[PDF] Séance du samedi 9 mars 2013 9 mars 2013 Mathématiques





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rapport de jury EAI 1300A 2013

Session 2013. AGREGATION. Interne et c.a.e.r. Section mathématiques. Rapport de jury présenté par : Monsieur Marc ROSSO. Professeur des universités.



Concours du second degré – Rapport de jury Session 2013

La session 2013 du concours interne de l'agrégation et du CAERPA de sciences mathématiques et statistiques est publié sur le site du ministère ...



MINISTÈRE DE LÉDUCATION NATIONALE AGRÉGATION DE

Agrégation externe de mathématiques. Rapport du jury pour la session 2013. 5.2.5 Remarques sur l'épreuve de leçon de mathématiques - Option D . .



Concours du second degré – Rapport de jury Session 2013

La session 2013 du concours interne de l'agrégation et du CAERPA de sciences mathématiques et statistiques est publié sur le site du ministère ...



CONCOURS DU SECOND DEGRÉ – RAPPORT DE JURY

SESSION 2013. AGRÉGATION. INTERNE. D'ÉCONOMIE ET GESTION finance d'entreprise et finance de marché mathématiques appliquées à la gestion).



Agrégation interne. 2012/2013 1 – I – Polynômes de Hilbert K est un

K est un corps commutatif de caractéristique nulle. K [X] est l'alg`ebre des polynômes `a coefficients dans K. Pour tout entier naturel n :.



Préparation à lagrégation interne de mathématiques - Année 2013

2 oct. 2013 Exercice 1. (L'anneau Z est « intégralement clos ».) On considère un polynôme P unitaire et à coefficients entiers : P = Xd + ad?1Xd?1 + ...



Pierre GABRIEL

2013. CIMPA Research School on “PDE methods in Biology and Medicine” La Havane



Séance du samedi 9 mars 2013

9 mars 2013 Mathématiques pour l'agrégation interne analyse et probabilité. Vuibert



Bulletin officiel n° 33 du 12 septembre 2013 Sommaire

12 sept. 2013 Nominations des présidents des jurys des concours externes internes de l'agrégation et des concours d'accès à.

Seance du samedi 9 mars 2013

Acceleration d'une suite par la methode de Richardson

Lecons :251, 201, 215, 233, 238, 241, 255, 256

Exercices :401, 403, 406, 418, 432, 433, 444

References: [2], [6]

Principe

On suppose qu'une suite admet un developpement asymptotique de la forme x n=+n+ n+o(n) avec (; )6= (0;0) et 0Un exemple classique : approximation de

La suiteun=nsinn

converge versmais lentement. On peut deja accelerer cette suite en calculantUn=u2nde vitesse de convergence14 . Comme on ne peut pas utiliser2 npour le calcul deUn, on va utiliser la suiteVn= cos2 n. On a alors les formules de recurrence suivantes : 8>>< >:V n+1=rV n+ 12 avecV1= 0 U n+1=UnV n+1avecU1= 2 On trouve ensuite a partir du developpement limite de sinxen 0 un developpement asymptotique deUn: U n=33! 14 n+55! 116
n77! 164
n+o(164 n)

On ne peut evidemment pas utiliser

33!
,55! ,77! pour accelererUn, d'ou a partir deUn, le calcul deWn=Un+114 Un114 =4Un+1Un3 qui converge a la vitesse116 . On peut alors reiterer le procede pour avoir une suite qui converge a la vitesse 164

1. Programmer le calcul deUnsur un tableur. Quelle est la meilleure approximation

possible de? 1

2. Programmer le calcul deUnsur Xcas puis celui deWn.

3. Reiterer le processus.

4. Donner une approximation deavec 500 chires

Approximation dee

En utilisant la suiteun=1 +1n

net en reprenant le m^eme procede que celui decrit pour , on peut determiner une approximation dee. Pour cela, on cherche le developpement de expln(1 +x)x en 0 qui est donne parseries. On cherche ensuite le developpement asymptotique deUn=u2nque l'on accelere par la methode de Richardson. Calculer 500 decimales dee.

Approximation de

On sait queUn=HnlnnouHn=nP

k=11k converge tres lentement vers . Le developpement asymptotique deHndoit ^etre calcule terme a terme. On trouve : U n= +12n+o(1n Comparer la rapidite de convergence des dierentes suites vers

Methode de Monte Carlo

Lecons :220, 233, 238, 241, 252, 255, 256

Exercices :421, 425, 432, 433, 435, 437, 442

References :[1], [3]

Un exemple historique : l'aiguille de Buon

La probabilite qu'une aiguille de longueurachevauche une latte de largeurbest2ab .1On va prendreycomme variable uniforme sur [0;b] etsur [;] a l'aide de la fonctionrand. L'aiguille chevauche la latte superieure siy+asin > b.

1. Simuler le lancement d'une aiguille de c^ote 1cmsur une latte de c^ote 1cm.

2. Simuler le lancement d'une aiguille de c^oteacmsur une latte de c^otebcm(a < b).

Tester le casa:= 78;5398cm,b:= 1mpour deux lancers.

Approximation de

Dans un carreABCDde c^ote 1, un point pris au hasard possede une probabilite de4 d'^etre dans le quart de cercle centre surAet de rayon 1.Ecrire un programme, ayant comme argumentnle nombre de points aleatoires et donnant la valeur approchee de.

La convergence est - elle rapide ?1

Voir ce site ou Delahaye [3]

2

Amelioration de la convergence

On peut considerer l'exercice precedent comme le calcul deI=Z 1

0p1t2dt=Z

1 0 f(t)dt On prend alors une variable aleatoiretuniforme sur [0;1] et on calcule la moyenne desf(t) qui converge versI.Ecrire la procedure correspondante et verier qu'elle converge plus rapidement que la precedente.

