[PDF] Cours dAnalyse IV Suites et Séries de fonctions

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Université Claude Bernard, Lyon ILicence Sciences, Technologies & Santé

43, boulevard 11 novembre 1918Spécialité Mathématiques

69622 Villeurbanne cedex, FranceL. Pujo-Menjouet

pujo@math.univ-lyon1.fr

Cours d"Analyse IV

Suites et Séries de fonctions

1

Préambule

Le but de ce cours est de généraliser la notion de somme finie de termes en étudiant comment

cette dernière se comporte lorsque l"on considère une succession infinie de termes.

La clé sera de considérer ces sommes infinies, aussi appelées séries, comme la limite de suites.

Autrement dit, quand on se souvient du cours sur les suites, il sera plus facile d"assimiler le cours

sur les séries C"est pour cela que les deux premiers chapitres concernant des rappels ne doit pas

être négligé.

Un des points clés de ce cours sera l"étude des séries de Fourier dont les applications sont assez

nombreuses dans d"autres domaines des mathématiques (notamment les équations différentielles

et les équations aux dérivées partielles).

Pour arriver au chapitre concernant les séries de Fourier, il faudra cependant faire un petit chemin

qui nous y amènera de façon moins abrupte. Comme nous l"avons écrit plus haut, nous rappelle-

rons la structure deR, puis la notion de suites dansRouC. Nous considèrerons ensuite les séries

dans leur généralité, puis les suites et séries de fonction, pour ensuite passer aux séries entières,

aux fonctions développables en séries entière et enfin les séries de Fourier. Nous pourrons alors

résoudre quelques équations différentielles à l"aide de cette théorie.

L"objectif de la deuxième partie du cours sera de résoudre des équations différentielles à l"aide

des transformées de Laplace. Cet outil mathématique ne pourra s"appliquer rigoureusement sans un petit travail préliminaire sur les intégrales dépendant d"un paramètre.

Une fois ces concepts assimilés, vous serez en possession d"outils solides pour résoudre plusieurs

types d"équations différentielles et équations aux dérivées partielles mais également des problèmes

un peu plus théoriques. 2

Table des matières

1 Structure deR, suites dansRouC: 5

1.1 La crise des nombres chez les grecs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2 Suites et voisinages : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3 Limites de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4 Borne sup ou inf, max ou min . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.5 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2 Rappels suites complexes, limsup de suites réelles 11

2.1 Suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.2 Limite sup et inf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

3 Séries dansRouC: 17

3.1 Premiers critères de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

3.2 Séries réelles à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

3.3 Comparaison d"une série et d"une intégrale impropre . . . . . . . . . . . . . . . .

22

3.4 Séries à termes quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3.5 Sommation par paquets, produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

4 Suites de fonctions 27

4.1 Propriétés des limites uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

5 Série de fonctions 33

5.1 DEFINITION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

6 Séries entières 37

6.1 Opérations sur les séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

6.2 Propriétés fonctionnelles d"une série entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

7 Fonctions développables en séries entières 43

7.1 L"exemple de l"exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

7.2 Développement en série entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

7.3 Développement des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

8 Séries de Fourier 49

8.1 Interprétation géométrique des séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54
3

TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES

9 INTEGRALES DEPENDANT D"UN PARAMETRE 57

9.1 Intervalle d"intégrationJcompact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58

9.1.1 Bornes d"intégration constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

9.1.2 Bornes d"intégration variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

9.2 Intervalle d"intégrationJnon borné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

9.2.1 Rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

9.2.2 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

10 Fonctions Eulériennes 65

11 Transformées de Laplace 67

11.1 Rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

11.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

11.3 Quelques fonctions élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

11.4 Existence deL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69

11.5 Transformée inverse et transformée de dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

11.5.1 Transformée inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

11.5.2 Transformer une dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

11.6 Résolution d"équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

11.7 Thorme de translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

11.7.1 Translation sur l"axe dess. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73

11.7.2 Translation sur l"axe dest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73

11.8 Proprits additionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

11.8.1 Multiplier une fonction partn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73

11.8.2 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

11.8.3 Transforme d"une intgrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

11.8.4 Equation intgrale de Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

11.8.5 Transforme de fonction priodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

11.8.6 Fonction-Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74

4

Chapitre 1

Structure deR, suites dansRouC:(a)Julius W ilhelm

Richard Dedekind

(1831 - 1916), mathématicien allemand, il est le premier à proposer une construction rigoureuse des nombres réels à partir des nombres rationnels.(b) Augustin

Louis (1789-

1857), un

mathémati- cien français, a proposé la première défini- tion rigoureuse d"une limite d"une suite ainsi que plusieurs contributions fondamentales dans l"étude de la convergence des séries.(c)Joseph Louis, comte de Lagrange (1736-1813) un ma- thématicien italien, à l"origine semble-t-il de la notation indicielle des suites. FIGURE1.1 - Quelques mathématiciens célèbres liés aux réels et aux suites. L"ensemble des nombres réels, notéRse construit rigoureusement à partir deN(entiers natu- rels) en définissantZ(entiers relatifs) puisQ(nombres rationnels : de la formep=qavecp2Zet q2Z). Dans ce cours, on va simplement rappeler la différence entreRetQ.

