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DERNIÈRE IMPRESSION LE18 août 2017 à 13:56

Représentation matricielle des

applications linéaires

Table des matières

1 Matrice d"une application linéaire2

1.1 Matrice dans les bases canoniquement associées àA. . . . . . . . . 2

1.2 Rang d"une application linéaire. Image d"un vecteur. . . . . . . . . 3

1.3 Matrice de la composée et de la réciproque. . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Changements de bases, équivalence et similitude5

2.1 Changement de bases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Matrices équivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Matrices extraites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Matrices semblables et trace d"un endomorphisme. . . . . . . . . . 9

3 Diagonalisation des matrices carrées10

3.1 Valeurs propres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2 Diagonalisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

PAUL MILAN1CPGE-L1 -ALGÈBRE

1. MATRICE D"UNE APPLICATION LINÉAIRE

1 Matrice d"une application linéaire

Définition 1 :EetFdeuxK-espaces vectoriels de dimensions resp.petn.

B= (e1,...,e

p)une base deE B ?= (e?1,...,e? n)une base deF.

Soitf?L(E,F).

On appelle matrice defdansBetB?, la

matrice( n,p)de la famille : f(B) =?u(e1),...,u(e p)?dansB?.

Elle est notée : Mat

B,B?(f)

SiE=Fet siB=B?, la matrice est

notée Mat B(f) f(e1)f(ej)f(ep) ()))))))a

11...a1j...a1p←e?1

a i1... aij...aip←e?i a n1... anj...anp←e?n coordonnées def(ej)dansB? Remarque :SiEestunK-espacevectorieldedimensionnalors: MatB(IdE) =In

Exemples :

•fl"endomorphisme deR2[X]de matrice((

1 0 2 3 1 4

0 4 5))

dans la base canonique.

On a :f(1) =3X+1 ,f(X) =4X2+X,f(X2) =5X2+4X+2

•SoitR2de base canoniqueB= (?ı,??).

r:R2-→R2la rotation d"angleθ. r(?ı) =cosθ?ı+sinθ?? r(??) =-sinθ?ı+cosθ??donc Mat

B,B(r) =?cosθ-sinθ

sinθcosθ? r(?ı) ??r(??)

1.1 Matrice dans les bases canoniquement associées àA

Théorème 1 :SoitA?Mn,p(K).

Si on note?l"application canoniquement associée àAetBpetBn, les bases cano- niques respectives deKpetKn, alors :A=MatBp,Bn(?)

Exemple :

Soit?l"application linéaire canoniquement associée à la matrice(( 1 0 1 1 -1 1))

PAUL MILAN2CPGE L1 -ALGÈBRE

1. MATRICE D"UNE APPLICATION LINÉAIRE

Soit les basesB1=((0,1),(1,0))etB2=((1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)).

Déterminer Mat

B1,B2(?)

•On détermine les images de(0,1)et(1,0)dans la base canonique deR3: ((0,1))=(( 1 0 1 1 -1 1)) ?01? 0 1 1)) et?((1,0))=(( 1 0 1 1 -1 1)) ?10? 1 1 -1))

•On exprime ces deux vecteurs dans la baseB2:

(0,1,1) =e 1? ???(1,1,1)-e

3????(1,0,0)donc(0,1,1)B2-→(1,0,-1)

(1,1,-1) =-e 1? ???(1,1,1)+2e

•On obtient alors : MatB1,B2(?) =((

1-1 0 2 -1 0))

1.2 Rang d"une application linéaire. Image d"un vecteur

Théorème 2 :SoientEetFdeuxK-espaces vectoriels de dim. finies de bases respectivesBetB?. Sif?L(E,F)alors : rg(f) =rg(MatB,B?(f))

Démonstration :

Théorème 3 :SoientEetFdeuxK-espaces vectoriels de dim. finies de bases respectivesBetB?,f?L(E,F)etx?E.

On a alors : Mat

B?(f(x)) =MatB,B?(f)×MatB(x)

Démonstration :Application de la linéarité def. •SoitB= (e1,...,ep)une baseEetB?= (e?1,...,e?n)une baseF.

•SoitX=MatB(x)les coordonnées dexdansB.

•SoitA= (aij)la matrice defdans les basesBetB?:A=MatB,B?(f) f(x) =f? p j=1x jej? linéarité=p j=1x jf(ej) =p j=1x jn∑ i=1a ije?i=p j=1n∑ i=1x jaije?i=n∑ i=1? p j=1x jaij? e ?i

Les coordonnées def(x)dansB?sont?

p j=1x ja1j,...,p j=1x janj?

