[PDF] TD no 1. Outils mathématiques

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Année universitaire 2016/2017.

U.E. 2P021

TD n o1. Outils mathématiques Exercice I. Coordonnées cartésiennes, cylindriques, sphériques Définir dans le système de coordonnées le plus approprié les surfaces suivantes

1. Le plan P infini (xOy):En coordonnées cartésiennes le plan P est défini par:

z=0 En coordonnées cylindriques le plan P est défini par: z=0 En coordonnées sphériques le plan P est défini par: ==2

Les 3 systèmes de coordonnées semblent à priori appropriés.2. Le disque D de centre O et de rayon R, inclus dans le plan (xOy)

En coordonnées cartésiennes le disque D est défini par: z=0;qx 2+y2R En coordonnées cylindriques le disque D est défini par: z=0;R En coordonnées sphériques le disque D est défini par: ==2;rR Les systèmes de coordonnées cylindriques et sphériques semblent à priori les plus appro- priés.3. Le tube T d"axe (Oz), de rayon R, compris entre les plans z=0 et z=H 1 En coordonnées cartésiennes le tube T est défini par:

0zH;qx

2+y2=R

En coordonnées cylindriques le tube T est défini par:

0zH;=R

En coordonnées sphériques le tube T est défini par:

0rcos()H;rsin()=R

Le système de coordonnées cylindriques semble à priori le plus approprié.4. La sphère S et la boule B de centres O et de rayons R

En coordonnées cartésiennes la sphère S et la boule B sont définies par: qx

2+y2+z2=Rpour S;qx

2+y2+z2Rpour B

En coordonnées cylindriques la sphère S et la boule B sont définies par: q

2+z2=Rpour S;q

2+z2Rpour B

En coordonnées sphériques la sphère S et la boule B sont définies par: r=Rpour S;rRpour B Le système de coordonnées sphériques semble à priori le plus approprié.2 Exercice II. Intégrales surfaciques, volumiques Calculer à l"aide d"une intégrale les quantités suivantes :

1. L"aire du disque DEn coordonnées cylindriques:

Pour le disque, z est constant et vaut 0. En revanche,varie de 0 à R et l"anglede 0 à

2. On a donc:

A D=Z R 0Z 2 0 dzdd=2Z R 0 d=2h1=22iR

0=R22. La surface et le volume du tube T

En coordonnées cylindrique:

Si le tube est fermé, alors il y a trois surfaces à considérer: les couvercles supérieur et

inférieur ainsi que la surface latérale. On a donc: A T=Z 2 0Z h 0

Rddz=2Rh(1)

V T=Z R 0Z h 0Z 2 0 ddzd=2hZ R 0 d=hR2(2)3. L"aire de la sphère S

En coordonnées sphériques:

A s=Z 0Z 2 0

RdRsin()d=2Z

0

R2sin()d=4R24. Le volume de la boule B

En coordonnées sphériques:

V B=Z R 0Z 0Z 2 0 ddsin()d=2Z R 0Z 0

2dsin()d=4=3R33

Calculer la charge totale portée par :

1. Le disque D de densité surfacique de charge(;)=0sin(=2)La charge totale est égale à la charge de l"ensemble du disque. On intègre donc la densité

surfacique de charge sur l"ensemble de la surface du disque: Q D=0Z R 0Z 2 0 dsin(=2)d=(R2=2)0Z 2 0 sin(=2)d=R20hcos(=2)i 2

0=2R202. Le tube T de densité surfacique de charge(;z)=0sin(=2)La charge totale est égale à la charge de l"ensemble du tube. On intègre donc la densité

surfacique de charge sur l"ensemble de la surface du tube. Le tube étant ouvert on a: Q T=0Z H 0Z 2 0 dzsin(=2)Rd=RH0Z 2 0 sin(=2)d=4RH03. Le cylindre C inclus dans T et de densité volumique de charge!(;;z)=!0zHR

sin(=2)La charge totale est égale à la charge de l"ensemble du tube. On intègre donc la densité

volumique de charge sur l"ensemble du volume du cylindre: Q C=!0Z R 0Z H 0Z 2 0 dzddzHR sin(=2)=4!0Z R 0Z H 0z2HR =23 R2H!04. LabouleBdedensitévolumiquedecharge(r)=kr er=a,oùaetksontdesconstantes.Comment se comporte cette charge lorsqueR!+1? 4 Q B=Z R 0kr er=adrZ 0 rdZ 2 0 rsind =kZ R 0 rer=adrZ 0 sindZ 2 0 d =4kZ R 0 rer=adr on fait une intégration par partie: on pose : u=r v=aer=a u

