[PDF] [PDF] ANALYSE COMPLEXE - CEREMADE Dauphine

View - Download [PDF] ANALYSE COMPLEXE - CEREMADE Dauphine

Previous PDF

Next PDF

D epartement MIDO

Notes de cours

ANALYSE COMPLEXE

Guillaume CARLIER

L3, ann

ee 2012-2013 2 Ces notes de cours constituent une introduction a l'analyse complexe elementaire, domaine fascinant de l'analyse aux nombreuses ramications. Ces notes ne vous seront protables que si vous preparez regulierement et serieusement les T.D.s et ne vous dispensent bien evidemment pas d'assister au cours. N'hesitez pas a me signaler les erreurs et les coquilles qui subsisteraient dans ces notes. De maniere generale, vos suggestions sont les bienvenues, c'est gr^ace a elles que ces notes pourront ^etre ameliorees pour vos camarades des prochaines annees. J'espere que ce poly vous sera utile et vous en souhaite une bonne lecture.

G. CARLIER

3 4

Table des matieres

1 Rappels et preliminaires 6

1.1 Rappels sur les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2 Topologie des metriques, topologie deC. . . . . . . . . . . .9

1.3 Rappels sur les suites et series de fonctions . . . . . . . . . . .

16

1.4 Connexite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2 Series entieres 21

2.1 Denitions et proprietes premieres . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2 Operations sur les series entieres . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.3 Derivees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.4 Exponentielle et quelques fonctions usuelles . . . . . . . . . .

30

2.5 Logarithme complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3 Fonctions analytiques 36

3.1 Denitions premieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.2 Prolongement analytique, principe des zeros isoles et consequences

37

3.3 Theoreme du module maximal et consequences . . . . . . . . .

41

4 Fonctions holomorphes, formules de Cauchy, primitives com-

plexes 43

4.1 Denitions et proprietes premieres . . . . . . . . . . . . . . . .

43

4.2 Les relations de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . .

44

4.3 Integrales le long de chemins, indice . . . . . . . . . . . . . . .

47

4.4 Primitives complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

4.5 Theoreme de Cauchy et analyticite des fonctions holomorphes

59

5 Fonctions meromorphes, singularite et residus 63

5.1 Series de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

5.2 Fonctions meromorphes, p^oles, residus . . . . . . . . . . . . .

68

5.3 La formule des residus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

5.4 Exemples de calcul d'integrales par la formule des residus . . .

73
5

Chapitre 1

Rappels et preliminaires

1.1 Rappels sur les nombres complexes

Soit (x;y) et (x0;y0) deux couples de reels et denissons leur produit (x;y) (x0;y0) (ou (x;y)(x0;y0)) par (x;y)(x0;y0) = (xx0yy0;xy0+yx0): Ce produit denit une loi de composition interne surR2et en notanti= (0;1) et 1 = (1;0) on a les proprietes fondamentales que 1 est l'element neutre pour le produit : (x;y)(1;0) = (x;y) et i

2=ii= (1;0) =1

de sorte queipeut ^etre vu comme une racine carree de l'unite. On identie par la suite les points du planR2(x;y) az=x+iyet l'ensemble des nombres complexesCest precisement l'ensemblefz=x+iy;2R; y2Rg. Ainsi le produit des nombres complexesz=x+iyetz0=x0+iy0est il le nombre complexezz0= (xx0yy0) +i(xy0+x0y). Le conjugue dez=x+iyest par denition le nombre complexe z:=xiy, l'ecriturez=x+iyavecxety reels est unique (car 1 etiforment une famille libre surR),xetys'appellent respectivement partie reelle et partie imaginaire dez: x= Re(z); y= Im(z): Un nombre complexezest dit reel ssi sa partie imaginaire est nulle (on l'identie alors au reel Re(z)) et imaginaire pur ssi sa partie reelle est nulle. Le nombre complexe 0 est par denition le nombre complexe de partie reelle et imaginaire nulles. 6

