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Analyse Complexe

Philippe Charpentier

Université Bordeaux I

Septembre 2010

PHILIPPECHARPENTIER

UNIVERSITÉBORDEAUXI

LABORATOIRE DE MATHÉMATIQUESPURES

351, COURS DE LALIBÉRATION, 33405 TALENCE

Préface

J

ai donné ce cours à l"université Bordeaux I en première année de Master durant les années universitaires 2007-08, 2008-

09,2009-10et2010-11.Lecontenudecepolycopiéestexactement cequej"aitraitédevantles étudiants.Pourallerplus

loin dans la théorie des fonction holomorphes d"une variable complexe, le lecteur pourra consulter les ouvrages cités

dans le bibliographie.

Les exercices en fin de chapitre correspondent aux listes d"exercices distribuées par A. Yger au cours de l"année universi-

taire 2010-2011. iii

Table des matières

Préfaceiii

CHAPITRE I. Formes différentielles, homotopie

1

I.1. Définitions générales

1

I.2. Intégration des1-formes différentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

I.2.1. Définitions générales et formule de Stokes 5 I.2.2. Indice d"un lacet par rapport à un point 7

I.3. Homotopie

8

I.4. Deux applications

10

I.4.1. Logarithme complexe

1 0

I.4.2. Quelque propriétés de l"indice

1 1

Exercices

11

CHAPITRE II. Fonctions holomorphes21

II.1. Définition et propriétés fondamentales 21
II.2. Premières propriétés des fonctions holomorphes 24
II.3. Séries de Laurent et Théorème de l"application ouverte 27
31

Exercices

32

CHAPITRE III. Fonctions harmoniques41

III.1. La formule de Green

41
III.2. Fonctions harmoniques et sous-harmoniques et propriété de la moyenne 42
III.3. Le problème de Dirichlet classique dans une boule 45

III.4. Cas particulier de la dimension2, liens avec les fonctions holomorphes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 9

III.4.1. Noyaux de Green et de Poisson du disque unité et fonctions harmoniques 5 0

III.4.2. Fonctions sous-harmoniques

5 2 III.4.3. Intégrale de Poisson et fonctions holomorphes 5 3

Exercices

53

CHAPITRE IV. Théorème de Runge, équations de Cauchy-Riemann et Théorème de Weierstrass

59
IV.1. Théorème de Runge et enveloppes d"holomorphie 59

IV.2. RésolutionC¥des équations de Cauchy-Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2

IV.3. Le Théorème de Weierstrass

64
IV.3.1. Première démonstration du Théorème de Weierstrass 6 5

IV.3.2. Produits infinis de fonctions holomorphes

6 5 IV.3.3. Les facteurs élémentaires de Weierstrass 6 7

IV.3.4. La sphère de Riemann

6 8 IV.3.5. Seconde démonstration du Théorème de Weierstrass 6 9

Exercices

70
CHAPITRE V. Transformations biholomorphes, Théorème de Riemann 75

V.1. Généralités

75

V.2. Exemples de groupes d"automorphismes

76

V.2.1. Le groupe des automorphismes deC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 6

V.2.2. Le groupe des automorphismes de la sphère de Riemann 76

V.2.3. Le groupe des automorphismes du disque unitéD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 7

V.3. Le Théorème de Riemann

77
V.4. Régularité au bord des transformations conformes 79

Exercices

81
CHAPITRE VI. Prolongement analytique, fonctions modulaires, Théorème de Picard85

VI.1. Le cas des séries entières

85

VI.2. Le Théorème de Monodromie

86

VI.3. Fonctions modulaires

87

VI.4. Le Théorème de Picard

90
VI.4.1. Un Théorème de Landau et un Thèorème de Bloch 90

VI.4.2. Un Théorème de Schottky

91
VI.4.3. Démonstration du Grand Théorème de Picard 92

Exercices

93

Annexe97

CHAPITRE A. Intégration en polaires97

A.1. Mesure euclidienne (ou invariante) sur une sphère 97

A.2. Intégration en polaires

98

CHAPITRE B. Mesure euclidienne sur une sous-variété différentiable. Intégration par "tranches»

