Système de coordonnées
Un jeu de coordonnées cylindriques est donc : Un autre : ▫ Comme des volumes limités par des portions de sphères ou de cônes. Les coordonnées sphériques ...
COORDONNÉES CARTÉSIENNES CYLINDRIQUES
http://mawy33.free.fr/cours%20sup/35-500%20coords.pdf
Syst`emes de coordonnées
En coordonnées cylindriques un point M de l'espace est repéré comme un point En coordonnées sphériques
lestransformations du système de coordonnées - effets sur les
une symétrie sphérique et même cylindrique
Expressions du gradient _cartésien cylindrique
http://ts2-thierrymaulnier.wifeo.com/documents/Expressions-du-gradient-_cartsien-cylindrique-sphrique.pdf
Les systèmes de coordonnées.
4 sept. 2023 ... coordonnées qui figurent explicitement à votre programme : cartésiennes cylindriques
UCBL – L1 PCSI – UE Math 2 Fonctions de plusieures variables et
les coordonnées cylindriques et sphériques: A “ p´1 1
TD no 1. Outils mathématiques
Année universitaire 2016/2017. U.E. 2P021. TD no 1. Outils mathématiques. Exercice I. Coordonnées cartésiennes cylindriques
Expressions des opérateurs en coordonnées cartésiennes
Expressions des opérateurs en coordonnées cartésiennes cylindriques
DÉRIVATION VECTORIELLE COORDONNÉES CYLINDRIQUES ET
COORDONNÉES CYLINDRIQUES ET SPHÉRIQUES. I. DÉRIVATION VECTORIELLE. I On peut passer facilement des coordonnées cylindriques aux coordonnées cartésiennes :.
COORDONNÉES CARTÉSIENNES CYLINDRIQUES
http://mawy33.free.fr/cours%20sup/35-500%20coords.pdf
Système de coordonnées
Dans le système de coordonnées cylindriques un point P de l'espace (3-D) est représenté Le système de coordonnées sphériques est un autre système de.
Chapter 1 - Syst`emes de coordonnées
1.1.1 Repérage d'un vecteur en coordonnées cylindriques En coordonnées sphériques un point M(r) est considéré comme un point d'une sph`ere centrée sur.
MATHS.5:SYSTEMES DE COORDONNEES A) Coordonnées
I) COORDONNEES POLAIRES ET CYLINDRIQUES Vecteurs de la base (base mobile cylindrique) :( ... Coordonnées sphériques : r et ?
DÉRIVATION VECTORIELLE COORDONNÉES CYLINDRIQUES ET
Dérivation vectorielle – Bases de projection (33-103). Page 1 sur 5. JN Beury. DÉRIVATION VECTORIELLE. COORDONNÉES CYLINDRIQUES ET SPHÉRIQUES.
Transformation coordonnées
une symétrie sphérique et même cylindrique
Les différents systèmes de coordonnées
Attention les angles ? des coordonnées cylindriques et sphériques sont différents. 1. Page 2. Quelques surfaces élémentaires. • Surface élémentaire d'un
Expressions du gradient _cartésien cylindrique
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TD no 1. Outils mathématiques
Exercice I. Coordonnées cartésiennes cylindriques
Expressions des opérateurs en coordonnées cartésiennes
Expressions des opérateurs en coordonnées cartésiennes cylindriques
![DÉRIVATION VECTORIELLE COORDONNÉES CYLINDRIQUES ET DÉRIVATION VECTORIELLE COORDONNÉES CYLINDRIQUES ET](https://pdfprof.com/Listes/16/19710-1633-103vectoriellecoords.pdf.pdf.jpg)
DÉRIVATION VECTORIELLE
COORDONNÉES CYLINDRIQUES ET SPHÉRIQUES
I. DÉRIVATION VECTORIELLE
I.1Définition
Soit 123,,eee une base orthonormée directe. Soit 123
,,,Oe e e un référentiel. On considère un vecteur quelconque qui dépend du temps t. On projette ce vecteur dans la base 123
,,eee :
112 233
At x te x te x te
GGGPar définition, la dérivée de
At par rapport au temps t et relativement au référentiel est : 11 22 33 d dA xexexetRappels : les vecteurs
123,,eee sont fixes dans le référentiel .