Notons que

Re(z) =z+ z2

et Im(z) =zz2 La somme des nombres complexesz=x+iyetz0=x0+iy0est par denition z+z0= (x+x0) +i(y+y0) et le produit dezpar le reelest le complexez=x+iy(noter quez est aussi le produit des nombres complexeszet). AinsiCest-il unR-espace vectoriel et l'application : (x;y)2R27!x+iy2C est un isomorphisme et doncCest unRespace vectoriel de dimension deux (une base etant formee par 1,i). Muni de son produit et de son additionCest aussi un corps commutatif ce qui signie que : (C;+) est un groupe commutatif (son neutre etant le nombre complexe 0), notantC:=Cn f0g, (C;) est un groupe commutatif (son neutre etant le nombre 1 et l'inverse dez=x+iy6= 0 etantz1=zx

2+y2),

la multiplication est distributive pour l'addition (a gauche comme a droite) cest-a-dire que pour tout (z1;z2;z3)2C3on a z

1(z2+z3) =z1z2+z1z3;(z1+z2)z3=z1z3+z2z3:

Notons que pourz=x+iy2Cle nombre complexezz=x2+y2(d'ou la formule de l'inverse d'un complexe non nul) est donc reel et positif, le module dezest alors deni par jzj=pzz=px 2+y2 qui represente la distance (euclidienne) de (x;y) a l'origine dans le plan. L'ensemble des nombres complexes de module 1 se noteS1c'est l'ensemble des nombres complexes de la formeei:= cos() +isin()2R, c'est un groupe pour la multiplication (12S1et l'inverse deeieste i=ei). L'application2R7!eiest 2-periodique et c'est un morphisme de groupes entre (R;+) et (S1;) au sens ouei(+0)=eiei0. En eet, e i(+0)= cos(+0) +isin(+0) = (cos()cos(0)sin()sin(0)) +i(sin()cos(0) + cos()sin(0)) =eiei0: 7

Notons aussi quei=ei2

eti=ei2 ainsi que les formules de Moivre : e in= cos(n) +isin(n); n2Z; 2R et d'Euler : cos() =ei+ei2 ;sin() =eiei2i: Pourz2C,z6= 0,z=jzj 2S1et donczpeut s'ecrire sous la forme z=eiavec=jzj>0 et pour un certain2R, le nombren'est deni que modulo 2et s'appelle un argument dez, il represente geometriquement l'angle entre l'axe des reels et celui engendre parz. L'argument d'un nombre complexe n'etant deni qu'a un multiple de 2pres nous chercherons par la suite a en determiner une (ou des) representations continue(s), notons que l'argument n'est pas deni (m^eme modulo 2) au point 0 et par consequent pour construire des determinations continues de l'argument, il faudra se pla- cer sur des domaines ne contenant pas l'origine. La representationz=ei avec >0 et2Rs'appelle factorisation polaire dez2C.

Similitudes

Soitz0=x0+iy02C:=Cn f0g, considerons l'applicationfz0:C!C denie parfz0(z) :=z0z. L'applicationfz0est un isomorphisme deC(son inverse etantfz1

0evidemment). Notantz0=0ei0etz=eion afz0(z) =

0ei(0+)ainsi on voit aisement que l'applicationfz0est la composee de

l'homothetie de rapport0=jz0jet de la rotation d'angle0, c'est ce que l'on appelle unesimilitude,fz0a la propriete remarquable de conserver les angles orientes (exercice : montrer que c'est une caracterisation des similitudes). Noter que la conjugaisonz7!zn'est PAS une similitude. Une application lineaire du planR2est de la formef(x;y) = (ax+by;cx+ dy) et se represente par sa matrice dans la base canonique deR2: M f=a b c d il faut donc quatre reels pour la decrire. La matrice defz0(vue comme application lineaire du plan) a donc une structure speciale (elle est denie par les deux reelsx0ety0) ce qui se voit sur sa matrice M fz0=x0y0 y 0x0 dont les colonnes forment une base orthogonale directe. 8

Racines de polyn^omes

Par constructioni2=1 c'est-a dire que l'equation polyn^omialez2+ 1 = 0 admet les deux racines complexesietitandis qu'elle n'admet pas de racines reelles, l'un des principaux inter^ets des nombres complexes reside dans la resolution d'equations polynomiales. On a le theoreme fondamental suivant que nous demontrerons plus loin dans ce cours : Theoreme 1.1 (Theoreme de d'Alembert-Gauss)SoitPun polyn^ome complexe non constant (P(z) =Pn k=0akzk,ak2C,n1,an6= 0) alorsP possede au moins une racine complexe. La conclusion du theoreme est qu' il existez02Ctel queP(z0) = 0, ce qui revient aussi a dire que (zz0) diviseP(z) :P(z) = (zz0)P1(z) avec P

