[PDF] Exercices sur les suites Exercices sur les suites. Terminale

3. Soit

Exercice2

1. On considère l"algorithme suivant :

Variables :nest un entier naturel

Initialisation : Demander la valeur den

Affecter àula valeur 1

Traitement : Pourivariant de 1 àn:

Fin de Pour

Sortie : Afficheru

(a) Donner une valeur approchée à 10-4près du résultat qu"affiche cet algorithme lorsque l"on choisitn=3.

(c) Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l"aide de cet algorithme pour certaines valeurs den.

Valeur affichée1,41421,95711,99861,99991,9999

2. (a) Démontrer que, pour tout entier natureln, 0 (b) Déterminer le sens de variation de la suite (un). (c) Démontrer que la suite (un)est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.

Lycée Robert Schuman1Octobre2013

Terminale SStéphane Le Méteil

Exercice3

On considère la suite numérique(vn)définie pour tout entier naturelnpar ?v0=1 v n+1=9 6-vn

Partie A

1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entiernaturelndonné, tous les termes de la suite, du rang 0 au rang

n.

Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.

Algorithme No1Algorithme No2Algorithme No3

Variables :Variables :Variables :

vest un réelvest un réelvest un réel ietnsont des entiers naturelsietnsont des entiers naturelsietnsont des entiers naturels Débutde l"algorithme :Débutde l"algorithme :Débutde l"algorithme :

LirenLirenLiren

vprend la valeur 1Pourivariantde 1 ànfairevprend la valeur 1 Pourivariantde 1 ànfairevprend la valeur 1Pourivariantde 1 ànfaire vprend la valeur96-vAffichervAfficherv Fin pourvprend la valeur96-vvprend la valeur96-vAffichervFin pourFin pour

Afficherv

FinalgorithmeFinalgorithmeFinalgorithme

2. Pourn=10 on obtient l"affichage suivant :

Pourn=100, les derniers termes affichés sont :

Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite(vn)?

3. (a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln, 0 (b) Démontrer que, pour tout entier natureln,vn+1-vn=(3-vn)2 6-vn.

La suite

(vn)est-elle monotone? (c) Démontrer que la suite (vn)est convergente.

Partie B Recherchede la limite de la suite

(vn)

On considère la suite

(wn)définie pour toutnentier naturel par w n=1 vn-3.

1. Démontrer que

(wn)est une suite arithmétique de raison-1 3

2. En déduire l"expression de

(wn), puis celle de(vn)en fonction den.

3. Déterminer la limite de la suite

(vn).

Lycée Robert Schuman2Octobre2013

Terminale SStéphane Le Méteil

Exercice4

On considère la suite(zn)à termes complexes définie parz0=1+i et, pour tout entier natureln, par

z n+1=zn+|zn| 3.

Pour tout entier natureln, on pose :zn=an+ibn, oùanest la partie réelle deznetbnest la partie imaginaire dezn.

Le but de cet exercice est d"étudier la convergence des suites(an)et(bn).

Partie A

1. Donnera0etb0.

2. Calculerz1, puis en déduire quea1=1+?

2

3etb1=13.

3. On considère l"algorithme suivant :

Variables :AetBdes nombres réels

KetNdes nombres entiers

Initialisation : Affecter àAla valeur 1

Affecter àBla valeur 1

Traitement :

Entrer la valeur de N

PourKvariant de 1 àN

Affecter àAla valeurA+?

A2+B2 3

Affecter àBla valeurB

3FinPourAfficher A

(a) On exécute cet algorithme en saisissantN=2. Recopier et compléter le tableau ci-dessous contenant l"état des va-

riables au cours de l"exécution de l"algorithme (on arrondira les valeurs calculées à 10-4près).

KAB 1 2

(b) Pour un nombreNdonné, à quoi correspond la valeur affichée par l"algorithmepar rapport à la situation étudiée

dans cet exercice?

Partie B

1. Pour tout entier natureln, exprimerzn+1en fonction deanetbn.

En déduire l"expression dean+1en fonction deanetbn, et l"expression debn+1en fonction deanetbn.

2. Quelle est la nature de la suite

(bn)? En déduire l"expression debnen fonction den, et déterminer la limite de(bn).

3. (a) On rappelle que pour tous nombres complexeszetz?:

?z+z????|z|+??z???(inégalité triangulaire).

Montrer que pour tout entier natureln,

zn+1|?2|zn| 3. (b) Pour tout entier natureln, on poseun=|zn|. Montrer par récurrence que, pour tout entier natureln, u n? ?2 3 ?n? 2.

En déduire que la suite

(un)converge vers une limite que l"on déterminera.

(c) Montrer que, pour tout entier natureln,|an|?un. En déduire que la suite(an)converge vers une limite que l"on

déterminera.

Lycée Robert Schuman3Octobre2013

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