[PDF] Agrégation interne. 2012/2013 1 – I – Polynômes de Hilbert K est un

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Agregation interne. 2012/2013

1 { I { Polyn^omes de Hilbert Kest un corps commutatif de caract´eristique nulle. K[X] est l'alg`ebre des polynˆomes `a coefficients dansK:

Pour tout entier natureln:

-Mn(K) est l'alg`ebre des matrices carr´ees d'ordren≥1 `a coefficients dansK;

-Kn[X] est le sous-espace vectoriel deK[X] constitu´e des polynˆomes de degr´e au plus ´egal `an;

-Bn=(Xk) 0k nest la base canonique deKn[X]; - (Hn)n2Nest la suite des polynˆomes de Hilbert d´efinie par : H

0(X) = 1;∀n∈N; Hn(X) =X(X-1)···(X-n+ 1)

n! On d´esigne paru:K[X]→K[X] l'application lin´eaire d´efinie par : ∀P∈K [X]; u(P)(X) =P(X+ 1) et par ∆ =u-Idl'op´erateur de diff´erence premi`ere d´efini par : ∀P∈K[X];∆(P)(X) =P(X+ 1)-P(X)

Pour tout entier natureln;on d´esigne respectivement parunet ∆nles restrictions deuet ∆ `aKn[X]:

1. Montrer que, pour tout entier natureln;(

Hk)0knest une base deKn[X] et que (Hn)n2Nest une base de K[X]:

2. Montrer que, pour tout entier natureln; unest un isomorphisme deKn[X];donner sa matriceAndans la base

canoniqueBnet calculer son inverseA1n: j k=i(-1)ki(k i)( j k) ={0 sii < j

1 sii=j

4. Donner une expression simple deHk(j) pour toutk∈Net toutj∈Z(Zest identifi´e `aZ·1 dansK).

En d´eduire queHk(Z)⊂Z;pour toutk∈N:

5. D´eterminer, pourn≥1;les racines du polynˆomeP=n∑

k=0(-1)kHket donner une expression dePen fonction du polynˆomeHn:

6. Soientn∈N; P∈Kn[X] etP=n∑

k=0 kHkson ´ecriture dans la base (Hk)0kndeKn[X]: (a) Montrer que : t

An

0 1... P(0) P(1) (b) Montrer que, pour tout entierjcompris entre 0 etn;on a : j=j∑ k=0(-1)jk(j k) P(k) (c) Calculer j∑ k=0(-1)jk(j k)

P(k) pourj≥n+ 1:

(d) Montrer queP(Z)⊂Zsi, et seulement si, on ak∈Zpour toutkcompris entre 0 etn:

7. Montrer que, pour tout entier natureln;∆nest un endomorphisme deKn[X] et qu'il est nilpotent d'ordren:

8. L'application ∆ :K[X]→K[X] est-elle nilpotente?

1. D'apres, Centrale PSI 2003, Capes 2002, Agregation interne 2010

1

9. Montrer que ∆ n'est pas injective et d´ecrire son noyau.

10. Calculer ∆(Hn) pour toutn∈Net ∆k(Hn)(0) pour tousn;kdansN:

11. Montrer que, pour toutn∈N;on a :

∀P∈Kn[X]; P=n∑ k=0( ∆k(P))(0)Hk Expliciter les coefficients du polynˆomeX3dans la base (Hk)0k3:

12. Soientn∈NetP∈Kn[X]:

En utilisant la question pr´ec´edente, montrer que les conditions suivantes sont ´equivalentes :

(i)P(Z)⊂Z; (ii) les composantes dePdans la base (Hk)0knsont enti`eres; (iii)P(k)∈Zpour toutkcompris entre 0 etn; (iv) il existen+ 1 entiers cons´ecutifs en lesquelsPprend des valeurs enti`eres.

13. Montrer qu'un polynˆomeP∈K[X] est tel queP(Q)⊂Qsi, et seulement si, il est dansQ[X] (i. e. ses

composantes dans la base canonique sont rationnels).

14. Montrer que pour tout polynˆomeP∈K[X];il existe un polynˆomeQ∈K[X];unique `a une constante additive

pr`es, tel queP= ∆(Q): En d´eduire, pour tout entier natureln;une expression den∑ k=0P(k) en fonction deQet den:

Simplifier la somme

n∑ k=0k 3:

15. Soit (un)n2Nune suite d'´el´ements deKd´efinie par :

{u0∈K ∀n∈N; un+1=un+P(n)

o`uPest un polynˆome non nul dansK[X]:En d´esignant parQle polynˆome tel queP= ∆(Q) etQ(0) = 0;

montrer que : ∀n∈N; un=u0+Q(n)

Etudier le cas o`uP(X) =X2+X+ 1:

16. Soit (un)n2Nune suite d'´el´ements deK:Montrer que les deux conditions suivantes sont ´equivalentes :

(i) il existe un polynˆomeP∈K[X] tel queuj=P(j) pour toutj∈N; (ii) il existe un entiern∈N:tel que : ∀j≥n+ 1;j∑ k=0(-1)jk(j k) u k= 0 { II { Series entieres complexes. Quelques proprietes

Pour cette partie et la suivante,K=C:

Pour toutR∈]0;+∞] (i. e.Rest un r´eel strictement positif, ouR= +∞), on d´esigne par :

D(0;R) ={z∈C| |z|< R}

le disque ouvert de centre 0 et de rayonRdans le plan complexe et, pourRr´eel, par : le disque ferm´e de centre 0 et de rayonR:

Pour cette partie, on se donne une s´erie enti`ere complexe∑anznde rayon de convergenceR∈]0;+∞] et on

d´esigne parfsa somme qui est d´efinie surD(0;R) par : ∀z∈D(0;R); f(z) =+1∑ n=0a nzn 2

1. Justifier la d´efinition, pour tout r´eelr∈]0;R[;du r´eel :

M r(f) = sup jzj=r|f(z)|

2. Montrer que pour tout r´eelr∈]0;R[ et tout entiern∈N;on a :

a n=1

2rn∫

2 0 f(reit)eintdt et : r n

3. On suppose, pour cette question, queR= +∞:

(a) Montrer quefest born´ee surCsi, et seulement si, elle est constante (th´eor`eme de Liouville).

