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Devoir Surveillé n°3

PTSI B Lycée Eiffel

30 novembre 2013

Durée : 4H. Calculatrices interdites.

Exercice 1

On considère l"équation différentielley00+ 2y0+ 4y=xex.

1. Résoudre l"équation sans second membre associée à cette équation.

2. Trouver une solution particulière de l"équation, et en déduire ses solutions.

3. Déterminer explicitement la solutionyde l"équation vérifianty(0) = 1ety(1) = 0(cette

solution est-elle unique?).

4. On considère pour cette dernière question l"équationt2f00(t)+3tf0(t)+4f(t) =tln(t), oùfest

supposée définie uniquement sur]0;+1[. En posantg(x) =f(ex), et en exploitant les résultats des questions précédentes, résoudre cette nouvelle équation.

Exercice 2

1. On considère l"équationz3+ (1 +i)z2+ (22i)z+ 8i= 0.

(a) Déterminer une solution imaginaire pure de cette équation. (b) En déduire toutes les solutions de l"équation. (c) Placer les images des solutions obtenues dans le plan complexe. On complètera la figure au fur et à mesure de l"exercice, elle doit contenir à la fin les pointsA,B,CetIainsi que le cercleC.

2. On note pour toute la suite de l"exerciceAle point d"affixe1ietBcelui d"affixe22idans

le plan complexe. Vérifier de deux manières que le triangleOABest rectangle (en notant bien sûrOl"origine du repère) : par un calcul de distances, et par un calcul d"arguments.

3. (a) Déterminer l"unique isométrie directefde centreOvérifiantf(A) =B, préciser son angle

et son rapport. (b) Caractériser l"applicationff. (c) On noteC=ff(A). Vérifier queABCest un triangle rectangle (méthode au choix, cette fois-ci).

4. On noteIle point d"affixe34

34
i. (a) Donner une équation du cercleCde centreIet de rayon5p8 (b) Vérifier queA,BetCappartient tous les trois à ce cercle (si vous n"avez pas obtenu l"affixe du pointC, faites le calcul au moins pourAet pourB). (c) Que représenteIpour le segment[BC]? Comment le résultat de la question précédente

auraitèil pu être démontré sans calculs (exploitez ce qui précède et vos souvenirs de géo-

métrie des années antérieures)? 1

Exercice 3

On s"intéresse dans cet exercice à l"équation différentielle(1x)y0+xy=ex.

1. Sur quels intervalles va-t-on se placer pour résoudre l"équation homogène?

2. Résoudre sur chacun de ces intervalles l"équation sans second membre associée à notre équation

différentielle. On pourra remarquer quex1x=11x1.

3. En déduire les solutions de l"équation complète sur les intervalles définis à la première question.

4. Étudier l"existence de solutions définies et dérivables surRtout entier.

5. Montrer qu"il existe une unique solution définie surR, qu"on noteraf, vérifiantf(0) =, et

que toutes ces solutions ont des tangentes parallèles en0.

6. Montrer que les tangentes en leur point d"abscisse2aux courbes représentatives des fonctions

f sont toutes concourantes.

7. Étudier les fonctionsfsurR(variations, limites).

8. Tracer dans un même graphique les courbes intégrales correspondant à= 0,= 1,= 2et

=1.

Exercice 4

On définit dans cet exercice une fonctiongpar la formuleg(x) =Z x 1x

1(t+ 1)2(t2+ 1)dt, et on

va donner plusieurs méthodes permettant de calculer explicitement la valeur deg(x). Les questions

2,3et4de l"exercice sontindépendantes, il est donc hors de question d"utiliser le résultat d"une

de ces questions (ou même d"une sous-question) pour traiter les autres.

1. On posef(t) =1(t+ 1)2(t2+ 1).

(a) Déterminer le domaine de définition de la fonctionf. (b) En déduire celui de la fonctiong. (c) Comparer les valeurs deg(x)et deg1x quand cela a un sens.

2. Première méthode : on noteFune primitive quelconque defvalable sur le domaine de défi-

nition deg. (a) Expliquer pourquoig(x) =F(x)F1x (b) Exprimerg0(x)à l"aide def, puis explicitement. En déduire une expression deg(x).

3. Deuxième méthode : exploitation astucieuse d"un changement de variable.

(a) En posantu=1t dans l"intégrale définissantg(x), donner une nouvelle expression deg(x). (b) Faire la somme des deux expressions intégrales deg(x), et retrouver l"expression explicite deg(x).

4. Troisième méthode : bourrinage.

(a) Décomposer en éléments simplesf(t)sous la formef(t) =at+ 1+b(t+ 1)2+ct+dt 2+ 1. (b) En déduire l"expression deg(x)par une intégration directe.

5. Complément : soit2i

0;2 h . CalculerZ 2 cos

2()1 + sin(2)d(il y a bien sûr un lien avec le

reste de l"exercice). 2quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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