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Suites et séries de fonctions

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Introduction

On définit la convergence simple d"une suite ou d"une série de fonctions définies sur un intervalle non trivialI, mais on désire relier le mode de conver- gence en chaque point deIà la convergence aux autres points : on introduit pour ce faire la convergence uniforme. Pour cette dernière notion, on introduit l"espace vectorielB(I,K) des fonc- tions bornées surIà valeurs dansK, et la normek k1sur cet espace vectoriel, cas particulier de la notion de norme sur un espace vectoriel qui sera étudiée plus tard. Théorème 1.Soit I un intervalle réel non trivial et KAERouC. L"ensemble B(I,K)des fonctions de I!K bornées est un K-espace vectoriel. . Définition 1.Pour f2B(I,K), on définit la norme infinie de f par : kfk1AEsup t2Ijf(t)j.Théorème 2.Pour toutes fonctions f et g de B(I,K), on a les propriétés sui- vantes :

1.kfk1Ê0(Positivité)

2.kfk1AE0()fAE˜0(définition)

4.kfÅgk1Ékfk1Åkgk1.(inégalité triangulaire).

I.1. Suite de fonctions

Definition 1(Suite de fonctions).1.O napp elles uitede f onctions( fn) sur une partieAdeRtoute application deNdansF(A,K): (N!F(A,K) n7!fn 1

2.O nd itqu e( fn)converge simplementsurAlorsque pour toutxdeA, la

suite ((fn)(x))nconverge. La fonctionfdéfinie surApar

8x2A f(x)AElimn!1fn(x)

est appeléelimite simplede (fn).

Exemple 1.1.A AE[0,1], fn(x)AExn

2.

A AER, fn(x)AEqx

2Å1n

3.

A AERÅ

f n(x)AE(

¡1Åxn

nsi x2[0,n]

0si x2]n,Å1[

Question : quelles sont les propriétés transmises à la limite simple?

I.2. Convergence uniforme

Expression quantifiée

(fn) convergesimplementversfsurAssi : Definition 2.On dit qu"une suite de fonctions (fn) deAdansKconvergeuni- formémentsurAvers une fonctionf2F(A,K) lorsque :

I.3 Convergence uniforme : Propriétés

Théorème 3.1.S ilasuite(fn)convergeuniformémentvers f sur A,elleconverge simplement vers f sur A 2. L asui te(fn)converge uniformément sur A vers f si et seulement si fn¡f est bornée à partir d"un certain rang etlimn!1kfn¡fk1AE0. 3. S iun es uitede fon ctionsb ornéessu rA con vergeu niformémentv ersf , alors f est bornée sur A

Exemple 2.1.I AE[0,1]fn(x)AExn(1¡x)nÅ1

2.

I AE[0,1]fn(x)AExn

3.

I AE[0,1]fn(x)AExn(1¡x)

4.

I AE[0,1]fn(x)AEn2(x(1¡nx))si x2£0,1n

5.

I AE]0,Å1[fn(x)AE1xn

6.

I AE]1,1[fn(x)AE1xn

7.

I AE[0,1]fn(x)AEnx2Å1nÅ1

2

I.4 Méthodes pour la C.U.

1. O np eutc hercherà c alculerkfn¡fk1par une étude directe defn¡f. 2. O np eutc hercherà major erou min orers elonle cas kfn¡fk1par une suite®n. On peut en particulier, pour montrer quekfn¡fk1ne tend pas vers 0 (si besoin est), utiliser une valeur defn¡fen un point particulier. 3. O np eutch ercherà met treen déf autl "undes th éorèmesde t ransferten cas de CU : continuité, intégrabilité, caractère borné.

I.5 : Continuité et intégrale

Théorème 4(Continuité).Soit(fn)une suite de fonctions continues sur un in- tervalle I,convergeantuniformémentsur I versunefonction f .Alors f estconti- nue. Démonstration.1.S oit(x0,x)2I2.f(x)¡f(x0)AEf(x)¡fn(x)Åfn(x)¡fn(x0)Å f n(x0)¡f(x) 3. S oit"È0. Il existeN2Ntel que pournÊN:kf¡fnk1É"3 4. I lexist eal ors±È0 tel quejx¡x0jɱ)jfN(x)¡fN(x0)jÉ"3 5.

O na a lors: 8x2Ijx¡x0jɱ)jf(x)¡f(x0)jÉ"Remarque : Ceci peut permettre aussi de montrer qu"une convergence n"est

pas uniforme. Remarque : On peut étendre ceci au cas où la convergence est uniforme sur tout segment deI

I.6 Intégrale

Théorème 5(intégrale).Soit(fn)une suite de fonctions continues :[a,b]!K convergeant uniformément vers f . Alors :limn!1Z b a fn(t)dtAEZ b a f(t)dt

Démonstration.1.O nsa itq uefest continue.

2. S oit"È0. Il existeN2Ntel quenÊN)kfn¡fk{1É"b¡a 3.

O naalors:¯¯¯Rb

afn(t)dt¡Rb af(t)dt¯¯¯AE¯¯¯Rb af(t)¡fn(t)dt¯¯¯ÉRb ajf(t)¡fn(t)jdtÉ (b¡a)kf¡fnk1

Exemple 3.Déterminerlimn!Å1Z

1

0nxÅsin(x)nÅxdx.3

I.7 Dérivabilité

La convergence uniforme d"une suite de fonctions dérivables ne garantit pas la dérivabilité de la limite. Exemplefn(x)AEqx

2Å1n

Théorème6(dérivation).Si(fn)est une suite de fonctions de classeC1sur I qui converge simplement sur I vers f et telle que la suite de fonctions(f0n)converge uniformément sur I vers h, alors f est de classeC1sur I et f0AEh.

