[PDF] Corrigé du baccalauréat Polynésie 7 juin 2013 STI2D–STL–SPCL

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Durée : 4 heures

?Corrigé du baccalauréat Polynésie 7 juin 2013?

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EXERCICE14 points

1.Le carré dezest égal à :

z=2e-iπ

4?z2=?

2e-iπ4?2=4e-iπ2=4×(-i)=-4i. Réponsea.

2.L"inverse dezest égal à :1

z=12e-iπ4=12eiπ

4. Réponsed.

pour tout réelx, par :

•f(x)=αsin(2x+β),α?R,β?R.

La réponse est doncb.

4.On ap(X?8)=1-p(X<8)

Orp(X<8)=?

8 0 e-λtdt=? -e-λt?80=-e-8λ+1 . Doncp(X?8)=1-?-e-8λ+1?=e-8λ=e-8×0,2=e-1,6≈0,20. Réponseb.

EXERCICE25 points

On considère la suite numérique

(un)définie par : u

0=8 et, pour tout entier natureln,un+1=0,4un+3.

1.u1=0,4×8+3=6,2.

U

2=0,4×6,2+3=5,48.

2.Dans la cellule B3, on saisit =0,4*B2+3.

3.Il semble que la suite décroisse et converge vers 5.

4.L"entier N représente le rang de chaque terme de la suite, soitn.

5. a.Puisque(vn)est une suite géométriquevn=v0×0,4n=3×0,4n.

b.Comme 0<0,4<1, on sait que limn→+∞0,4n=0. Donc la limite de la suite vn)est égale à 0. c.Puisquevn=un-5 et que limn→+∞vn=limn→+∞un-5=0, on a donc lim n→+∞un=5. La conjecture faite à la question 3 est validée.

EXERCICE34 points

1.On sait que les solutions de l"équation différentielle sontles fonctions :

x?-→f(x)=Ke-0,04x+0,8

0,04=Ke-0,04x++20, avecK?Rquelconque.

La solutiongparticulière vérifieg(0)=100, soitK+20=100 ouK=80.

On a doncg(t)=80e-0,04t+20=20?1+4e-0,04t?.

Baccalauréat Sciences et technologies de l"industrie et du développement durable

Sciences et technologies de laboratoire

sciences physiques et chimiques de laboratoireA. P.M. E. P.

2. a.Latempératureaprès30minest:g(30)=20?1+4e-0,04×30?=2020?1+4e-1,2?≈

44,1°.

La grand-mère a sous-évalué le temps de refroidissement. b.Il faut trouverttel queg(t)=37, soit 20

80, soit par crois-

sance de la fonction logarithme népérien : -0,04t=ln17

80??t= -10,04ln1780≈38,720 soit 38 min et 0,72×60=

43,2 s.

Le temps nécessaire pour que la température descende à 37° est à la se- conde près 38 min 43 s.

EXERCICE47 points

A. Loi normale

1.La calculatrice donneP(74,4?L?75,6)≈0,98 à 10-2près.

on a : P(μ-2σ?X?μ+1,96σ)≈0,95, mais en fait de façon plus précise : P(μ-0,96σ?X?μ+2σ)≈0,95, doncP(75-h)?L?75+h)=0,95 pour h≈1,96σ, soith≈0,49

B. Loi binomiale

1.On a une épreuve de Bernoulli qui consiste à choisir une pièceproduite le

succès consistant à tirer une pièce non-conforme de probabilitép=0,02. L"expérience consistant àrépéter 20fois cetirageest unschéma deBernoulli, la variable aléatoire comptant le nombre de succès suit dontla loi binomiale

B(20 ; 0,02).

2.On aP(X=0)=0,020×0,9820≈0,6676.

3.La probabilité cherchée estP(X?1)=1-P(X=0)=1-0,9820≈0,3324 à

10 -4près.

4.Onsait queE(X)=np=20×0,02=0,4, nombredepièces défectueuses pour

20 pièces tirées ou ce qui est plus parlant 2 pièces défectueuses pour 100

pièces tirées.

C. Intervallede fluctuation

1.Il faut d"abord vérifier que l"on peut utiliser un intervallede fluctuation :

•n?30 : on a bien 80?30;

•np?5 : 80×0,02=1,6?5 FAUX!;

•n(1-p)?5 : 80×(1-0,02)=80×0,98=76,4?5.

p(1-p)n;p+1,96?p(1-p)n? on trouve l"intervalle [-0,010 ; 0,050] ce qui n"a pas de sens!

2.La fréquence des pièces non conformes dans l"échantillon prélevé est égale

3

80=0,0375, soit 3,5%.

on ne va pas réviser la machine.

Polynésie27 juin 2013

Baccalauréat Sciences et technologies de l"industrie et du développement durable

Sciences et technologies de laboratoire

sciences physiques et chimiques de laboratoireA. P.M. E. P.

Annexe 1

AB

1nu(n)

208
31
42

535,192

645,07681

755,03072

865,012288

975,0049152

1085,00196608

1195,00078643

12105,00031457

13115,00012583

14125,00005033

15135,00002013

16145,00000305

17155,00000322

18165,00000129

19175,00000052

20185,00000021

Polynésie37 juin 2013

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