1de degren1, sin11 on applique encore le theoreme de d'Alembert

Gauss aP1:Q(z) = (zz1)P2(z) et ainsi de suite jusqu'a obtenir un facteur constant ce dont on deduit le corollaire Corollaire 1.1Tout polyn^ome complexe de degrenpossedenracines (comptees avec leur multiplicite). Il y a quelques equations polyn^omiales que l'on sait resoudre explicite- ment, c'est le cas des equations du second ordre vues au lycee, mais aussi de l'equation z n= 1 dont les solutions sont les racinesn-iemes de l'unitee2ikn ,k= 0;:::;n1.

1.2 Topologie des metriques, topologie deC

On rappelle qu'un espace metrique est la donnee d'un ensemble non videE muni d'une distance, c'est-a-dire d'une applicationd:EE!R+veriant les proprietes : 1. (sym etrie)d(x;y) =d(y;x) pour tout (x;y)2EE,

2.d(x;y) = 0,x=y

3. (in egalitetriangulaire) d(x;z)d(x;y) +d(y;z) pour tout (x;y;z)2 EEE. 9 Soit (E;d) un espace metrique,x2Eetr >0, on noteraBE(x;r) (ou simplementB(x;r) s'il n'y a pas d'ambiguite) la boule ouverte de centrex et de rayonr:

B(x;r) :=fy2E:d(x;y)< rg

etB E(x;r) (ou simplementB(x;r) s'il n'y a pas d'ambiguite) la boule fermee de centrexet de rayonr0 :B(x;r) :=fy2E:d(x;y)rg: Denition 1.1Soit(E;d)un espace metrique etAE, on dit queAest borneessi il existex2Eetr >0tels queAB(x;r). SiAest une partie deE, on denit son diametrediam(A) par : diam(A) := supfd(x;y);(x;y)2A2g: On verie aisement queAest bornee ssi diam(A) est ni. On peut maintenant denir les ensembles ouvertsde (E;d) : Denition 1.2Soit(E;d)un espace metrique etAune partie deE. On dit que :

1.Aest ouvertssi pour toutx2A,9r >0tel queB(x;r)A,

2.Aest fermessiEnAest ouvert.

3.Aest un voisinagedex2Essi9r >0tel queB(x;r)A.

Autrement dit, un ensemble est ouvert ssi il est voisinage de chacun de ses points. L'ensemble des ouverts de (E;d) s'appelle la topologie deEinduite par la distanced. On verie aisement qu'une boule ouverte (resp. fermee) est ouverte (resp. fermee). Proposition 1.1Soit(E;d)un espace metrique, on a alors :

1.Eet;sont ouverts,

2. une r eunion(quelc onque)d'ouverts est ouverte, 3. une interse ctionFINIE d'ouverts est ouverte. 10 La demonstration est elementaire et laissee au lecteur qui s'entrainera ainsi a se familiariser avec les denitions... Par passage au complementaire, on obtient les enonces correspondant aux fermes :

1.Eet;sont fermes,

2. une r eunionFINIE de fermes est fermee, 3. une in tersection(quelconque) de ferm esest ferm ee. Denition 1.3Soit(E;d)un espace metrique,Aune partie deEetx2E on dit que :

1.xest un point interieuraAssi9r >0tel queB(x;r)A(autrement

ditAest un voisinage dex),

2.xest un point adherentaAssi8r >0,B(x;r)rencontreA.

3.xest un point frontieredeAssi8r >0,B(x;r)rencontreAetEnA.

On appelle interieur deAet l'on noteint(A)l'ensemble des points interieurs deA. On appelle adherence deAet l'on noteA, l'ensemble des points adherents aA. On appelle frontiere deAet l'on note@Al'ensemble des points frontiere deA. Enn on dit queAest dense dansEssiA=E. Proposition 1.2Soit(E;d)un espace metrique,Aune partie deE, on a :

1.int(A)est ouvert et c'est le plus grand ouvert contenu dansA,

2.Aest ferme et c'est le plus petit ferme contenantA.