Démonstration.1.S oita2I:8x2IRx

af0n(t)dtAEfn(x)¡fn(a)!f(x)¡f(a) 2.

D "autrepar t: 8x2IRx

af0n(t)!Rx ah(t)dt 3.

D "oùle résu ltatc ommehest continue.Remarque : On a également une extension au cas où la convergence de (f0n)

est uniforme sur tout segment deI. Dans ce cas , la convergence de (fn) est uniforme sur tout segment deI. On généralise aux dérivées d"ordre supérieur par : Théorème 7.Si(fn)est une suite de fonctions de classe Ckqui converge sim- plement vers f sur I, et si toutes les dérivées f (j) nconvergent uniformément sur

I vers respectivement h

j(j2[j1,kj]), alors f est de classe Cksur I et pour tout j2[j1,kj], on a f(j)AEhj Dans le cas oùIest un segment, seule la convergence uniforme def(k)est nécessaire. On a donc : Théorème 8.Si(fn)est une suite de fonctions de classeCkqui converge simple- ment vers f sur I, si toutes les dérivées f (j) nconvergent sur I vers respectivement h j(j2[j1,kj]), et si f(k)nconverge uniformément vers hksur tout segment de I, alors f est de classeC ksur I et pour tout j2[j1,kj], on a f(j)AEhj.

II Séries de fonctions

Definition 3.1.O napp ellesér ied ef onctionst outesér ied ontle ter meg é- néral est une applicationfn:X!K. 2. O ndit q u"unes ériePfn(fn:X!K) de fonctions converge simplement lorsque pour toutx2X, la sériePfn(x) converge. La somme de la série de fonctions est alors l"applicationS:X!K:x7!S(x)AEÅ1X nAEn0f n(x) 3.

O ndit qu e

Pfnconverge absolument lorsque lorsque pour toutx2X, la sériePjfn(x)jconverge 4

Remarques :

L asér iede f onctionsPfnconverge simplement surXsi et seulement si la suite (Sn) des sommes partielles converge simplement surX. L aconv ergenceabsolu eent raînel aconv ergencesi mple. genteXfnla fonctionRndéfinie par :

8x2XRn(x)AEÅ1X

kAEnÅ1f k(x) On a alors pour toutx2Xet toutnÊn0:S(x)AESn(x)ÅRn(x).

II.2 Convergence uniforme d"une série

Definition5.OnditqueP

la suite (Sn) des sommes partielles converge uniformément surX. Théorème9.LesériedefonctionsPfnconvergeuniformémentvers f sietseule- ment si elle converge simplement vers f , et si à partir d"un certain rang, R nest bornée sur X etlimn!1kRnk1AE0.

Autrement dit

Pfnconverge uniformément si et seulement si elle converge simplement et que la suite des restes converge uniformément vers 0. kAE1(¡1)k¡1xkk Théorème 10.1.S ila séri ePfnconverge uniformément sur X, alors la suite (fn)converge uniformément vers 0 sur X. 2. S il asé riePfnconverge uniformément sur X, elle converge uniformément sur tout Y½X Definition 6.On dit que la série de fonctionsPfn(fn:X!K)converge uni- formément sur tout segment deXlorsque pour tout segmentJ½X, la sérieP(fn)jJconverge.

II.3 Convergence normale

Definition 7.On dit quePfnnormalement surXlorsque pour toutn2N, la fonctionfnest bornée surX, et la sériePkfnk1converge 5 Théorème 11.Si la sériePfnconverge normalement sur X,elle converge alors uniformément et absolument sur X et :

°°°°°Å1

X nAEn0f n°

°°°°1ÉÅ1X

nAEn0kfnk1

Démonstration.8x2Xjfn(x)jÉkfnk1Théorème 12.La sériePfnconverge normalement sur X si et seulement si il

existe une suite réelle(®n)vérifiant les deux conditions suivantes : -8n2N,8x2X,jfn(x)jÉ®n

L asér ieP®nconverge.

Démonstration.Exemple 5.

Pxe¡nxest normalement convergente sur[a,Å1[,aÈ0

Remarques :

1. La convergenceuniformen"impliquepaslaconvergencenormale.Exemple f n(x)AE(¡1)nxÅnÅ1surRÅ 2. S iPfnconvergenormalementsurX,elleconvergenormalementsurtout segment inclus dansX 3. O ndéfin itaussi l anotion de conv ergencenor malesur tou tsegm ent. III Conservation des propriétés par convergence uniforme Des théorèmes relatifs à la convergence uniforme des suites de fonctions, on déduit immédiatement des théorèmes analogues pour les séries de fonc- tions, moyennant la linéarité de la dérivation ou de l"intégrale sur un segment.

III.1 Continuité

Théorème 13(Continuité).Soit une série de fonctionsPfn,fn:X!K. Si : P ourtou tn Ên0, la fonction fnest continue sur X l asérieP nÊn0fnconverge uniformément sur X, ou sur tout segment inclusquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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