[PDF] Expressions des opérateurs en coordonnées cartésiennes

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Expressions des opérateurs en coordonnées cartésiennes, cylindriques, sphériques Coordonnées cartésiennes(à connaître parfaitement) gradf=!rf=@f@x !ux+@f@y !uy+@f@z !uz: div(!a) =!r:!a=@ax@x +@ay@y +@az@z rot(!a) =!r ^!a=@a z@y @ay@z !ux+@ax@z @az@x !uy+@ay@x @ax@y !uz f=@2f@x

2+@2f@y

2+@2f@z

2

Coordonnées cylindriques(l" expression de

!gradfest à connaître parfaitement) gradf=@f@r !ur+1r @f@ !u+@f@z !uz div(!a) =1r @(rar)@r +1r @a +@az@z rot(!a) =1r @a z@ @a@z !ur+@ar@z @az@r !u+1r @(ra)@r @ar@ !uz f=1r @@r r@f@r +1r 2@ 2f@

2+@2f@z

2

Coordonnées sphériques!

gradf=@f@r !ur+1r @f@ !u+1rsin@f@' !u' div(!a) =1r

2@r2ar@r

+1rsin@(asin)@ +1rsin()@a rot(!a) =1rsin @(a'sin)@ @a@' !ur+1r

1sin@a

r@' @(ra')@r !u+1r @(ra)@r @ar@ !u' f=1r 2@r

2(rf) +1r

2sin@@

sin@f@ +1r

2sin2@

2f@' 2

Relations à connaître : Relations utiles :

rot(!gradf) =!0div(f!a) =f:div(!a) +!rf:!a

div(!rot(!a)) = 0div(!a^!b) = (!rot(!a)):!b!a :(!rot(!b))!rot(!rot(!a)) =!grad(div(!a))!a!grad(fg) =f:!gradg+g:!gradf!rot(f!a) =f:!rot(!a) +!gradf^!a

Les champs auxquels s"appliquent ces opérateurs sont supposés de classe C 2: L"opérateur symbolique!r(nabla), utile, est réservé aux coordonnées cartésiennes. r=@@x !ux+@@y !uy+@@z !uz

Gradientagit sur un champ scalaire

gradf=!rf=2 6 4@f@x @f@y @f@z 3 7

5en coordonnées cartésiennes,!gradf=2

4@f@r @fr@ @f@z 3 5 en coordonnées cylindriques df=!rf:!dM)f(A)f(B) =B

A!rf:!dM!rfest normal aux surfacesf(x;y;z) =Cte.!rf(P)mesure la façon dontfvarie au voisinage deP.

Application: en électrostatique, le champ!E=!gradVest normal aux surfaces équipotentielles

Divergenceagit sur un champ vectoriel.

div !a=!r:!a=@ax@x +@ay@y +@azdz en coordonnées cartésiennes Lien avec le flux (relation de Green-Ostrogradsky)

S!a :!dS=

Vdiv!a :d

div!(a(P))mesure le flux, l"écoulement de!aà partir de P par unité de volume. div!a= 0, 9!b =!a=!rot(!b)

Application: div(!E) ="

0permet d"obtenir le théorème de Gauss. Les lignes de champ de!E"divergent"

à partir de leur source (si >0).

Rotationnelagit sur un champ vectoriel

rot(!a) =!r ^!a=2 6 4@a z@y @ay@z @a x@z @az@x @ay@x @ax@y 3 7

5en coordonnées cartésiennes

Lien avec la circulation (relation de Stockes-Ostrogradsky) !a :!dl=

S!rot(!a):!dS

Le flux d"un rotationnel à travers une surface fermée est nul.!rot(!a) =!0, 9'=!a=!r'

Application: en magnétostatique!rot(!B)=0!jpermet d"obtenir le théorème d"Ampère. Les lignes de

champ de!Bsont en rotation par rapport à leur source.

Laplacienagit sur un champ scalaire ou vectoriel

f=@2f@x

2+@2f@y

2+@2f@z

2en coordonnées cartésiennesf=div(!gradf)

!a=2 6 4@ 2ax@x

2+@2ax@y

2+@2ax@z

2 2ay@x

2+@2ay@y

2+@2ay@z

2 2az@x

2+@2az@y

2+@2az@z

23
7 5 2quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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