRATION PAR RECURRENCE. 39. 2MSPM – JtJ
Combinatoire énumérative
1 × 2 × 3 ×···× (n ? 1) × n. On lit "n factorielle". Proposition 3. Le nombre de manières d'ordonner n éléments est n!. Démonstration. Nous avons n
Calcul Algébrique
Table des matières. 1 Cours. 2. 1.1 Sommes et produits . des nombres de 1 à n est n!. Démonstration : On montre le théorème par récurrence sur n.
Sommes produits
https://www.normalesup.org/~glafon/carnot10/recurrence.pdf
Le raisonnement par récurrence
Preuve : notons A l'ensemble des naturels n tels que P(n) soit vraie. La propriété 1 nous dit que 0 appartient. `a A ; la propriété 2 nous dit que si n
Chapitre 1. Raisonnement par récurrence
+. P n 1 à démontrer. 2) Si on veut prouver que la propriété est vraie pour ? n 0 on commence l'initialisation à ( ).
Z ] í X Z ] } v v u v µ v
1 Raisonnement par récurrence 7 ô î W ] X ^ µ } } v W v À ] ~ [ r r ] µ v v í
Quel est le principe de la démonstration par récurrence ?
Eh bien il s’agit exactement du principe de la démonstration par récurrence. Essayons de le comprendre en reformulant cet exemple des dominos en termes mathématiques. La démonstration par récurrence sert à démontrer des propriétés qui portent sur les entiers naturels, c’est-à-dire des propriétés de la forme : “Pour tout n ? N, blablabla” .
Qui a inventé la récurrence ?
Le terme récurrence est apparu au début du 20è siècle. On parle alors de formules de récurrence et de raisonnement par récurrence pour parler du rai- sonnement par induction introduit par Blaise Pascal.
Comment utiliser le principe de récurrence ?
On est amené à utiliser le principe de récurrence suivant : Cette propriété est en apparence plus forte que la récurrence simple, puis que l'on a une hypothèse supplémentaire à notre disposition, mais lui est en fait équivalente, puisque cela revient à démontrer [ P ( n) et P ( n +1)] par récurrence simple.
Comment calculer la récurrence linéaire ?
n) vérie la relation de récurrence linéaire d'ordre 2 suivante : a 0= 0; a 1= 1; 8n2N; a n+2 a n+1 2 a n 2 = 0: Le polynôme caractéristique étant ˜ f, on a déjà calculé sa racines, qui sont 1= 1 et 2= 1 2 .
CPP - 2013/2014 Bases d"algèbre
J. Gillibert
Entraînement sur les récurrencesExercice 1.Démontrer que, pour tout entiern≥1, n k=1k2=n(n+ 1)(2n+ 1)6 Exercice 2.Soita?[0,+∞[un réel fixé. Démontrer que, pour toutn≥1on a :(1 +a)n≥1 +na.Corrigé 1.Nous allons démontrer cette égalité par récurrence surn. Initialisation : pourn= 1,
l"égalité s"écrit 1? k=1k2=(1 + 1)(2 + 1)6ce qui est vrai puisque les deux membres sont égaux à1. Hérédité : supposons la propriété vraie
au rangn, c"est-à-diren? k=1k2=n(n+ 1)(2n+ 1)6Il vient alors :
n+1? k=1k2=n? k=1k2+ (n+ 1)2 n(n+ 1)(2n+ 1)6 + (n+ 1)2 n(n+ 1)(2n+ 1) + 6(n+ 1)26 (n+ 1)(n(2n+ 1) + 6(n+ 1))6 (n+ 1)(n+ 2)(2(n+ 1) + 1)6 donc la propriété est vraie au rangn+ 1, ce qu"on voulait.Corrigé 2.Nous allons démontrer cette inégalité par récurrence surn. Initialisation : pour
n= 1l"inégalité s"écrit(1 +a)1≥1 +a, ce qui est vrai. Hérédité : supposons la propriété vraie
au rangn, c"est-à-dire (1 +a)n≥1 +naOn veut montrer que
(1 +a)n+1≥1 + (n+ 1)aOr, en partant de l"hypothèse et en multipliant des deux côtés par(1 +a), qui est un réel
strictement positif, on obtient (1 +a)n+1≥(1 +na)(1 +a) c"est-à-dire (1 +a)n+1≥1 +a+na+na2.Il en résulte que
(1 +a)n+1≥1 + (n+ 1)a+na2≥1 + (n+ 1)a carna2≥0. Ainsi la propriété est vraie au rangn+ 1, ce qu"on voulait. 2quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28[PDF] bar en kg
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