Resolution de l'equation f(x)=0

Lecons :208, 251, 201, 233, 241, 255, 256, 257

Exercices :401, 403, 432, 443, 444

References :[2], [6], [5]

Methode du point xe

On cherche a resoudre l'equationx=ex. La fonctionf(x) =expossede un point xe et la suitexn+1=f(xn) converge vers une solution que l'on nommeraavecx0convenablement choisi.

1. Determiner une valeur approchee deavecfsolveouresoudre_numerique

2. Ecrire une procedure ayant comme argumentnetx0qui calculexn

3. Determiner une valeur dex0et denen deduire une valeur approchee de

4. Comparer la valeur obtenue a la valeur donnee par Xcas.

5. Utiliserplotseqpour illustrer la demarche.

Methode de Newton-Raphson

Principes et application au cas precedent

On cherche a resoudre l'equationf(x) = 0 en partant d'une valeurx0"proche" de la solution xet en approximant la fonction par sa tangente. On construit alors une suite x n+1=xnf(xn)f 0(xn) On montre que sifest de classeC2et sif0(x)6= 0 alors la suite est d'ordre 2. Programmer la methode de Newton pour approcherde l'exercice precedent. Montrer que la la methode est bien d'ordre 2. On pourra utiliserplotfuncettangentpour illustrer la demarche.

Cas particuliers

1. Ecrire un programme permettant d'approcher l'inverse d'un nombre reel uniquement en utilisant la somme/dierence et le produit. Donner une approximation de13 ,1

2. Sous les m^emes contraintes, ecrire une procedure permettant d'approcher la racine

carree d'un reel positif sans utiliser le calcul d'inverse. Donner une approximation dep2, p. 3

Acceleration de series alternees

Lecons :216, 201, 207, 233, 241, 255, 256

Exercices :401, 403, 404, 408, 415, 432, 433, 444

Reference :[4], [5]

On se donne les 3 series alternees suivantes qui sont de convergence (tres) lente et que l'on va chercher a accelerer. 112
+13 14 +15 :::= ln(2) 113
+15 17 +19 :::=4 112
3+13 314
3+15

3:::= (122)(3)

Calculer la valeur obtenue pour chaque serie apres 100 iterations et determiner la precision obtenue.

Transformee d'Euler d'une serie alternee

Un theoreme

Soit une serie alternee de terme general (1)nun= (1)nf(n). Pourp2N, on pose :

0uk=uk

uk=ukuk+1 puk= p1ukp1uk+1 On fait l'hypothese quefestC1et que8p2N; f(p)est decroissante en valeur absolue et de signe constant. On a alors X k>0(1)kuk= limp!+1k=pX k=0 ku02 k+1

Une majoration de l'erreur est donnee par

12 p+1p+1u0

La demonstration

1. On poseg(x) =f(x)f(x+ 1) etvn= un=g(n). On montre par recurrence surp

gr^ace au theoreme des accroissements nis que

8p>19x2]n;n+p[;pun= (1)pf(p)(x)

Et donc que

punest une suite monotone tendant vers 0:

2. On montre par recurrence surpque :

8p >0X

k>0(1)kuk=p1X k=0 ku02 k+1+12 pX k>0(1)kpuk

3. Puisque

P k>0(1)kpukest une serie alternee convergente, limp!+112 pP k>0(1)kpuk= 0 et la serie P k>0(1)kpukest majoree par son premier terme. 4

Algorithme naf

On poseD1(u,k):=u(k)-u(k+1).

1. Ecrire une procedure recursiveD2(u,p,k)qui calcule puk(prevoir un cas d'arr^et pourp= 0).

2. Pour chaque serie, determiner le nombre d'iteration necessaires pour obtenir 5 chires

signicatifs et donner une valeur approchee avec 5 chires signicatifs de ln(2); ; (3)

3. Peut-on avec cette methode obtenir 100 chires signicatifs ?

Algorithme naf bis

Le programme recursif n'est pas le mieux adapte au calcul de pukpuisque l'on calcule plusieurs fois le m^eme terme. On peut preferer calculer "directement" puken utilisant la formule : puk=pP n=0(1)np nuk+n 1. Ecrire une procedure iterativeD3(u,p,k}qui calcule puk

2. Comparer la vitesse d'execution avec la procedureD2

3. Peut-on avec cette methode obtenir 100 chires signicatifs ?

Acceleration d'une serie a terme positif

On peut appliquer la methode precedente en utilisant l'egalite : 1 X n=1(1)n+11n s= (112 s1)1X n=11n s= (112 s1)(s)

Calcul de(2)avec la transformee de Fourier

Pours= 2, on a le resultatP

n>11n 2=26 . On obtient ce resultat en calculant les termes de la transformee de Fourier de la fonction 2periodique sur [;],f(t) =t2 puis en concluant avec l'egalite de Parseval. Faire les calculs necessaires avec le logiciel gr^ace afourier_an, fourier_bnetint.

Acceleration de la convergence

Appliquer la transformation d'Euler et verier qu'elle converge plus rapidement que la suite initiale.

References

[1] C Brezinski.Algorithmique Numerique. Ellipses, 1988. [2] JF Dantzer.Mathematiques pour l'agregation interne, analyse et probabilite. Vuibert, 2007.
[3] JP Delahaye.Le fascinant nombre Pi. Belin, 1998. 5 [4] W Giorgi.Themes mathematiques pour l'agregation. Masson, 1998. [5] X Gourdon P Dumas.Maple, Son bon usage en mathematiques. Springer. [6] J-E Rombaldi.Elements d'analyse reelle. EDP Sciences, 2004. 6quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29
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