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Calculs de probabilites

conditionelles

Mathematiques Generales B

Universite de Geneve

Sylvain Sardy

20 mars 2008

1

1. Independance

Exemple : On lance deux pieces. SoitAl'evenement `la premiere est Pile' et

Bl'evenement `la deuxieme est Pile'.

Les deux pieces sont equilibrees doncP(A) =12

etP(B) =12 . De m^eme P(ATB), la probabilite de deux Piles, est de 1 sur 4. On observe ici que P(A \B) = P(A)P(B): Ce n'est pas un hasard : les deux evenements sontindependants.Probabilites conditionelles 2

Denition: Deux evenementsAetBsont independants si

P(A \B) = P(A)P(B): Exemple : On tire une carte parmi 52. SoitAl'evenement `la carte est un As' etBl'evenement `la carte est un Coeur'.

ClairementP(A) = 4=52 = 1=13etP(B) = 13=52 = 1=4.

La probabilite que la carte soit un As de Coeur (ATB) est de 1 sur 52. On voit bien ici aussi queP(ATB) = P(A)P(B).Probabilites conditionelles 3 Exemple de non-independance : On tire 2 cartes parmi 52. SoitAl'evenement `la premiere est un Coeur' etBl'evenement `la deuxieme est un Coeur'. La probabilite que la premiere carte est un Coeur estP(A) = 1=4. De m^eme pour la deuxieme, doncP(B) = 1=4. Par contre la probabilite que les deux cartes soient des Coeur estP(ATB) = C

13;2=C52;2=13125251<(14

)2. Les deux evenements ne sont donc pas independants. On le savait puisque si la premiere est un Coeur (avec probabilite 13/52), alors la probabilite que la deuxieme est un Coeur est plus faible (12/51). On noteraP(BjA)pour `Probabilite deBsachantA'.Probabilites conditionelles 4 Exemple : On lance 6 des. Quelle est la probabilite de l'evenementA='On a exactement deux 4'? =f1;2;3;4;5;6g6. C'est un ensemble ni.

Un element deApossible est :Ak=x4xxx4, ou=tout

sauf un 4.

Le nombre d'elements deAestjAj=C6;2=6

2 P() = 5=6etP(4) = 1=6. Par independance, chaqueAkse realise avec probabiliteP(Ak) = (56 )4(16 )2.

De plus lesAksont disjoints.

DoncP(A) = P(S

kAk) =P kP(Ak) =jAj (56 )4(16 )2=6 2 56
416

2.Probabilites conditionelles

5

Generalisation : ladistribution binomialeB(n,p).

L'exemple precedent compte la probabilite dek= 2succes (`obtenir un 4') apresn= 6experiences independantes et, a chaque experience, la probabilite de succes estp= 1=6. On repete une experience aleatoirenfois de facon independante. Soit la variable aleatoireXi=1si experience positive 0 sinon .

La probabilite d'un succes estp= P(Xi= 1).

P(ksucces) = P(nX

i=1X i= k) =n k p k(1p)nkpour k2 f0;1;2;:::;ng:

Dans l'exemple precedent :

6 2 16 2116

62.Probabilites conditionelles

6 Application : Un etudiant passe un test QCM a 4 possibilites. Il y a en tout

10 questions. Fait etrange, il n'est jamais venu en cours et va donc choisir au

hasard. Quelle est la probabilite qu'il ait exactement 3 reponses justes? Il s'agit de 10 experiences independantes de probabilite de succesp= 1=4. La probabilite d'obtenir exactement 3 reponses justes est donc : 10 3 (1=4)3(3=4)7= 0:2502823Probabilites conditionelles 7 Exemple : Une famille a 3 enfants. La probabilite d'avoir une lle ou un garcon est equitable. SoitA='il y a au plus une lle' etB='la famille a des enfants des deux sexes'. Ces deux evenements sont-ils independants?

P(A) = P(0) + P(1) = C

3;0(1=2)0(1=2)3+ C3;1(1=2)1(1=2)2= 1=2.