0=1v0=er=a

d 0ou : Q

B=4khraer=aiR

0+4kaZ

R 0 er=adr =4kRaeR=a+4kha2er=aiR 0 =4kRaeR=a4ka2eR=a+4ka2 =4ka2

1eR=a(1+Ra

QuandR!+1on aeR=a(1+Ra

)!0 et doncQB!4ka2. Tout se passe comme si on

avait une sphère de rayon a et de densité surfacique de charge(r;;)=k.Exercice III. Gradient d"un champ scalaire et circulation d"un champ vec-

toriel

Calculer le gradient du champ scalaire:f(r;;)=cos=r2Compte tenu de la forme du champ scalaire, on utilise l"expression du gradient en

coordonnées sphériques fournie dans le formulaire. On a donc rf=@rf~er+1r @f~e+1rsin@f~e=1r

32cos~ersin~e

avec les notations@r=@@r,@=@@ et@=@@ .Soit ~E(x;y;z)un champ vectoriel tel queEx=2(ax+by3),Ey=2(ay+3bxy2)etEz=0(a;b;c constantes)

1. Calculer le potentiel V dont dérive le champ

~E. 5

On a par définition

~E=~rV. S"il on adopte le système de coordonnées cartésiennes, on en déduit tout simplement que xV=2(ax+by3))V=ax22by3x+k1(y;z) En dérivant notre nouvelle expression de V on obtient: yV=2(12 @yk1(y;z)+3bxy2) En comparant avec l"expression deEyon a:@yk1(y;z)=2ay. Par conséquent,

V=a(x2+b2)2by3x+k2(z)

Comme@zV=Ez=0 on obtient finalement:

V(x;y;z)=a(x2+y2)2by3x+cste2. Calculer la circulationC1de~Eentre les points (x=0;y=0) et (x=1;y=0). Vérifier qu"on a

bienC1=V(0;0)V(1;0).Le champ ~Edérive d"un potentiel donc sa circulation ne dépend pas du chemin suivi. On choisit alors le chemin le plus simple, selon l"axeOx,~l(t)=t~ex(ce qui équivaut àx(t)=t ety(t)=0), pourt2[0;1]. C 1=Z t=1 t=0~E(x(t);y(t))d~l(t)=Z t=1 t=0~E(t;0)dt~ex=Z x=1 x=0E x(t;0)dx=Z x=1 x=02axdx=a

=V(0;0)V(1;0)3. Calculer la circulationC2du champ vectoriel~B(;;z)=k(r)~esur le cercle de centreO, de

rayonRet d"axeOz, et oùkest une fonction quelconque der.Le chemin le long du cercle est paramétré, pourt2[0;2], comme~l(t)=R~e(t), où de

manière équivalente comme(t)=Ret(t)=t. On trouve ensuited~l(t) en utilisant la dérivée de ~e:d~l(t)=Rd~e=Rd~edt dt=Rddt ~edt=R~edt

Finalement,

C

2=Rt=2

t=0~B((t)=R;(t);z=0)d~l(t)=R2

0k(R)Rdt=2Rk(R)6

Exercice IV. Divergence et rotationnel d"un champ vectoriel Dessiner l"allure des champs vectoriels suivant et calculer leur divergence et leur rotationnel. 1. ~A1(x;y;z)=a1x~exdiv ~A1=a1 !rot~A1=~02. ~A2(x;y;z)=a2y~exdiv ~A2=0 !rot~A2=a2~ez3. ~A3(;;z)=a3~e 7 En utilisant cette fois l"expression de la divergence en coordonnées cylindriques on a: div ~A3=2a3 !rot~A3=~0-6-4-20246 6 4 2 0 2 4 64.
~A4(r;;)=a4r

2er=r0~er+sin~ediv

~A4=a4r

0r2er=r0

rot~A4=a4r

32cos~er+sin~e

8

Exercice V. Développements limités

On rappelle la formule de Taylor à l"ordre n :

f(a+x)=n X k=0x kk!f(k)(a)=f(a)+x1! f(1)(a)+x22! f(2)(a)+x33! f(3)(a)+:::xnn!f(n)(a)

Calculer les développements limités au voisinage de zéro à l"ordre 4 des fonctions suivantes :

1.f(x)=cosxf(x)=1x2=2+x4=24+o(x4)2.g(x)=sinxg(x)=xx3=6+o(x4)3.h(x)=expxh(x)=1+x+x2=2+x3=6+x4=24+o(x4)4.i(x)=(1+x)ni(x)=1+nx+n(n1)x2=2+n(n1)(n2)x3=6+n(n1)(n2)(n3)x4=24+o(x4)Rappel:A(x)=x!0o(xn) si et seulement siA(x)x

n!x!00, etB(x)=x!0O(xn) si et seulement si limx!0B(x)x n<1. 9quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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