I.2 Propriétés
ddd dddAB AB ttt G dd ddA A tt si est un réel constant.I.3 Dérivée d'un produit scalaire
ddd ddduv vuuvtttI.4 Dérivée d'un produit vectoriel
d^dd^^dd duv uvvutt t Attention : l'ordre des vecteurs est impératif.I.5 Conclusion
La dérivée d'un vecteur
At par rapport au temps dépend du référentiel.On verra plus tard la relation entre d
dA t et d dA t S'il n'y a aucune ambiguïté dans l'exercice, on peut oublier la notation et écrire d dA tEn mécanique, tous les vecteurs peuvent varier a priori. On utilisera les mêmes règles de dérivation qu'avec des fonctions. Dans les chapitres qui suivront, on travaillera dans un seul référentiel par contre, on projettera le résultat (par
exemple le vecteur vitesse) dans telle ou telle base de projection (base des coordonnées cartésiennes, cylindriques et
sphériques). ddd dddtu tv uvuvttt GGGG Si 123,,,Oe e e et
112233
At x te x te x te
, on retrouve facilement11 22 33
d dA xexexet puisque 123,,eee est fixe dans . Dérivation vectorielle - Bases de projection (33-103) Page 2 sur 5 JN Beury m H
II. COORDONNÉES CARTÉSIENNES
On considère un point M et le référentiel xyzOu u u
. Toutes les vitesses et déplacements sont calculés dans le référentiel Le point M est repéré par les coordonnées cartésiennes ,,xyz. ,,xyz xyzOM xu yu zu
dd ddd dd d d d xyz x y zOM l x y zvxuyuzuuuutt t t t
Le déplacement élémentaire vaut : d'ddd
xyz lMM xu yu zu G GGG Il sert pour calculer les surfaces et volumes élémentaires.On en déduit :
ddddxyz. x = cte : ddd x Syz y = cte : ddd y Sxz z = cte : ddd z SxyIII. COORDONNÉES CYLINDRIQUES OU SEMI-POLAIRES
III.1 Définition
On considère un point M et le référentiel xyzOu u u
. Toutes les vitesses et déplacements sont calculés dans le référentiel . Le point M est repéré par les coordonnées cylindriques ,,rz.On utilisera les coordonnées cylindriques dès que la distance à l'axe Oz joue un rôle important dans l'exercice.
On définit le point H projeté orthogonal de M sur l'axe Oz et le point m projeté orthogonal de M dans le plan Oxy.On définit le
vecteur radial r u dirigé de O vers m.On définit le
vecteur orthoradial u tel que la base ,, rz uuu soit orthonormée directe.On a alors
rzOM Om mM ru zu
Pour recouvrir l'espace une seule, on astreint ces coordonnées à rester dans les intervalles :0,02,rz
En physique, on a toujours r 0.
Dérivation vectorielle - Bases de projection (33-103) Page 3 sur 5 JN Beury On peut passer facilement des coordonnées cylindriques aux coordonnées cartésiennes : cos sinxr yr zz Si z = 0, le mouvement est plan. On dit que l'on a des coordonnées polaires.On retient par coeur :
Le point M est repéré par les coordonnées cylindriques ,,rz. On a : rzOM ru zu
GGRemarque : ne pas rajouter une coordonnée suivant le vecteur orthoradial !!! On retrouve cette formule avec le schéma et la
relation de Chasles.III.2 Base des coordonnées cylindriques
À chaque instant t, on a donc une base orthonormée directe ,, rz uuu . On verra que cette base de projection sera très pratique à utiliser dans les exercices où la distance à un axe joue un rôle important. Soit A un vecteur quelconque. Ce vecteur quelconque peut être projeté dans : la base des coordonnées cartésiennes. A a pour coordonnées xyzAAA. On a alors :
xx yy zzAAu Au Au
la base des coordonnées cylindriques. A a pour coordonnées ,, rz AAA . A r est appelée coordonnée radiale, A est appelé coordonnée orthoradiale. On a alors : rr zzAAu Au Au
III.3 Dérivation des vecteurs unitaires
Comment dériver
r u et upar rapport au temps dans le référentiel ? La méthode est de projeter dans ce référentiel et
de calculer la dérivée des différentes composantes.On a donc :
cos sin sin cos rxy xy uuu uuu TT ddsin cosdd rr xy uuuuutt ddcos sindd xyr uuuuuttTTTT T
d d r uut d d r uut TIl faut connaître par coeur le résultat et surtout la méthode consistant à projeter dans une base de projection fixe
dans le référentiel . III.4 Vitesse du point M et déplacement élémentaire dddd ddd ddd d d d d r rz r z r z uOM l r zvM v ruzu rur zu ur u uttt t t t t GGG GGG GGGG
Comme dd d d dd d d rz lr zur u utt t t , on a : dd d d rz lruruzuInterprétation graphique :
Si et z sont fixés. On fait varier r de dr. Le point M se déplace parallèlement à r u de dr. On retrouve donc : dd r lru Si r et z sont fixés. On fait varier de d. Le point M se déplace parallèlement à u sur le cercle de centre H et de rayon r. Comme la variation d'angle vaut d, le déplacement est donc dr, d'où ddlru Si r et sont fixés. On fait varier z de dz. Le point M se déplace parallèlement à z u de dz. On retrouve donc : dd z lzu Dérivation vectorielle - Bases de projection (33-103) Page 4 sur 5 JN Beury mLa vitesse du point M vaut :
ddd ddd rz rzvuru utttLe déplacement élémentaire vaut : d'ddd
rz lMM ruru zu G GGG Il sert pour calculer les surfaces et volumes élémentaires. Ces résultats sont à connaître par coeur et peuvent s'en déduire graphiquement. r u est dans le sens des r croissants. De même pour u et z u dans le sens des et z croissants.On en déduit :
ddddrr z. r = cte : ddd r Sr z = cte : dddSrz z = cte : ddd z SrrOn a souvent besoin du volume élémentaire compris entre les cylindres de rayon r et de rayon r + dr.