Preuve:

Montons d'abord que int(A) est ouvert : soitx2int(A) alors9r >0 tq B(x;r)A, donc siy2B(x;r=2) on aB(y;r=2)B(x;r)Ace qui montre quey2int(A) et doncB(x;r=2)int(A). int(A) est donc ouvert et evidemment int(A)A. Montrons maintenant que int(A) est le plus grand ouvert contenu dansA. SoitUouvert avecUAet soitx2U, commeU est ouvert9r >0 tqB(x;r)Umais commeUAil vientB(x;r)Aet doncx2int(A) ce qui montreUint(A) et acheve la preuve. La demonstration du point 2) est similaire et donc laissee au lecteur. 11 2 L'enonce precedent implique en particulier les caracterisations :

Aouvert,A= int(A);

et

Aferme,A=A:

Beaucoup de proprietes topologiques dans les espaces metriques peuvent se traduire par des proprietes sequentielles(i.e. en utilisant des suites) : retenez ce principe, l'utilisation de suites rend souvent les demonstrations plus simples que le maniement des denitions generales. Rappelons d'abord ce qu'est une suite convergente : Denition 1.4Soit(E;d)un espace metrique et(xn)une suite d'elements deE, on dit quex2Eest limite de la suite(xn)(ce que l'on noteraxn!x oulimnxn=x) ssi :8" >0,9N2Nt.q.8nN,d(xn;x)". On dit que (xn)est convergente si elle admet une limite.

Quand lim

nxn=x, on dit aussi quexnconverge versx. Remarquons que la convergence de (xn) versx(dansE) est equivalente a la convergence vers

0 ded(xn;x) (dansR).

Il convient de noter que si une suite est convergente alors elle admet une UNIQUE limite (cette propriete s'exprime en disant que les espaces metriques sont separes) : Proposition 1.3Soit(E;d)un espace metrique et(xn)une suite conver- gente d'elements deE, alors sa limite est unique.

Preuve:

Supposons que (xn) admette pour limitexetydansE. On a 0d(x;y) d(x;xn)+d(xn;y) ainsi en passant a la limite enn!+1on obtientd(x;y) =

0 i.e.x=yd'ou l'unicite.2

Proposition 1.4Soit(E;d)un espace metrique,Aune partie deE, on a : 1. soit x2E, alorsx2Assixest limite d'une suite d'elements deA,

2.Aest ferme ssi pour toute suite convergente(xn)d'elements deA, la

limite de cette suite appartient aA. 12

Preuve:

2) decoule de 1) et du fait queAest ferme ssiA=A. Supposonsx2A,

alors pour toutn2N,B(x;1=n) rencontreA. Soit doncxn2A\B(x;1=n) commed(x;xn)1=n,xnconverge versx. Reciproquement suposons que xsoit la limite d'une suite (xn) d'elements deAet montrons quex2A. Soitr >0, pournassez grandd(x;xn)< rainsi, commexn2A, on a A\B(x;r)6=;. Finalementr >0 etant arbitraire on a bienx2A. 2 Denition 1.5Soit(E;d)un espace metrique et(xn)nune suite d'elements deE, on dit que(xn)nest de Cauchy ssi :8" >0,9N2Nt.q. pour tout (p;q)2N2avecpNetqNon a :d(xp;xq)". La denition precedente peut aussi s'exprimer en disant que (xn)nest de

Cauchy ssi

sup pN; qNd(xp;xq)!0 quandN!+1: Evidemment, toute suite convergente est de Cauchy (s'en persuader!), la reciproque n'est cependant pas vraie : les espaces metriques pour lesquels cette reciproque est vraie sont dits complets : Denition 1.6Soit(E;d)un espace metrique, on dit que(E;d)est complet ssi toute suite de Cauchy d'elements deEconverge dansE. On dit qu'une suite (xn) d'elements deEest bornee s'il exister0 et x2Etels qued(x;xn)rpour toutn(noter qu'avec l'inegalite triangulaire la denition precedente est equivalent au fait que POUR TOUTx2Eil existertel qued(x;xn)rpour toutn). Passons maintenant a la compacite, rappelons d'abord quelques denitions relatives aux suites extraites et valeur d'adherence. Denition 1.7SoitEun ensemble non vide et(xn)nune suite d'elements deE, on appelle sous-suite (ou suite extraite) de la suite(xn)ntoute suite de la forme(x'(n))navec'une application strictement croissante deNdans N. Denition 1.8Soit(E;d)un espace metrique et(xn)une suite d'elements deE. On dit quexest valeur d'adherencede(xn)ssi l'une des assertions equivalentes suivantes est satisfaite :

1.(xn)admet une sous-suite qui converge versx,

13

2.8" >0,8N2N,9nNt.q.d(xn;x)",

3.8" >0l'ensemblefn2N:d(xn;x)"gest inni.

