[PDF] [PDF] Devoir Surveillé n 3 27 nov 2017 · Devoir Surveillé

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ECE 2 - Année 2017-2018Lycée français de VienneMathématiques - F. Gaunardhttp://frederic.gaunard.com

Devoir Surveillé n◦3

Durée: 4 heures

Toutes les réponses doivent êtresjustifiées. Tous documents et calculatrice interdits. Exercice 1.On considère l"application?:]0;+∞[→R,x?→ex-xe1 x. On admet2< e <3.

Partie I : Étude de la fonction?

(1) Montrer que?est de classeC3sur]0;+∞[, calculer, pour toutxde]0;+∞[,??(x)et???(x)et montrer : ?x?]0;+∞[,????(x) =ex+3x+ 1 xe1 x. (2) Étudier le sens de variation de???et calculer???(1). En déduire le sens de variation de??, et montrer :?x?]0;+∞[,??(x)?e. (3) Déterminer la limite de?(x)lorsquextend vers 0 par valeurs strictement positives. (4) Déterminer la limite de ?(x) xlorsquextend vers+∞, et la limite de?(x)lorsquextend vers (5) On admet :15< ?(3)<16. Montrer :?x?[3;+∞[,?(x)?ex.

On noteCla courbe représentative de?.

(6) Montrer queCadmet un unique point d"inflexion, déterminer les coordonnées de celui-ci et l"équation de la tangente en ce point. (7) Dresser le tableau de variations de?, avec les limites en 0 et en+∞, et la valeur en 1. Tracer l"allure deCet faire apparaître la tangente au point d"inflexion. On précisera la nature de la branche infinie au voisinage de 0 et la nature de la branche infinie au voisinage de+∞. Partie II : Étude d"une suite et d"une série On considère la suite réelle(un)n?Ndéfinie paru0= 3et :?n?N,un+1=?(un). (8) Montrer que, pour toutndeN,unexiste etun?3en. (On pourra utiliser les résultats de la partie I). (9) Montrer que la suite(un)est strictement croissante et queuntend vers+∞lorsquentend vers l"infini. (10) Écrire un programme enSciLabqui affiche et calcule le plus petit entierntel que u n?103. (11) Quelle est la nature de la série de terme général1 un?

227 Novembre 2017

Exercice 2.Soitnun entier naturel non nul.

On effectue une série illimité de tirages d"une boule avec remise dans une urne contenantnboules

numérotées de 1 àn. Pour tout entier naturelknon nul, on noteXkla variable aléatoire égale au

numéro de la boule obtenue auk-ième tirage. Pour tout entier naturelknon nul, on noteSkla somme des numéros des boules obtenues lors desk premiers tirages : S k=k? i=1X i.

On considère enfin la variable aléatoireTnégale au nombre de tirages nécessaires pour que, pour la

première fois, la somme des numéros des boules obtenues soitsupérieure ou égale àn.

Exemple

: avecn= 10, si les numéros obtenus aux cinq premiers tirages sont dans cet ordre2,4,1,5,9, alors on obtient :S1= 2, S2= 6, S3= 7, S4= 12, S5= 21etT10= 4.

Partie A

(1) Pourk?N?, déterminer la loi deXkainsi que son espérance. (2) (a) DéterminerTn(Ω). (b) CalculerP(Tn= 1). (c) Montrer que :

P(Tn=n) =?1

n? n-1 (3) Dans cette question,n= 2. Déterminer la loi deT2. (4) Dans cette question,n= 3. Donner la loi deT3. Vérifier queE(T3) =16 9.

Partie B

(5) DéterminerSk(Ω)pour toutk?N?. (6) Soitk??1,n-1?. (a) ExprimerSk+1en fonction deSket deXk+1.