2222 22 2
d2dd1 12drrrrHrHr HrHr HrH rrHrrLe volume élémentaire compris entre les cylindres de rayon r et de rayon r + dr est la surface du cylindre de
rayon r et de hauteur H multipliée par dr : d2drrHIV. COORDONNÉES SPHÉRIQUES
IV.1 Définition
On considère un point M et le référentiel xyzOu u u
. Toutes les vitesses et déplacements sont calculés dans le référentiel . Le point M est repéré par les coordonnées cylindriques ,,r.On utilisera les coordonnées sphériques dès que la distance au centre joue un rôle important dans l'exercice.
On appelle r la distance OM. Soit
r u le vecteur unitaire dirigé de O vers M. On a alors : r OM ru Soit m le projeté orthogonal de M dans le plan Oxy. On définit x uOm G et z uOM GOn définit donc 3 vecteurs unitaires
r uuu r u est dans le sens des r croissants. De même pour u et u dans le sens des et croissants.Géographie terrestre :
r u est dirigé selon la verticale ascendante du lieu. u est dirigé vers le sud. u est dirigé vers l'est. est appelé la colatitude. est la longitude. Dérivation vectorielle - Bases de projection (33-103) Page 5 sur 5 JN Beury0,0,02r
r OM ru sin cos sin sin cosxr yr zr TM TIV.2 Dérivation des vecteurs unitaires
Soit u
le vecteur unitaire dirigé de O vers m.On a :
cos sin r uku avec cos sin xy uuu. D'où cos sin cos sin sin rxy uk u uSi on remplace par
2 , remplace r u par uOn a donc :
cos sin cos sin sin22 2 xy uk u u TTMTM , d'où sin cos cos cos sin xy uk u uTTM TM
On a : cos sin sin cos22
xyxy uuuuu MM MM dsin cos cos sin sin cos sin sin cosd r xyy uku u utOn a donc :
dsind r uuut IV.3 Vitesse du point M et déplacement élémentaire dddd dd dsin sindd d d d d d rr rr r ru uOM l rvrurrururuururutt t t t t tTMTTM T
Interprétation graphique :
Si et sont fixés. On fait varier r de dr. Le point M se déplace parallèlement à r u de dr. On retrouve donc : dd r lru Si r et sont fixés. On fait varier de d. Le point M se déplace parallèlement à u sur le cercle de centre O et de rayon r. Comme la variation d'angle vaut d , le déplacement est donc dr, d'où ddlru Si r et sont fixés. On fait varier de d. Le point m se déplace parallèlement à u sur le cercle de centre O et de rayon sinOm r. Comme la variation d'angle vaut d, le déplacement est donc sin dr, d'où dsindlr u Le déplacement élémentaire vaut : d'ddsind r lMM rurur uTTM
G GGG Il sert pour calculer les surfaces et volumes élémentaires. Ces résultats sont à connaître par coeur et peuvent s'en déduire graphiquement. r u est dans le sens des r croissants. De même pour u et u dans le sens des et croissants.On en déduit :
dddsindrr r. r = cte : ddsind r Sr r = cte : ddsindSrr TM = cte : dddSrr TOn a souvent besoin du volume élémentaire compris entre les sphères de rayon r et de rayon r + dr.
3333 33 32
444d443d4d1 14d333 33 3rrrr r r r r r rrrr
Le volume élémentaire compris entre les sphères de rayon r et de rayon r + dr est la surface de la sphère de
rayon r multipliée par dr : 2 d4drrquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34[PDF] comprendre la cop21 et ses enjeux - Toute l 'Europe
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