1.1 La crise des nombres chez les grecs

Pythagore considère un triangle isocèle rectangle de côté1. Il remarque que le carré de l"hypo-

thénuse vaut2. Or il remarque qu"il n"existe pas de nombre dansQdont le carré soit2. Donc, si 5

1.2 Suites et voisinages : Structure deR, suites dansRouC:les seuls nombres qu"on connaisse sont les rationnels, il y a des longueurs simples qui ne sont pas

des nombres!

L"ensemble des réels,Rest défini à partir deQen "rajoutant des nombres" pour éviter ce genre de

problème. Une des façons de "rajouter des nombres" est d"utiliser la notion de suite :

1.2 Suites et voisinages :

Commençons cette section par la définition des suites réelles.On appellesuiteréelle touteapplicationN!R

n7!xn:On note une telle application

(xn)n2N.Définition 1(SUITES)RemarqueOn appellera aussi suite les applications dont l"ensemble de départ estNprivé de ses

premiers éléments jusqu"à un certain rang.

La notion la plus importante concernant les suites est celle deconvergence. Pour définir la conver-

gence, on définit la notion devoisinage. L"étude des voisinages est une branche des mathématiques

appelée latopologie(voir cours d"Analyse III pour les bases, et le cours de Topologie élémentaire

(Semestre 5) pour plus de détails). On peut définir des voisinages pour des objets autres que des

nombres (des vecteurs, des fonctions, ...). Chaque fois qu"on peut définir des voisinages, on peut

alors étudier des convergences, des continuités, des notions proches de la dérivabilité, et faire de

l"optimisation.Soitx2R. On dit queVRest unvoisinagedexsi et seulement s"il existe" >0tel

que[x";x+"]V.Définition 2(VOISINAGE)RemarqueOn peut aussi dire, c"est équivalent, queVRest unvoisinagedexsi et seulement

s"il existe" >0tel que]x";x+"[V.On dit queVRest un voisinage de+1(resp. de1) si et seulement s"il existe

A2Rtel que[A;+1[V(resp.] 1;A]V).Définition 3(VOISINAGE DE L"INFINI)6

Structure deR, suites dansRouC: 1.3 Limites de suitesLa notion de voisinage étant en place, nous nous intéressons alors au comportement des suites

quandntend vers l"infini. Pour cela nous allons introduire les limites de suites.

1.3 Limites de suitesSoit(xn)n2Nune suite réelle. Soitlfini ou infini. On dit quelest la limite de(xn)n2N, et

on notel= limn!+1xnsi et seulement si pour toutVvoisinage del, il existeNV2Ntel

que pour toutnNV,xn2V.Définition 4(LIMITE)Si une suite admet une limitefinieon dit qu"elleCONVERGE. Si elle admet une limite infinie ou

si elle n"admet pas de limite, on dit qu"elleDIVERGE.

Si lest+1,l= limn!+1xnsignifie :

pour toutA2R;il existeNA2Ntel quenNA)xnA:

Si l2R,l= limn!+1xnsignifie :

pour tout" >0;il existeN"2Ntel quenN")xn2[l";l+"] (c"est à direjxnlj ").Soient(xn)n2Net(yn)n2Ndeux suites de réels tels que pour toutn2N,xnyn.

Supposons quelimn!+1xn=l1etlimn!+1yn=l2. Alorsl1l2.Propriété 1(COMPARAISON DES LIMITES)RemarqueMême si on suppose que pour toutn2N,xn< yn, on ne peut pas en déduire que

l

1< l2(on a justel1l2).

Exemple :pour toutn2N,xn= 0etyn= 1=n.Soient(xn)n2N,(yn)n2Net(zn)n2Ntrois suites de réels telles que pour toutn2N,

x nynzn. On suppose quelimn!+1xn= limn!+1zn=l(lfini ou infini). Alors lim n!+1yn=l.Propriété 2(THEOREME DES GENDARMES)7

1.3 Limites de suites Structure deR, suites dansRouC:Il existe une notion proche de celle de suite convergente, mais ne nécessitant pas de préciser la

valeur del.Soit(xn)n2Nune suite réelle. On dit que(xn)n2Nest unesuite de Cauchysi et seulement

si on a pour tout" >0, il existeN"2Ntel que (nNetmN")) jxnxmj ".Définition 5(SUITE DE CAUCHY)QUESTION IMPORTANTE : est-ce qu"être une suite de cauchy est la même chose qu"être une

suite convergente?Si une suite est convergente, alors elle est de Cauchy.Propriété 3

PreuveDémontré en cours.

