Suites et séries de fonctions
7 oct. 2019 La convergence simple est définie de façon parfaitement analogue pour les séries de fonc- tions. Définition 1.5. Soit (gn) n?Nune suite de ...
Chapitre 03 : Suites et Séries de fonctions
la suite de fonctions converge simplement vers la fonction identiquement nulle. Page 2. Analyse 3/A-U:2014-2015/F.Sehouli. Page 2.
Suites et séries de fonctions
Définition 1.1. Soit I ? R soit pfnqnPN une suite de fonctions et f une fonction définie sur I. ‚ Convergence simple. On dit que la suite pfnq converge
SUITES et SERIES DE FONCTIONS
Définition de la convergence simple. Soit (fn) une suite de fonctions numériques définies sur E : 1). On dit que la suite (fn) converge en un point x ' E
Cours dAnalyse IV Suites et Séries de fonctions
Nous considèrerons ensuite les séries dans leur généralité puis les suites et séries de fonction
Chapitre 10 :Suites et séries de fonctions
L'étude de la convergence simple correspond à celle d'une suite ou d'une série avec un paramètre. Exemples sur les séries : • Série géométrique : Le domaine de
Suites et séries de fonctions
Introduction. On définit la convergence simple d'une suite ou d'une série de fonctions définies sur un intervalle non trivial I mais on désire relier le
suites-et-séries-de-fonctions.pdf
Suites et séries de fonctions. Propriétés de la limite d'une suite de fonctions. Exercice 1 [ 00868 ] [Correction]. Établir que la limite simple d'une suite
M41 Suites et séries de fonctions
La suite de fonctions (fn)n?N converge simplement sur [0 +?[ vers f
S3 : Régularité des suites et des séries de fonctions numériques
I Suites et séries de fonctions continues. Il s'agit d'un rappel : Théorème Soit (fn)n?0 une suite de fonctions définies sur un intervalle I de R.
UE7 - MA5 : Analyse
SUITES et SERIES DE FONCTIONS
I. Suites de fonctions à valeurs dans ÈÈÈÈ ou  Etant donné un ensemble E, une suite de fonctions numériques définies sur est la donnée, pour tout entier n ' , d'une application de E dans È ou  notée fn . Pour x fixé dans E, (f n (x)) est une suite de nombres réels ou complexes.Exemples
f n (x) = x n , 1 + x n , ((( ))) 1 + x nDéfinition
de la convergence simpleSoit (f
n ) une suite de fonctions numériques définies sur E :1) On dit que la suite (f
n ) converge en un point lorsque la suite numérique (f n (x)) converge.2) Si A est un sous-ensemble de E, on dit que la suite (f
n ) converge simplement sur si, pour tout x ' A , la suite (f n (x)) converge. Si (f n ) converge simplement sur A " E on note, pour tout x ' A , f(x) la limite de la suite (f n (x)) et on définit ainsi sur A une fonction f : x @ f(x) appelée limite simple dela suite (f n ) sur A vérifiant : (1) ⬧x ' A , ⬧ > 0 , ¡n 0 ' , ⬧n n 0 , ...f n (x) - f(x)... Cette limite simple sur A est bien sûr unique (si elle existe) puisque pour chaque x ' A , la limite de (fn (x)) est unique.Exemples
1)f n (x) = 1 + x n converge simplement sur È vers f constante égale à 1.2) f
n (x) = x n converge simplement sur ]-1 , 1] vers f définie par f(x) = 0 si x ' ]-1 , 1[ et f(1) = 1. Elle ne converge pas pour les x " ]-1 , 1]. 3)fn (x) = ((( ))) 1 + x n converge simplement sur È vers f définie par f(x) = e x4)f(x) =
x converge simplement sur È vers la fonction nulleDéfinition de la convergence uniforme
Soit (f
n ) une suite de fonctions numériques sur E . Soit A un sous-ensemble de E .On dit que la suite (f
n ) converge uniformément sur A s'il existe une fonction f de A dansÈ (ou Â) telle que :
(2)⬧ > 0 , ¡n 0 ' , ⬧n n 0 , ⬧x ' A , ...f n (x) - f(x)... ou, ce qui est équivalent : (2')lim n @ & (()) Sup x ' A ...f n (x) - f(x)... = 0Remarque
La différence entre convergence simple et convergence uniforme sur A, c'est-à-dire entre (1) et (2), est que dans (1) le n 0 dépend de et de x alors que pour que (2) soit vérifié, il faut un n 0 dépendant de mais commun à tous les x ' A .Proposition
Si (f n ) converge uniformément vers f sur A, (f n ) converge simplement vers f sur A . La définition (2') fournit une méthode pour prouver une convergence uniforme sur A (resp. une convergence non uniforme sur A) : a) Etude de la convergence simple pour trouver f . b) Calcul de a n = Sup x ' A ...f n (x) - f(x)... . c) Démonstration que la suite (a n ) converge vers 0 (resp. ne converge pas vers 0). Il sera parfois plus rapide de majorer (resp. minorer) a n par une suite a" n qui tend vers 0 (resp. qui ne tend pas vers 0).Exemples
1) La suite f
n (x) = x n converge uniformément vers la fonction nulle sur [a,b] " ]-1 ,1[ mais ne converge uniformément ni sur [0 , 1] ni même sur [0 , 1[ car :
Sup x ' [0 , 1[ ...x n... = 1 pour tout n2) La suite f(x) =
converge uniformément vers la fonction nulle sur È car f n est impaire, de dérivée du signe de 1 - n 2 x 2 et Sup x ' È ...f n (x)... = 1 2n.3) La suite f
n (x) = 1 + x nconverge uniformément sur [-a , a], a quelconque positif, mais pas sur È . On sait qu'une suite de nombres réels ou complexe converge si et seulement si c'est une suite de Cauchy, ce qui conduit au résultat :Théorème
Soit (f
n ) une suite de fonctions numériques sur E. Soit A un sous-ensemble de E.Pour que (f
n ) converge uniformément sur A il faut et il suffit qu'elle soit uniformément de Cauchy sur , c'est-à-dire que : (3)⬧ > 0 , ¡n 0 ' ⬧n n 0 , ⬧p n 0 , ⬧x ' A , ...f n (x) - f p (x)... Remarque sur les notations
Dans la définition précédente, on peut toujours supposer que p n et écrire p = n + q avec q 0 de sorte que (3) s'écrit encore : ⬧ > 0 , ¡n 0 ' ⬧n n 0 , ⬧q 0 , ⬧x ' A , ...f n (x) - f n+q (x)... II. Continuité, intégration, dérivation de la limite d'une suite de fonctionsL'exemple de f
n (x) = x n sur [0 , 1] montre que la convergence simple ne suffit pas à assurer la continuité de la limite. Par contre :Théorème
de continuité Soient I un intervalle de È non réduit à un point et (f n ) une suite de fonctions de I dansÈ (ou Â). Soit a ' I . On suppose que :
a) Pour tout n ' , f n est continue en a (resp. sur I) . b)(f n ) converge uniformément vers f sur I .Alors f est continue en a (resp. sur I) .
Remarque
Ce théorème peut permettre de prouver qu'une convergence sur I n'est pas uniforme en Théorème d'interversion de limite et d'intégration Soient [a , b] un intervalle fermé de È et (f n ) une suite d'applications continues de [a ,quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29[PDF] HOTEL CONVERSATIONS
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