(b) En d´eduire que la s´erie enti`ere∑anznest uniform´ement convergente surCsi, et seulement si, sa somme

fest une fonction polynomiale.

4. Montrer que pour tout r´eelr∈]0;R[;on a :

1

2∫

2 0 f(reit)2dt=+1∑ n=0|an|2r2n

5. Montrer que si|f|admet un maximum local en 0;elle est alors constante (principe du maximum).

6. Soit (fk)k2Nune suite de fonctions d´eveloppables en s´erie enti`ere surCavec

∀k∈N;∀z∈C; fk(z) =+1∑ n=0a (k)nzn

On suppose que (fk)k2Nconverge uniform´ement vers une fonctiongsur tout compact deC:Montrer quegest

d´eveloppables en s´erie enti`ere surC:

7. Montrer qu'une fonctiongest d´eveloppables en s´erie enti`ere surCsi, et seulement si, il existe une suite de

polynˆomes (Pn)n2Nqui converge uniform´ement versgsur tout compact deC:

8. Soientr∈]0;R[ etz0∈D(0;r):

(a) Montrer que : f(z0) =1

2∫

2 0re it re it-z0f(reit)dt (formule de Cauchy). (b) Montrer que : r- |z0|Mr(f)

9. Montrer que la fonctionr7→Mr(f) est croissante sur ]0;R[ et que :

M r(f) = sup z2

D(0;r)|f(z)|

10. Soientr∈]0;R[ etz0∈D(0;r):

(a) Montrer que, pour tout entierp∈N;la s´erie∑ np+1a nzn1p

0est convergente. On noteraSpsa somme.

(b) Calculerz0S0etSp-z0Sp+1;pour tout entierp∈N: (c) Montrer queSp=op!+1( 1 r p+1) (d) Montrer que le rayon de convergenceR0de la s´erie∑Spzpest sup´erieur ou ´egal `aR:

On d´esigne parg0(z) =+1∑

p=0S pzpla somme de cette s´erie enti`ere pourz∈D(0;R0): 3 (e) Montrer que : ∀z∈D(0;R);(z-z0)g0(z) =f(z)-f(z0)

On a donc ainsi montr´e que pour toutz0∈D(0;R);il existe une fonctiong0d´eveloppable en s´erie enti`ere

surD(0;R) telle quef(z)-f(z0) = (z-z0)g0(z) pour toutz∈D(0;R):

(f) On suppose quefs'annule en enp≥1 points deux `a deux distincts,z1;···;zpdeD(0;R)\ {0}:

i. Montrer qu'il existe une fonctiongd´eveloppable en s´erie enti`ere surD(0;R) telle que : j=1( r2- z j=1(z-zj)(1) z jest le nombre complexe conjugu´e dezj). ii. Calculerr2- z j·z z-zj pour toutz∈D(0;R)\ {z1;···;zp}tel que|z|=r: iii. Montrer que pour toutz∈D(0;R)\ {z1;···;zp}tel que|z|=r;on a : |g(z)|=rp|f(z)| iv. Montrer que : M r(g) =rpMr(f) v. Montrer que : p j=1z j vi. On suppose qu'il existe un entierk∈Ntel queaj= 0 pour toutjcompris entre 0 etk-1:

Montrer que :

p j=1z j { III { Un theoreme de Polya Pour cette partie, on se donne une s´erie enti`ere complexe ∑anznde rayon de convergence infini et on d´esigne par fsa somme qui est d´efinie surCpar : ∀z∈C; f(z) =+1∑ n=0a nzn

On note encoreMr(f) = sup

jzjr|f(z)|pour tout r´eelr >0:

1. Soientn∈Netr > nun r´eel.

(a) D´ecomposer la fraction rationnelleRn(X) =n! X(X-1)···(X-n)en ´el´ements simples. (b) Montrer que : 1

2∫

2

0n!f(reit)

(reit-1)···(reit-n)dt=n∑ k=0(-1)nk(n k) f(k) (c) En d´eduire que : n k=0(-1)nk(n k) f(k) (r-1)···(r-n)

2. On suppose, pour cette question, quefest nulle surN(c'est-`a-dire quef(k) = 0 pour tout entierk∈N) et

queMr(f) =or!+1(2r):Montrer quefest identiquement nulle (on pourra raisonner par l'absurde en utilisant

II.10(f)viavecr=p; zj=jpourjcompris entre 1 etp;o`upest un entier naturel quelconque et s'aider de la

2pppep).

3. On suppose quef(N)⊂Zet queMr(f) =or!+1(

2r r 4 (a) En choisissant judicieusementrdans la questionIII.1montrer qu'il existe un entiern0tel que : ∀n≥n0;n∑ k=0(-1)nk(n k) f(k) = 0quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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