[PDF] Corrigé du baccalauréat STL Biotechnologies Polynésie juin 2013

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?Corrigé du baccalauréat STL Biotechnologies Polynésie? juin 2013

L"utilisation d"une calculatriceest autorisée.

Le candidat doit traiter les quatre exercices. Il est invitéà faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non

fructueuse, qu"il aura développée.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l"appréciationdes copies.

EXERCICE15 points

Dans cet exercice, les résultats serontarrondis au centième. On s"intéresse à la désintégration radioactive de l"iode 131.

On désigne parN0le nombre d"atomes d"iode 131 à l"instant 0 et parNle nombre d"atomes d"iode 131 à l"instantt

(tétant exprimé en jours).

Les mesures à différents instants de

N

N0ont donné les résultats suivants :

Tempst(en jours)0246810121416

NN010,820,690,610,490,430,360,300,26

1.Complétons le tableau suivant :

Tempst(en jours)0246810121416

2.Représentons le nuage de points de coordonnées (ti,zi) dans le plan muni d"un repère or-

thogonal.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

-0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 -0,6 -0,7 -0,8 -0,9 -1,0 -1,1 -1,2 -1,3 -1,40,11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 -0,6 -0,7 -0,8 -0,9 -1,0 -1,1 -1,2 -1,3 -1,4 -1,50,1 ??G Dz t Corrigé du baccalauréat STL BiotechnologiesA. P. M. E. P.

3.SoitGle point moyen du nuage, calculons les coordonnées deG. Les coordonnées de G sont

t;z) G (8 ;-0,69)est placé sur le graphique précédent.

4.À l"aide de la calculatrice, les coefficients étant arrondisau centième, une équation de la

droiteDd"ajustement dezentpar la méthode des moindres carrés estz=-0,08t-0,02.

5.Dest tracée dans le repère précédent.

6.Nous savons quez=lnN

N0par conséquentNN0=ezet en remplaçantzpar sa valeur nous obtenons : pour tout réeltde l"intervalle [0 ;+∞[,N

N0=e-0,08t-0,02.

7.Calculons le rapportN

N0au bout de 20 jours. Remplaçonstpar 20 dans l"expression précé- dente. N

N0=e-0,08×20-0,02≈0,20

8.Laquantité initiale aété divisée par 10 lorsqueN

N0=0,1.zvaut alorsln0,1. Résolvons ln0,1=

-0,08t-0,02. t=ln0,1+0,02 -0,08≈28,53. Au bout de vingt neuf jours, la quantité initiale aura été divisée par 10.

EXERCICE23 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est

exacte.

Recopier le numéro de chaque question et préciser la réponsechoisie. Aucune justification n"est demandée.

Une réponse exacte rapporte 1 point; une réponse fausse ou l"absence de réponse ne rapporte ni n"enlève aucun point.

1.On considère l"algorithme suivant (Ndésigne un entier naturel)

Entrée : Saisir la valeur de N

Initialisation : Affecter à i la valeur 0

Affecter à A la valeur 25

Traitement: Tant que i < N

Affecter à i la valeur de i + 1

Affecter à A la valeur de 1,05×A-0, 1

Fin Tant que

Sortie : Afficher A

PourN=4, l"arrondi à 10-2du nombre affiché est : a.26,15b.28,63????c.29,96d.30,82.

2.L"ensemble des solutions dans ]0;+∞[ de l"inéquation (1-x)lnx?0 est :

a.]0; 1]b.[l;+∞[c.]0; e]????d.]0;+∞[ .

3.SoitI=?

1

0?e2x-x?dx.

a.I=e2-22b.I=2-e22c.I=e2-2d.I=e2-32.

EXERCICE35 points

Dans cet exercice, on appelle "poids de naissance», la masse, exprimée en grammes, d"un nouveau né.

Les trois parties sont indépendantes.

Polynésie2juin 2013

Corrigé du baccalauréat STL BiotechnologiesA. P. M. E. P.

Partie A

On s"intéresse au poids de naissance (exprimé en grammes) des enfants dans une région donnée. On note X la variable

aléatoire qui, à un enfant choisi au hasard dans une maternité, associe son poids de naissance. On admet que X suit la loi

normale d"espérance 3300 et d"écart type 600. On choisit un enfant au hasard dans cette maternité.

1.Déterminons la probabilité que cet enfant ait un poids de naissance compris entre 2700g et

3900g.

Calculons, à l"aide de la calculatrice,P(2700?X?3900).P(2700?X?3900)≈0,68.

2.L"entierhtel queP(3300-h?X?3300+h) soit égale à 0,95 à 10-2près, correspond à 2

écarts type donch=1200.

3.La probabilité que cet enfant ait un poids de naissance inférieur à 2100g est

P(X?2100)≈0,02

Partie B

Dans cette partie, on considèrera l"hypotrophie sévère quiconcerne les enfants dont le poids de naissance est inférieur ou

égalà2170g. Onadmetquelaprobabilitéqu"unenfantchoisiauhasardsoitconcerné parunehypotrophiesévèreestégale

à 0,03.

Dans une maternité naissent 100 enfants par mois. Le nombre de naissances dans cette maternité est suffisamment im-

portant pour que le choix d"unenfant soit assimiléàun tirageavec remise. OnappelleYla variablealéatoire qui,à unmois

donné, associe le nombre d"enfants concernés par une hypotrophie sévère.