Exercice 1.1Prouver l'equivalence des trois assertions precedentes. Exercice 1.2Prouver que si'est comme dans la denition 1.7 alors'(n) npour toutn. Exemple 1.1La suite(1)nadmet deux valeurs d'adherence :1et1. L'equivalence qui suit est le theoreme de Bolzano-Weierstrass Theoreme 1.2Soit(E;d)un espace metrique etAune partie non vide de E, on dit queAest compacte si l'une des proprietes equivalentes suivantes est satisfaite : 1. toute suite d' elementsde Apossede une valeur d'adherence dansA, 2. p ourtoute famil led'ouverts de E,(Ui)i2IrecouvrantAc'est a dire telle queA [i2IUiil existeJIFINI tel queA [i2JUi. Proposition 1.5Soit(E;d)un espace metrique etAune partie compacte deEalorsAest fermee et bornee.

Preuve:

Aest recouvert par la familleB(x;n) (xquelconque etn2N) de ce recouvre- ment on peut extraire un sous-recouvrement ni ce qui implique clairement queAB(x;n0) pournassez grand et donc queAest bornee. Soit (xn) une suite d'elements deAconvergeant versx2E, commeAest compacte (xn) a une valeur d'adherence dansA, cette valeur d'adherence est necessairement xet doncx2Ace qui montre queAest fermee. 2

La distance usuelle surCest denie par

d(z;z0) :=jzz0j=q(zz0)(zz0) =p(xx0)2+ (yy0)2; 14 ouz=x+iy; z0=x0+iy0. Cette distance correspond evidemment a la distance euclidienne surR2identie aC. Pourz02Cetr >0 (resp.r0), la boule ouverteB(z0;r) (resp. la boule fermeeB(z0;r)) s'appelle plut^ot disque ouvert (resp. ferme) de centrez0et de rayonret on la note generalement D(z0;r) (resp.D(z0;r)). Le cercle de centrez0et de rayonrest enn note

S(z0;r) :=fz2C:jzz0j=rg.

Notons que la suite de complexes (zn)nconverge versz(resp. est de Cauchy, resp. est bornee) si et seulement si les suites de reels Re(zn) et Im(zn) convergent vers Im(z) et Re(z) respectivement (resp. sont de Cauchy dansR, resp. sont bornees dansR). CommeRest complet pour sa distance usuelle (celle induite par la valeur absolue) on en deduit que Theoreme 1.3C(muni de sa distance usuelle) est complet. De m^eme, on deduit du fait que les compacts deRsont ses fermes bornes : Theoreme 1.4Les parties compactes deCsont ses parties fermees et bornees et donc toute suite bornee de complexes possede une sous-suite convergente.

Terminons ces rappels par la continuite :

Denition 1.9Soit(E;d)un espace metrique etfune fonction denie sur Eet a valeurs dansCetx2E, on dit quefest continue au pointxsi l'une des conditions equivalentes suivantes est satisfaite : 1. p ourtout " >0il existetel que sid(x;y)alorsjf(x)f(y)j ", 2.quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

[PDF] analyse complexe usthb

[PDF] analyse comptable des opérations de lentreprise exercice

[PDF] analyse comptable des opérations de lentreprise pdf

[PDF] analyse conjoncturelle cours pdf

[PDF] analyse conjoncturelle définition

[PDF] analyse conjoncturelle pour lentreprise

[PDF] analyse cout efficacité exemple

[PDF] analyse cout utilité santé

[PDF] analyse crachats cancer

[PDF] analyse critique d'une offre d'emploi

[PDF] analyse doeuvre art plastique exemple

[PDF] analyse d'oeuvre d'art

[PDF] analyse d'un monument aux morts

[PDF] analyse dun processus bts cg

[PDF] analyse d'un spectre rmn