( 3 points ) On considère la suite (un) définie par { u0 = 1 = un +2n +
Or 2n +3 ?3 > 0 donc un+1 ?un > 0 quel que soit n ? N. Conclusion : la suite (un) est strictement croissante. 2. a. Démontrer que
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2n. 2) un = 1 n + 1. -. 1 n. 3) un+1 = un. 1 + un² et u0 = 4 On considère la suite (un) définie par tout entier naturel n par : u0 = 1 et un+1 = -.
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1.Étudier la monotonie de la suite(un).
On a pour toutn?N,un+1=un+2n+3,
doncun+1-un=2n+3. Or 2n+3?3>0, doncun+1-un>0 quel que soitn?N. Conclusion : la suite(un)est strictement croissante.2. a.Démontrer que, pour tout entier naturel n,un>n2.
Démonstration par récurrence :
Initialisation:u0=1 doncu0>02: la proposition est vraie pourn=0; Hérédité: supposons qu"il existen?Ntel queun>n2je suppose la proposition vraie au rang n alorsun+2n+3>n2+2n+1+2 ou encoreun+1>(n+1)2+2 donc à fortioriun+1>(n+1)2alors la proposition est vraie au rang n+1 Conclusion: la proposition est vraie pourn=0 , elle est héréditaire donc par récurrence on a : pour toutn?N,un>n2 b.Quelle est la limite de la suite(un)?Pour toutn?N,un>n2comme limn→+∞n2=+∞on a par comparaison : limn→+∞un=+∞.
EX2 :( 3 points )Soit la suite(un)définie pour n≥1par un+1=25un-3et u1=0. Pour n≥1, on pose vn=un+5.
1.Montrer que(vn)est une suite géométrique. Préciser la raison.
Pourn≥1 , on a :vn+1vn=un+1+5un+5=2
5un-3+5
un+5=2 5un+2 un+5=25×(un+5)
(un+5)=25 donc la suite (vn)est une suite géométrique de raisonq=25en effet, on a :vn+1=25vnpourn≥1
2.Soit n≥1, exprimer vnen fonction de n.
Comme(vn)est géométrique de premier termev1=u1+5=0+5=5 et de raisonq=25 j"obtiens pourn≥1 :vn=v1×qn-1=5×?2 5? n-13.Exprimer unen fonction de n. En déduirelimn→+∞un.
un=vn-5 donc limn→+∞un=limn→+∞vn-5=-5 avec limn→+∞vn=limn→+∞5×?25?
n-1 =0 car-1<25<1 EX3 :( 4 points )On considère la suite(un)n?Ndéfinie par : u0=5et, pour tout entier n?1,un=? 1+2n? u n-1+6n1. a.Calculer u1.
u1=? 1+21? u0+61=3×5+6=21
b.Les valeurs de u2,u3,u4,u5,u6,u7,u8,u9,u10,u11sont respectivement égales à :45, 77, 117, 165, 221, 285, 357, 437, 525, 621.
À partir de ces données conjecturer la nature de la suite (dn)n?Ndéfinie par dn=un+1-un. J"obtiens :d1=u1-u0=16,d2=u2-u1=24 , puisd3=32,d4=40,d5=48 , on peut donc conjecturer que la suite (dn)n?Nest arithmétique de raison 8 et de premier terme 16.TS. Évaluation 3.09 -Correction♣
2.On considère la suite arithmétique(vn)n?Nde raison8et de premier terme v0=16.
Justifier que la somme des n premiers termes de cette suite est égale à4n2+12n. Soit(vn)n?Nla suite arithmétique de raisonr=8 et de premier termev0=16 Pour tout entier natureln,vn-1=v0+(n-1)r=16+8(n-1)=8+8nLa sommeSndesnpremiers termes est :
S n=v0+v1+···+vn-1=n?v0+vn-1 2? =n?16+8+8n2? =n(12+4n)=4n2+12n3.Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n on a : un=4n2+12n+5.
Démonstration par récurrence :
Initialisation:u0=5=4×02+12×0+5 : la proposition est vraie pourn=0Hérédité: supposons qu"il existen?Ntel queun=4n2+12n+5.je suppose la proposition vraie au rang n
alorsun+1=? 1+2 n+1? u n+6n+1=?1+2n+1?
?4n2+12n+5?+6n+1. or 4n2+12n+5=4(n+1)2-8n-4+12n+5=4(n+1)2+4n+1=4(n+1)2+4(n+1)-3.En reportant dansun+1au dessus, on obtient :
u n+1=? 1+2 n+1? ?4(n+1)2+4(n+1)-3?+6n+1 =4(n+1)2+4(n+1)-3+8(n+1)+8-6 n+1+6n+1=4(n+1)2+12(n+1)+5.alors la proposition est vraie au rang n+1 Conclusion: la proposition est vraie pourn=0 , elle est héréditaire donc par récurrence on a, quel que soitn?N,un=4n2+12n+5.4.Valider la conjecture émise à la question1. b..
Soitn?N, d"après les questions précédentes : dLa suite
(dn)n?Nest arithmétique de raison 8 et de premier termed0=16.TS. Évaluation 3.09 -Correction♣
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