RemarqueATTENTION: la réciproque n"est pas vraie en général. Par contre, le fait de tra-

vailler sur un espace où la réciproque est vraie serait bien pratique. En effet nous pourrions mon-

trer la convergence d"une suite sans avoir à calculer la limite de cette suite. Les espaces dont la

réciproque de la propriété ci-dessus.Si dans un ensemble toute suite de Cauchy est convergente, on dit que cet ensemble est

completDéfinition 6(ENSEMBLE COMPLET)ExempleQn"est pas complet. En effet, considérons la suite définie parx0= 2et pour toutn2N,xn+1= (1=2)(xn+ 2=xn). Tous lesxnsont bien dansQet on montrera (en TD) que cette suite est de Cauchy. Or, si sa limite estl, alorsl= (1=2)(l+ 2=l), c"est à direl2= 2doncln"existe pas dansQ! On peut maintenant dire ce qu"estR:Rest lecomplétédeQ: c"estQ"auquel on rajoute toutes les limites des suites de Cauchy". (Cette phrase ne constitue bien sûr pas une construction rigoureuse deR).

Mais ce n"est pas la seule façon de construireR. Il en existe deux autres équivalentes. L"une d"elle

permet de définirRà partir deQpar la notion deborne supqui est l"objet de la section suivante. 8 Structure deR, suites dansRouC: 1.4 Borne sup ou inf, max ou min1.4 Borne sup ou inf, max ou min SoitER. On dit queM2Restla borne supérieuredeE(M= sup(E)) si et seulement si

1.Mest unmajorantdeE(pour toutx2E,xM),

2. si M0est un majorant deE, alorsMM0. De mêmem2Restla borne inférieuredeE(m= inf(E)) si et seulement si

1.mest unminorantdeE(pour toutx2E,xm),

2. si m0est un minorant deE, alorsmm0.Définition 7(BORNE SUP, BORNE INF)M= sup(E) si et seulement si8 >>:Mest un majorant deE; il existe (xn)n2Nsuite d"éléments deEtelle que

limn!+1xn=M:Propriété 4(MAJORANT ET SUITES)La propriété correspondante pour la borne inf est vraie.

SoitER.

On dit queMest lemaximumdeE(M= max(E)) siM= sup(E)etM2E.

On dit quemest leminimumdeE(m= min(E)) sim= inf(E)etm2E.Définition 8(MAXIMUM, MINIMUM)OnpeutmaintenantdécrireladeuxièmefaçondeconstruireR:RcorrespondàQauquelonrajoute

"toutes les bornes sup de sous-ensembles deQ".

On a alors les deux propriétés suivantes :Toute partie deRnon vide et majorée admet une borne sup.Propriété 5(PROPRIETE DE LA BORNE SUP)9

1.5 Suites adjacentes Structure deR, suites dansRouC:Tout réel est la borne sup d"un ensemble d"éléments deQ.Propriété 6(REEL ET BORNE SUP)RemarqueQn"a pas la propriété de la borne sup :fx2Qtel quex2<2gadmetp2comme

borne sup dansRet n"admet pas de borne sup dansQ.

Enfin, la troisième façon de construireRutilise les suites croissantes et majorées :Rsera alorsQ

auquel on rajoute "toutes les limites de suites croissantes et majorées deQ". On a alors :Toute suite réelle(xn)n2Ncroissante et majorée (resp. décroissante et minorée) converge

et on alimn!+1xn= sup n2Nx

n(resp.limn!+1xn= infn2Nxn).Propriété 7(SUITE CROISSANTE MAJOREE)RemarqueCette propriété n"est pas vraie dansQ.

1.5 Suites adjacentesSoient(xn)n2Net(yn)n2Ndeux suites de réels. On dit qu"elles sontadjacentessi et

seulement si 1. l"une des suites e stcroissante, 2. l"autre suite es tdécroissante,

3.limn!+1(xnyn) = 0.Définition 9(SUITES ADJACENTES)Si(xn)n2Net(yn)n2Nsont deux suites réelles adjacentes telles que(xn)n2Nsoit crois-

sante et(yn)n2Nsoit décroissante alors : 1. pour tout (n;m)2N2;xnym,

2.limn!+1xnetlimn!+1ynexistent, sont finies et sont égales.Propriété 8(LIMITES ET SUITES ADJACENTES)PreuveDémontré en cours.

