[PDF] Chapitre 16 Moment cinétique et application

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PCSI2019-2 020,LycéeLalande,Bourg-en-Bre sseAlexandreAl les

Chapitre16

Momentcinétiqueetapplication

I'mturningmy headupanddown,

I'mturning,turning, turning,turning,turni ngaround.

LemonTree,Fool 'sGarden(199 5)

Bibliographie

bCapPrép aPhysiqueMPSI-PCSI-PTSI,Pérez,2013!Chapitre13

Nousavonspré cédemmentabord éplusieursoutilsfondamentauxenmécani que:lesloisdeNewt onainsiquelesconceptsdetra vail,

puissanceeténergie.Bienque cesq uelquesoutils nouspermettent detraiterl aplupartdesproblèm esquel'onpeutmodéli ser,nousavons

rencontrerdessituationspourle squellese xtrairelesinformationsutilespo uvaitêtredi ffi cile.Nousallon siciprésente runeapproche, construiteàpartirduP FD,qui s'applique aisément danslecasd'un systèmeen rotation.

IThéorèmedu momentcinétique

1.1Notionde moment

Lemomen tcinétiqued'unpointMdemas sem,dequantitédemouvement p M/R s'écrit(enkgm 2 s 1 A M/R AM^ p M/R AM^m v M/R bMomentcinétique Lemome ntcinétiqueestàla foisperpendiculaireàlavites seetauvec teu r AM.Danslecasd'unmouvementcirculairelepointAestsouven tlecentre dela rotation(cechoix restecependant arbitraire). Levecteur etdonc perpendiculaireauplanlocaldumouvement(i.e. parall èleàl'axede rotation).

Lesensde

estobten uparleproduitvect oriel(i.e. la"règle" delamaindroite). Lanormedu momentcinét iques'écrit =mrv|sin↵|avec↵l'angleentre AM et v M/R .Ladistancer|sin↵|peuts'inte rprétercommeladistanceentreAetla droiteportantl evecteur A M/R A M H v

AM|sin↵|

Lemome ntdelaforce

Fexercéesur lepoin tM,calculéaupointAs'écrit(enenN.m oukgm 2 s 2 M A F!M,R AM^ F; bMomentd'une force

Lemoment cinétique

A M/R donnela directionetle sensdelarotationde MautourdeA.Sanormemesureleproduitdelamasse m,lavitessev=| v M/R |etdela dista nce entreAetleprolongemen tdela vitessedeM.

Lemome ntd'uneforce

M A F/,MR donnela directionetle sensdel'e ff etderotati ondeMautourdeAdûà

F.Sanormemesurele

produitdubrasdelev ierl(distanceentreAetladroit ed'act ionde

F)parlanormeF.

bInterprétationdesmoments

1.2Théorèmedu momentcinétique

Leprin cipefondamentaldeladynam iquen'estpasdespluspratiquepo urétud ierunm ouvementderotation,pourcefa ireonprivilégi era

leth éorèmedumomentcinétiquequi peuts'obt eniràpartir duPFD d p M/R dt F.

Appliquonsleproduitvector ielàg auche"

AM^"de chaque termeduPFDpourfair eapparaîtrelemo mentd elarésult antedesforces AM^ F= M A F!M,R

Deson côtélemembre degauche duPFDdevient

AM^ d p M/R dt d dt AM^ p M/R d AM dt p M/R d A M/R dt d AO+ OM dt p M/R d A M/R dt d AO dt p M/R d OM dt p M/R d A M/R dt v A/R p M/R v M/R p M/R d A M/R dt

Lesvect eurs

v M/R et p M/R sontcolinéaires.D eplussil'onchoisitAfixealors v A/R

0.Danscesconditions

AM^ d p M/R dt d A M/R dt 151
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Lorsdumouv ementd'un mobileMrelativementauréférentielgaliléenRladér ivéetemporelledumoment cinétique

A M/R deMpar rapportàunpoi ntfixe Aestlasom medumo mentdetoutesle sforces enA d A M/R dt R X i M A F i !M,R bThéorèmedumomentciné tique

Remarque:L'hypothèseAestunpoi ntfixes implifielethéor ème,sicen 'estpaslecasilfaudraveil leràajo uterletermecorrectif

découlantde v A/R

1.3Applications

1.3.1Mouvementsplans

Soitunpoin tmatéri elMdemas semenmouvemen tdansleplanz=0parrappo rtauréférentielR.OnchoisitderepérerlepointM

parses coordonnéespolaires ,ainsisa positionetsavitesses 'expriment OM=r uret v=˙r uR+r u .Lemomentcinétiquedupoint matérielMparrapp ortaupointOs'écrit O M/R OM^(m v)=mr 2 uz.

Lemomen tcinétiqueestproportionnelleà lavitesseangulaire,auca rrédela distanceent reMetO.Lesignedumomentcinétiqueest

dépendantedusensdela rotationdu pointmatéri el, Mtournedansl ese nsdirectsi >0etdansle sensindirect sinon. Déterminerlemoment cinétiqueass ociéaumouvement OM=r ur+z uzet v=˙r ur+r u +˙z uz. O M/R =mzr ur+m(z˙rr˙z) u +mr 2 uz.

Momentcinétique,cas quelconque

1.3.2Pendule

Soitunpoi ntm atérielMdemas semaccrochéparunfildelongueur laupoi ntfixeO.L' étudesefait

dansleréféren tielRetonut iliserales coordonnéescylindriques.Appliquonslet héorème dumoment

cinétiqueaupointMparrapp ortaupoint fixeO d dt OM^m v M/R OM^ P+ T

Pourcalculer lesdi

ff érentstermesilnou sfautlapositionetv itesse dupointmatér iel OM=l ur; v M/R =l u ainsiquelesexpr essionsd esforces P=m g=mgcos✓ urmgsin✓ u T=T ur

Calculonslemem brede gauche

m dl 2 uz dt =ml 2 uz; puislesecond membre l ur^ P+ T =mglsin✓ uz. Let héorèmedumomentcinét iqueconduit doncàl'équationdi ff

érentielled'ordre2àcoe

ffi cients constants g l sin✓. O l M P=m g T ur u

Remarque:Onretrouv ebienl'équationclassiquedupendule pourdes anglesquelconques,quic onduitàl'équationdup endulesimple

pourlespet itsangles sin✓⇠✓.

Remarque:Enmult ipliantpar

✓ete nintégrant onpeutretrouverl'expressiondel'énergiemécanique 1 2 ml 2 2 mglcos✓=cste.

Remarque:LeTMCp ermetdef airedisparaîtreles forces n'influençantpas lemouvementdupointmatérielcommel atension dufil.

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IIEnsemblesdepointsmatériels enrotations

2.1Momentcinétique

Lemoment cinétiqued'unensemble deNpointsd'unsystèm e⌃parrapport àunpoin tAdansleréféren tielRestégalpar construction

A ⌃/R X i Aquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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