C"est à dire Mat

B,B?(f)×MatB(x)

PAUL MILAN3CPGE L1 -ALGÈBRE

1. MATRICE D"UNE APPLICATION LINÉAIRE

Exemple :Déterminer le noyau et l"image en même temps par opérations sur les colonnes. Soit l"endomorphismefde matrice dans la base canonique : A=(( 3 3 6 0 1 2

0 2 4))

33 6
0 1 2

0 2 4))

(1 0 00 1 00 0 1)) 3 0 0 0 12

0 2 4))C2←C2-C1

C

3←C3-2C1

(1-1-2 0 1 0

0 0 1))

3 00 0 10

0 20))C3←C3-2C2

(1-10 0 1-2 0 01 On a alors : Imf=Vect((3,0,0),(0,1,2))et Kerf=Vect((0,-2, 1)) ?SiE3=R2[X], on a Imf=Vect(3 , 2X2+X)et Kerf=Vect(X2-2X))

1.3 Matrice de la composée et de la réciproque

Théorème 4 :SoitE,FetGtroisK-espaces vectoriels de dimensions respec- tivesp,netmet de bases respectivesB,B?etB??. Soitf?L(E,F)etg?L(F,G) •MatB,B??(g◦f) =MatB?,B??(g)×MatB,B?(f) •fisomorphisme deL(E,F)?MatB,B?(f-1) =[MatB,B?(f)]-1

Théorème 5 :Matrice de Vandermonde

La matriceA=(((((((1x1x21...xn-11

1x2x22...xn-12

1xnx2n...xn-1n)))))))

est inversible si, et seulement si, les scalairesx1, ...,xnsont distincts.

Démonstration :Par double implications :

•Si deux des scalairesx1,...,xnsont égaux alors la matrice de VandermondeA possède deux lignes identiques et donc n"est pas inversible. •Réciproquement, supposonsx1, ...,xndistincts et notons l"application linéaire : ?:?K n-1[X]-→Kn

P?-→(P(x1),...,P(xn))

PAUL MILAN4CPGE L1 -ALGÈBRE

2. CHANGEMENTS DE BASES, ÉQUIVALENCE ET SIMILITUDE

P(x1) =···=P(xn) =0?Ppossèdenracines distinctes etd◦P?(n-1) ?P=0 ?est donc injective et comme dimKn-1[X] =dimKn=n,?est bijective donc ?est un isomorphisme deKn-1[X]surKn. La matrice de?dans les bases canoniques respectives deKn-1[X]etKnest alors la matrice de Vandermonde qui est donc inversible.

1.4 Exemple

SoitEunK-espace vectoriel de dimension 3.

Soitf?L(E)telle quef2=0L(E)etf?=0L(E)

Montrer qu"il existe une baseBdeEtelle que : MatB(f) =(( 0 0 1 0 0 0

0 0 0))

•Analyse de la matrice:

D"après la matrice que l"on doit obtenir, si l"on appelleB= (e1,e2,e3)la base deEconsidérée. On doit avoirf(e1) =f(e2) =0 etf(e3) =e1.

•Synthèse:

f

2=0L(E)?f(Imf) ={0}?Imf?Kerf?rg(f)?dimKerf

D"après le théorème du rang : dimE=rg(f) +dimKerf? dimE?2Kerf?2Kerf?dimE?Kerf?dimE

2?dimKerf?32

orf?=0L(E)donc dimKerf<3, on en conclut que dimKerf=2

Soite3?E/Kerfet posonsf(e3) =e1.

On af[f(e3)]=0=f(e1)par hypothèse donce1?Kerf.

Complétons pare2tel que(e1,e2)soit une base de Kerf.

On obtient alors la matrice voulue.

2 Changements de bases, équivalence et similitude

2.1 Changement de bases

Théorème 6 :SoientE?={0E}unK-espace vectoriel de dimension finie etB,

B?etB??trois bases deE.

La matrice de passage de

BàB?est la matrice :PB?B=MatB(B?) =MatB,B?(IdE).

•PB?Best inversible et?

PB?B ?-1=PBB?•PB?BPB??B?=PB??B •Pour toutx?Ede coordonnéesXdansBetX?dansB?, on a :X=PB?BX?