(b) En utilisation un système complet d"événements lié à la variable aléatoireSk, démontrer

alors que : ?i??k+ 1,n?, P(Sk+1=i) =1 ni-1? j=kP(Sk=j). (7) (a) Pourk?N?etj?N?, rappeler la formule du triangle de Pascal liant les nombres: ?j-1 k-1? ,?j-1 k? ,et?j k? (b) En déduire que pour toutk?N?et pour tout entier naturelisupérieur ou égal àk+ 1: i-1? j=k? j-1 k-1? =?i-1 k? (c) Pour tout entierk??1,n?, on noteHkla proposition : ?i??k,n?, P(Sk=i) =1 nk? i-1 k-1? Démontrer par récurrence que pour tout entierk??1,n?,Hkest vraie.

Devoir Surveillé n◦3:3

(b) En déduire que ?k??0,n?, P(Tn> k) =1 nk? n-1 k? (9) Démontrer queE(Tn) =?n-1 k=0P(Tn> k), puis queE(Tn) =? 1 +1 n? n-1 (10) Calculerlimn→+∞E(Tn). (11) On rappelle qu"en langageScilab, l"instructiongrand(1,1,"uin",1,n)renvoie un entier aléa- toire de?1,n?.1Compléter la fonction ci-dessous, qui prend en argument le nombrende boules contenues dans l"urne, afin qu"elle simule la variable aléatoireTn:

Tournez la page s"il vous plait.

1L"énoncé original oublie de préciser "selon la loi uniforme".

427 Novembre 2017

Exercice 3.Dans tout l"exercice, on noteraM3(R)l"ensemble des matrices carrées d"ordre 3 etIla matrice identité d"ordre 3. On considère la matriceAdéfinie par : A=(( 0 1 2 -1 2 2 -3 3 1)) L"objectif de cet exercice est de déterminer l"ensemble desmatricesMdeM3(R)telles queM2=A.

Partie A : Étude de la matriceA

(1) Calculer les matrices(A-I)2et(A-I)3. (2) En déduire l"ensemble des valeurs propres deA. (3) La matriceAest-elle inversible ? Est-elle diagonalisable ? Partie B : Recherche d"une solution particulière

On note pour toutx?]-1,1[,?(x) =⎷

1 +x.

(4) Justifier que la fonction?est de classeC2sur]-1,1[, et déterminer les valeurs de??(0)et???(0).

(5) En utilisant la formule de Taylor-Young pour?en 0 à l"ordre 2, déterminer un réelαnon nul

tel que :⎷

1 +x= 1 +12x+αx2+x2ε(x)aveclimx→0ε(x) = 0.

(6) On noteP(x) = 1 +1

2x+αx2la fonction polynomiale de degré 2 ainsi obtenue. Développer

(P(x))2. (7) SoitC=A-I. En utilisant les résultats de la question 1, vérifier que(P(C))2=A.

Expliciter alors une matriceMtelle queM2=A.

Partie C : Résolution complète de l"équation On munit l"espace vectorielR3de sa base canoniqueB= (e1,e2,e3). Soitfl"endomorphisme deR3dont la matrice représentative dans la baseBest la matriceA.

Dans cette partie, on pose:T=((

1 1 0 0 1 1

0 0 1))

(8) Soientu, vetwles vecteurs définis par:???w= (1,0,1), v=f(w)-w, u=f(v)-v. (a) Calculer les vecteursvetu. (b) Démontrer que la familleB?= (u,v,w)est une base deR3. (c) Déterminer la matrice représentative defdans la baseB?. (d) En déduire qu"il existe une matriceP? M3(R)inversible telle queT=P-1AP. (9) SoitM? M3(R). (a) Montrer que siN2=T, alorsNT=TN. En déduire alors queNest de la forme :((a b c 0a b

0 0c))

oùa,betcsont trois réels. (b) Démontrer alors que l"équation matricielleN2=Tadmet exactement deux solutions :N1 etN2. (10) Montrer que l"équation matricielleM2=Ad"inconnueM? M3(R)admet exactement deux solutions que l"on écrira en fonction deP,P-1,N1etN2. (11) L"ensembleEdes matricesMappartenant àM3(R)telles queM2=Aest-il un espace vectoriel?quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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