10

Chapitre 2

Rappels suites complexes, limsup de suites

réelles

2.1 Suites complexes

Il n"existe pasx2Rtel quex2=1(oux2+1 = 0). Si on veut que tout polynôme de degré2 ait2racines, on introduit le nombre imaginaireiqui vérifiei2=1. On définit alors lesnombres complexescomme la somme d"unepartie réelleet d"unepartie imaginaire:

C=fa+ib; a2R; b2Rg:

Cest donc très similaire àR2=f(a;b); a2R; b2Rg. La différence est qu"on définit un produit

CC!Calors qu"on ne le fait pas surR2(il existe un produit scalaireR2R2!Rmais c"est différent).

Un des intérêts principaux des nombres complexes est leur formulationmodule-argument:Soitz=a+ib2C. il existe un unique couple(;)2R+[0;2[tel quez=ei.

On a alorsa=cos(),b=sin()et=pa

2+b2.Propriété 1(MODULE ET ARGUMENT)Alors siz=eietz0=ei0, on azz0=ei(+0). Donc une multiplication par un nombre

complexe de module1correspond à unerotation. C"est à cause de cet effet qu"on utilise les nombres complexes pour modéliser les phénomènes oscillants. 11

2.1 Suites complexes Rappels suites complexes, limsup de suites réelles

Une suite complexe est une application

N!C

n7!zn:Définition 1(SUITE COMPLEXE)Pour définir la convergence des suites complexes, on définit les voisinages dansC.Soitz2C. On dit queVCest unvoisinagedezsi et seulement s"il existe" >0tel

queD(z;") =fz02Ctqjzz0j "g V.Définition 2(VOISINAGE)RemarqueOn peut aussi prendreoD(z;") =fz02Ctqjzz0j< "g.

La définition de limite de suite dansCest alors la même que dansR.Soit(zn)n2Nune suite complexe et soitl2C. On dit quelest la limite de(zn)n2N, et on

notel= limn!+1znsi et seulement si pour toutVvoisinage del, il existeNV2Ntel que pour toutnNV,zn2V.Définition 3(LIMITE D"UNE SUITE)Remarque

1.l= limn!+1znsignifie donc pour tout" >0, il existeN"2Ntel que

nN") jznlj "(c"est à direzn2D(l;")). 2. Dans Ron définit des voisinages de+1et1, ce qui permet de définir des limites infinies. DansCon ne le fait pas : une limite infinie dansCn"a aucun sens!

Comme dansR, on définit les suites de Cauchy.

12 Rappels suites complexes, limsup de suites réelles 2.1 Suites complexes Soit(zn)n2Nune suite complexe. On dit que(zn)n2Nest unesuite de Cauchysi et seulement si on a : pour tout" >0, il existeN"2Ntel que

(nN"etmN")) jznzmj ".Définition 4(SUITE DE CAUCHY)Comme dansR, on a alors :DansC, toute suite de Cauchy est convergente. Autrement ditCestcomplet.Propriété 2(CEST COMPLET)Pour le démontrer, on décompose la suite complexe en sa partie réelle et sa partie imaginaire. On

a :Soit(zn)n2Nune suite complexe. Les propositions suivantes sont équivalentes : -(zn)n2Nest de Cauchy (dansC), -(Re(zn))n2Net(Im(zn))n2Nsont de Cauchy (dansR), -(Re(zn))n2Net(Im(zn))n2Nconvergent (dansR),

-(zn)n2Nconverge (dansC).Propriété 3(CONVERGENCE (CAUCHY))Lorsqu"on utilise la formulation module-argument :

Soit(zn)n2Nune suite complexe etl2C. On a

lim

n!+1zn=l(limite dansC))limn!+1jznj=jlj(limite dansR).Propriété 4(LIMITE, MODULE ET ARGUMENT)RemarqueATTENTION :LA RECIPROQUE N"EST PAS VRAIE. Il n"y a que deux cas où

l"étude du module permet de conclure sur la convergence de la suite : si limn!+1jznj= 0alorslimn!+1zn= 0. 13

2.2 Limite sup et inf Rappels suites complexes, limsup de suites réelles

si limn!+1jznj= +1alors(zn)n2Ndiverge. DIFFERENCE FONDAMENTALE ENTRERETC:il n"y a pas de relation d"ordre (similaire

à) dansC(ni dansR2: de façon générale, on peut ordonner des nombres réels mais pas des

vecteurs). Donc pas de notion de suite croissante, de majoration, de théorème des gendarmes, de

limsup et liminf!

2.2 Limite sup et inf

ATTENTION, nous ne considèrerons ici que les suites réelles. La relation d"ordredeR

permet de définir la limsup et la liminf d"une suite réelle. L"intérêt est que la limsup et la liminf

existent toujours, dansR[ f1;+1g, contrairement à la limite.Soit(xn)n2Nune suite réelle. Par définition,limsup

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