P(B) =

jfFFG;FGF;GFF;FGG;GFG;GGFgj2

3= 6=8 = 3=4.

P(A

TB) =jfFGG;GFG;GGFgj2

3= 3=8.

Ces deux evenements sont donc independants.Probabilites conditionelles 8

2. Probabilite conditionelle

Motivation

Intuition: On repete une experiencenfois est on note : le n ombrede fois n(A)ou l'evenement A se realise, le n ombrede fois n(ATB)ouAetBse realisent ensemble. La probabilite deBsachant queAse realise est donc proche de n(ATB)n(A)=n(ATB)=nn(A)=nP(BTA)P(A):Probabilites conditionelles 9 Denition: SoitAetBdeux evenements. SiP(A)>0, on denit

P(BjA) =P(BTA)P(A)

et on lit : \Probabilite conditionelle de B sachant A."Probabilites conditionelles 10 Consequence: Soit deux evenements independants A et B. On sait que

P(ATB) = P(A)P(B), donc

P(BjA) =P(BTA)P(A)

=P(B)P(A)P(A) = P(B):

C'est une consequence attendue.

De plus siB=A, alorsP(AjA)devrait ^etre egale a 1. En eet :

P(AjA) =P(ATA)P(A)

=P(A)P(A) = 1:Probabilites conditionelles 11 Exemple : Une urne contient 6 boules rouges et 5 boules noires. On tire 2 boules sans remise. Quelle est la probabilite (conditionelle) que la deuxieme soit noire sachant que la premiere est rouge? Appelons A="la premiere est rouge" et B="la deuxieme est noire". La reponse cherchee est

P(BjA) =P(BTA)P(A)

=(6)(5)(11)(10) (6)(10) (11)(10) =12 Une autre facon de trouver le resultat est que, apres que la premiere est rouge, il reste 5 rouges et 5 noires donc

P(BjA) =510

=12 :Probabilites conditionelles 12

Proprietes de multiplication:

1.P(ATB) = P(AjB)P(B)

2.

Soit A1;:::;Akdes evenements. Alors

P(A 1\A

2\:::\A

k)= P(A kjAk1\:::\A 1) P(A k1jAk2\:::\A 1) P(A

3jA2\A

1)P(A2jA1)P(A1)Probabilites conditionelles

13 Exemple : Une urne contient 6 Rouges et 5 Noires. On tire 3 boules sans remise. Quelle est la probabilite qu'elles soient toutes rouges? SoitAi="laieme est rouge". On cherche a calculer : P(A 1\A 2\A

3) = P(A3jA1\A

2)P(A2jA1)P(A1) =49

510
611
Une autre approche est de considerer les arrangements possibles avec trois boules rouges en premier, soit : P(A 1\A 2\A

3) =C6;3C

11;3=6!3!3!

11! 3!8! :Probabilites conditionelles 14

Formule des probabilites totales.

SoitfA1;:::;Angune partition de

. Alors pour tout evenementA,

P(A) =

nX k=1P(AjAk)P(Ak):

Demonstration :

P(A) P(A kA k)) P( kA\A k) X kP(A\A k)Probabilites conditionelles 15 Exemple : Urne avecnRRouge,nNNoire etnBBleu. Soitn=nR+nN+nB. Quelle est la probabilite deA="la deuxieme tireesans rem iseest Rouge" ? SoitAcet evenement etAx='la premiere est de couleurx'. Notons quefAR;AN;ABgest une partition de l'univers, donc : P(A) = P(AjAR)P(AR) + P(AjAN)P(AN) + P(AjAB)P(AB) nR1n1n Rn +nRn1n Nn +nRn1n Bn nRn(n1)(nR1 +nN+nB) nRn :Probabilites conditionelles 16 Interessant : C'est la m^eme probabilite que la premiere boule tiree soit Rouge!

Donc que le tirage soit

avec remisequotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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