PAUL MILAN5CPGE L1 -ALGÈBRE

2. CHANGEMENTS DE BASES, ÉQUIVALENCE ET SIMILITUDE

Exemple :

DansR2considérons :

•la base canoniqueBc= (?ı,??)

•et la baseBθ= (?u,?v)comme indi-

quée sur la figure.θθ ?u ???v sinθcosθ?

Ainsi :

?x y? =?cosθ-sinθ sinθcosθ?? x? y =?x?cosθ-y?sinθ x ?sinθ+y?cosθ? det(PBθBc) =cos2θ+sin2θ=1?PBcBθ=?

PBθBc?

-1=?cosθsinθ -sinθcosθ?

Ainsi :

?x? y =?cosθsinθ -sinθcosθ?? x y? =?xcosθ+ysinθ -xsinθ+ycosθ? Théorème 7 :SoitEetFdeuxK-espaces vectoriels de dimensions finies.

•B1etB2deux bases deEetB?1etB?2deux bases deF.

•On poseP=PB2B1etQ=PB?2

B?1 •f?L(E,F), on poseA=MatB1,B?1(f)etA?=MatB2,B?2(f)

Alors :A?=Q-1AP

Démonstration :

A ?matrice qui va de(E,B2)dans(F,B?2), on applique doncPpuisApuisQ-1

En effet

F,B?1F,B?2

IdE,P Id

F,Qf,Af,A?

Remarque :Dans un endomorphisme deL(E)etB1etB2deux base deE: Théorème 8 :Matrice de rangr. SoitEetFdeuxK-espace vectoriel de di- mensions respectivespetnetf?L(E,F)de rangr. Il existe un couple de baseBdeEetB?deFtelles que MatB,B?(f) =?Ir0 0 0?

Démonstration :

Peut-ontrouverB= (ei)1?i?petB?= (e?i)1?i?ntellesque MatB,B?(f) =?Ir0 0 0?

PAUL MILAN6CPGE L1 -ALGÈBRE

2. CHANGEMENTS DE BASES, ÉQUIVALENCE ET SIMILITUDE

•Pour que lesp-rcolonnes de MatB,B?(f)soient nulles, il faut queer+1, ...,ep soient éléments de Kerf. D"après le théorème du rang : rg(Kerf) =p-r, on peut choisirer+1,...,ep famille libre de Kerfet complétere1, ...,erpour former une baseBdeE. •Pour que les colonnes de MatB,B?(f)correspondent àIr, il suffit de poser f(ej) =e?jpourj?[[1,r]]puis complétere?r+1, ...,enen une baseB?deF. La famille(ej)1?j?ppar construction engendre un supplémentaireIde Kerf dansEdoncf|Iest un isomorphisme deIsur Imfet donc? f(ej) =e?j? 1?j?r est une famille libre.

On a bien trouver un couple de basesBdeEetB?deF.

2.2 Matrices équivalentes

Définition 2 :A,B?Mn,p(K).

•On dit queBest équivalente àAs"il existe deux matrices inversibles

P?GLp(K)etQ?GLn(K)telle que :B=Q-1AP.

•Si, à partir d"opérations élémentaires surA, on obtient une matriceBalors les matricesAetBsont équivalentes. •Deux matricesAetBsont équivalentes si et seulement siAetBreprésentent la même application linéaire dans deux couples de bases. Théorème 9 :Soit la relationRsurMn,p(K)définie par "être équivalente à». •La relationRest une relation d"équivalence. •Deux matrices deMn,p(K)sont équivalentes si et seulement si elles ont le même rang. Démonstration :Rrelation d"équivalence. SoitA,B,C?Mn,p(K)

•Réflexivité :A= (In)-1AIpdoncARA

•Symétrie :ARB?B=Q-1AP?QBP-1=A?BRA

•Transitivité :?ARB

BRC??B=Q-1AP

C=Q?-1BP??C=Q?-1(Q-1AP)P?= (QQ?)-1A(PP?)?ARC

SoitA?Mn,p(K)de rangr. Notons?l"application canoniquement associée àA. D"après le théorème précédant, il existe un couple de basesBdeKnetB?deKp tels que Mat

B,B?(A) =?Ir0

0 0? =JrdoncAetJrsont équivalentes.

Théorème 10 :?A?Mn,p(K): rg(tA) =rg(A)

PAUL MILAN7CPGE L1 -ALGÈBRE

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