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Endomorphisme associé à une matrice, matrices d"un endomorphisme

1) Matrice d"un vecteur dans une base

a) SoientEunK-espace vectoriel de dimensionnetB= (e1;e2;:::;en)une base deE. Tout vecteurx2Eest entièrement déterminé par len-upletXde ses coordonnées dans la baseB. Plus précisement, l"application':E!Knx7!X= MatBxest un isomorphisme linéaire. Remarque: Ainsi,le choix d"une baseBdé...nit un isomorphisme deEsurKn. b) Six1;:::;xpsont des vecteurs deEet siA= (X1;:::;Xp) = MatB(x1;:::;xp), on argA= rg(xi;:::;xp):

Ainsi,(x1;:::;xn)est une base deEssi(X1;:::;Xn)est une base deKn, c"est-à-dire ssiAest inversible.

Exemple :(|||) On considère une famille de polynômes(P0;:::;Pn)2Kn[X]telles quedegPj=jpour toutk.

Alors la matriceAde la famille(P0;:::;Pn)dans la baseB= (1;X;X2;:::;Xn)est triangulaire supérieure inversible

(ses coe¢ cients diagonaux sont les coe¢ cients dominants desPj). Donc(P0;:::;Pn)est une base deKn[X].

2) Endomorphisme deKncanoniquement associé à une matricea)Exemple:Les endomorphismes deK2Soitu:K2!K2un endomorphisme deK2:

On notee1=1

0 ete2=0 1 , et on considèreu(e1) =a c etu(e2) =b d uest entièrement déterminé paru(e1)etu(e2): SiX=x y =xe1+ye2, alorsu(X) =xu(e1) +yu(e2) =xa c +yb d =ax+by cx+dy On en déduit quelesendomorphismes deK2sont lesu:x y

7!ax+by

cx+dy =a b c d x y Ainsi,lesendomorphismes deK2sont lesu:X7!AX, oùA=a b c d 2 M 2(K). En pratique,on identi...e la matriceAet l"endomorphismeu:X7!AXqui lui est associé.

Laj-ième colonneAjdeAestA

j=AEj=u(Ej), oùEjest lej-ième vecteur de la base canonique deKn.

Le produit de deux matrices carrés est dé...ni de sorte qu"il corresponde à la composée des endomorphismes : siu

etvsont les endomorphismes deK2associés aux matricesAetB, alorsuvest l"endomorphisme canoniquement

associé au produitAB.

b)Noyau et imageSoitu:Kn!KnX7!AXl"endomorphisme canoniquement associée à une matriceA2 Mn(K):Pour déterminer le noyau deu, on résoutAX= 0:

L"image deuest l"espace engendré par lesu(ej), c"est-à-dire par les vecteurs colonnes deA. Ainsi, les assertions suivantes sont équivalentes : i)uest bijectif ,Ainversible,(A1;::::;An)est une base deKn: ii)uinjectif ,(8X,AX= 0ssiX= 0) iii)usurjectif ,rgA=n:

3) Matrices d"un endomorphismea) Soitu2 L(E)un endomorphisme etB= (e1;:::;en)une base deE.

Alorsuest entièrement déterminée par lesu(ej), et chaqueu(ej)est déterminé par ses coordonnées dansB:

Doncuest entièrement déterminée par la matriceA= (aij)1in;1jn= (A1;:::;An)2 Mn(K), où laj-ième colonne

A jdeAest le vecteur des coordonnées deu(ej)dans la baseB:On poseA= MatBu: Ainsi,le coe¢ cientaijest lai-ième coordonnée dexdeu(ej)dans la baseB= (e1;:::;en). La relationy=u(x)s"écrit matriciellementY=AX, oùY= MatBu(x),A= MatBuetX= MatBx.

b)Cas particulier important: SiA2 Mn(K)et siuest l"endomorphisme associé àA, c"est-à-direu:Kn!Kn

X7!AX, alorsAest la matrice deuans la base canoniqueC= (E1;:::;En)deKn:

Terminologie: Dans la base canoniqueCdeKn, les coordonnées de tout vecteurX= (x1;:::;xn)2Knsont ses

coe¢ cients, c"est-à-direX= MatCX:C"est pourquoi cette base particulière deKnest appelée base canonique (et il

en est de même dansMn(K)K(n2)et aussi dansKn[X]Kn+1). c)Exemple: (|||)Endomorphismes diagonalisables. Un vecteur propre deuest un vecteur non nul tel qu"il existevéri...antu(x) =x: Prop: Soitu2 L(E)un endomorphisme. Les assertions suivantes sont équivalentes : i) Il existe une base où la matrice deuest diagonale. ii) Il existe une base deEformée de vecteurs propres deu: Preuve: AvecB= (e1;:::;en), alorsMatBu= Diag(1;:::;n)ssi8j2 f1;2;:::;ng,u(ej) =jej.

4) Changements de basesa) SiBetB0sont deux bases deE, on dé...nit la matice de passage deBàB0parP=PB0

B= MatBB02GLn(K).

Autrement dit, les colonnes dePB0

Bsont les coordonnées des vecteurs de la “nouvelle"baseB0en fonction des vecteurs de l"ancienne baseB:Ainsi,e 0j=Pn i=1pijei:

Remarque: On en déduit au passage que(PB0

B)1=PBB0etPB00

B=PB0 BPB00 B

CommeX0est arbitraire, on obtient bienA0=P1AP:

b)Exemple: (|||)Matrices de projection. Rappel: Un endomorphismeu2 L(E)est une projection ssiuu=u. Prop: SoitA2 Mn(K). Les assertions suivantes sont équivalentes : i)Avéri...eA2=A ii) Il existe une matrice inversibleP2GLn(K)etr2 f0;1;:::;ngtelle queP1AP=Jr, oùJr=IrO OO Preuve: Supposons i). PosonsE=Kn. Considéronsu:X7!AXl"endomorphisme deEassocié àA. Ainsi,Aest la matrice deudans la base canoniqueCdeKn. On aA2=A, c"est-à-direuu=u. Doncuest une projection. En posantF= ImuetG= Keru, on aFG=E, etuest la projection surFparallèlement àG. On considère une baseB=B1[ B2adaptée àFG=E, c"est-à-direB1base deFetB2base deG. Pour toutx2F, on au(x) =xet pour toutx2G, on au(x) = 0: On en déduit que la matrice deudans la baseBestJr=IrO OO , oùr= dimF. DoncP1AP=Jr, oùPest la matrice de passage deCàB. On obtient ainsi ii). Supposons ii). On véri...e directement que(Jr)2=Jr. Or, on aA=PJrP1, doncA2= (PJrP1)(PJrP1) =P(Jr)2P1=A, car(Jr)2=Jr. On obtient ainsi i).quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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