1.La loi de probabilité deYest une loi binomiale car il s"agit d"une répétition de 100 séries

indépendantes et identiques caractérisées par deux issues(a une hypotrophie ou non) de probabilité respective 0,03 etq=0,97. Nous avons donc une loi binomiale de paramètres (100; 0,03) par conséquentP(X=k)=?100 k?(0,03)k(0,97)100-k

2.Déterminonslaprobabilitéqu"aumoinsunenfantsoitconcernéparunehypotrophie sévère

au cours d"un mois donné. CalculonsP(Y?1).

P(Y?1)=1-P(Y=0)=1-0,97100≈0,95.

PartieC

Dans une autre région, on s"intéresse à la proportionpdes enfants qui ont un poids de naissance compris entre 2600get

4000g.

En prenant un échantillon de 500 enfants nés dans cette région, on observe que 370 enfants ont un poids de naissance

compris entre 2600g et 4000g. Donnons une estimation deppar un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95%.

La fréquence observéefest370

500=0,74

L"intervalle au niveau de confiance de 95 % calculé à partir dela fréquence observéefest :?

f-1,96? f(1-f) n,f-1,96? f(1-f) n)??

0,74-1,96?

0,74(1-0,74)

500,0,74+1,96?

0,74(1-0,74)

500)?
[0,70 ; 0,78] La proportionpappartient à l"intervalle [0,70; 0,78]au niveau de confiance de 95%.

EXERCICE47 points

Les deux premières parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. Plusieurs

questions de la partie C peuvent être traitées de façon indépendante.

Polynésie3juin 2013

Corrigé du baccalauréat STL BiotechnologiesA. P. M. E. P.

Lors de l"administration d"un analgésique au moyen d"une perfusion à débit continu, on désigne

pary(t) la quantité (enμg) d"analgésique présente dans l"organisme d"un patient enfonction de

l"instantt(en min). différentielle (E) suivante :y?+0,14y=2 oùy?est la fonction dérivée dey. Partie A : Résolutionde l"équationdifférentielle(E)

1.Résolvons l"équation différentielle (E).Les solutions de l"équation différentielley?+ay=bsurRsont les fonctionsydéfinies par

y(x)=Ce-ax+b aoùCest une constante quelconque. a=0,14b=2 par conséquenty(t)=Ce-0,14t+2

0,14oùCest une constante quelconque.

2.Déterminons la fonctionfdéfinie sur l"intervalle [0 ;+∞[, solution de l"équation différen-

tielle (E) qui vérifief(0)=0. f(0)=Ce-0,14×0+2

0,14=C+20,14=0 d"oùC=-20,14≈-14,29.

Il en résultef(t)=-14,29e-0,14t+14,29.

PartieB : Étude d"une fonctionf

On considère la fonctionfdéfinie sur l"intervalle [0 ;+∞[ par : f(t)=14,29?1-e-0,14t? On désigne parCla courbe représentative de la fonctionfdans un repère orthogonal. On prendra comme unités 1 cm pour 2 min sur l"axe des abscisseset 1 cm pour 1μg sur l"axe des ordonnées.

1.Déterminons limt→+∞f(t). Nous savons que limx→+∞e-x=0.

lim La droiteDd"équationy=14,29 est asymptote à la courbeCau voisinage de+∞.

2. a.Soitf?la fonction dérivée defsur [0 ;+∞[.

Montrons que pour tout réeltde l"intervalle [0 ;+∞[,f?(t)=2,0006e-0,14t. f b.étudions le sens de variation defsur [0 ;+∞[. Pour toutx?R,ex>0 par conséquentf?(t)>0 pour toutt?[0 ;+∞[ comme produit de réels strictement positifs. Si pour toutx?I,f?(x)>0 alorsfest strictement croissante surI. Il en résulte quef est strictement croissante sur [0 ;+∞[.

3.Déterminons une équation de la tangenteTà la courbeCau point d"abscisse 0.

a)+f(a). f(0)=0f?(0)=2,0006e0=2,0006 Une équation de la tangenteTàCau point d"abscisse 0 esty=2,0006x.

4. a.Complétons le tableau de valeurs suivant :

t0510152030 f(t)07,210,812,513,414,1 les valeurs sont arrondies au dixième.

Polynésie4juin 2013

Corrigé du baccalauréat STL BiotechnologiesA. P. M. E. P. b.Les droitesTetDainsi que la courbe représentativeCsont tracés ci dessous dans un repère orthogonal.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 301

23456789101112131415

t en minquantité enμg Q/2 ≈5T D C Partie C : Exploitationdes résultatsde la partieB

La fonctionfétant la fonction définie dans la partie B, on admet que, pour touttde l"intervalle

[0; 30],f(t) représente, à l"instantt, la quantité d"analgésique présente dans l"organisme au cours

d"une perfusion. La quantitéQ=14,29μg s"appelle "quantité d"analgésique à l"équilibre».

1.Cette quantitéQpeut-elle être atteinte? Non, puisque cette quantité est lavaleur limite au

voisinage de l"infini.

2.À l"aide de la courbeC, déterminons graphiquement le temps au bout duquel la quantité

d"analgésique présente dans l"organisme du patient atteint la moitié deQ. Lisons l"abscisse dupoint d"intersection delacourbeavecladroited"équationy=7,145. Nouslisons approxi- mativement 5.

3.Au bout de 25 minutes, la quantité d"analgésique est d"environ 13,86μg.13,86

14,29≈0,97.

La quantité d"analgésique représente environ 97% de la quantitéQ.

Polynésie5juin 2013

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