101
B.1. Cas des sous-variétés paramétrées 10 1

B.2. Cas général

10 2

Index104

Bibliographie107

CHAPITREI

Formes différentielles

homotopieI.1Définitions générales

DÉFINITIONI.1.1.SoitUun ouvert deRn. On appelleforme différentielle de degré1(ou1-forme différentielle) surUune applicationfde

Udans l"espace des formes linéaires surRn. Précisément, sia2Rnetx2U, on ahf(x);ai=åni=1fi(x)ai. En d"autrestermes, si on note(dxi)ila base canonique de formes linéaires surRn(i.e.hdxi;ai=ai), on af(x) =åni=1fi(x)dxi, et onnote doncf=åni=1fdxi. On dit quefest de classeCk,k2N[f¥g, si les fonctionsfisont de classeCk.

DÉFINITIONI.1.2.SoitUun ouvert deRn. On appellechamp de vecteurssurUune applicationX= (Xi)n i=1deUdansRn. On dit queXestde classeCk,k2N[f¥g, si les fonctionsXi(deUdansR) sont de classeCk. Les1-formes différentiellesf=åni=1fdxiet les champs de vecteursX= (Xi)n i=1sont mis en dualité par la formule h f;Xi(x) =nå i=1f i(x)Xi(x):

Exemple I.1.1 (Exemple fondamental).SoitUun ouvert deRnet soitf:U!Rune fonction de classeC1. Pour toutx2U,

soitd f(x)la différentielle defau pointx. Alors l"applicationx7!d f(x)est une1-forme différentielle appelée ladifférentielle

extérieuredef.

DÉFINITIONI.1.3.SoientUun ouvert deRpetVun ouvert deRn. Soitj= (ji)i:U!Vune fonction de classeC1. Soitw=åwidxiune1-forme différentielle surV. On appelleimage réciproquedewparjla1-forme différentiellejwdéfinie surUpar

j w=å

i(wij)djioùdjiest le différentielle extérieure deji. En particulier, siw=dgest la différentielle extérieure d"une fonctiongalorsj

w=d(gj)(i.e.jwest la différentielle extérieure degj).

Avant de définir lesp-formes différentielles, nous faisons quelque rappels sur les formesp-multilinéaires alternées. Nous

notonsLp(Rn)l"espace de ces formes surRn. SiT2Lp(Rn)et sivi,1ip, sont des vecteurs deRn, on a donc

T(v1;:::;vp) =sign(s)Tvs(1);:::;vs(p);

CHAPITRE I. FORMES DIFFÉRENTIELLES, HOMOTOPIE

pour toute permutationsdef1;:::;pg.

SiS2Lp(Rn)etT2Lq(Rn), on appelleproduit extérieurdeSparT, notéS^T, la formep+q-multilinéaires alternée

définie par : si(v1;:::;vp;vp+1;:::;vp+q)2Rp+q,

S^T(v1;:::;vp+q) =å

où la somme est étendue à toutes les permutationssdef1;:::;p+qgtelles ques(1)< ::: s(p+q). On vérifie facilement que l"on a aussi

S^T(v1;:::;vp+q) =1p!q!å

où, cette fois-ci, la somme est étendue à toutes les permutations. De même, la vérification des propriétés citées dans la

Proposition qui suit ne pose pas de difficulté :

PROPOSITIONI.1.1.SoientS2Lp(Rn),T2Lq(Rn)etR2Lr(Rn).1.S^T= (1)pqT^S.2.(S^T)^R=S^(T^R).3.S2Lp(Rn),S^S=0.4.S ifi,1ip, sont des formes linéaires surRn, alors, pourvi2Rn

f

1^:::^fp(v1;:::;vp) =å

ssign(s)f1vs(1):::fpvs(p);c"est-à-diref1^:::^fp(v1;:::;vp) =det(fi(vj)).5.T outef ormeS2Lp(Rn)s"écrit, de manière unique,

S=å

1i1<:::

i1:::ipdxi1^:::^dxip;ce qui signifie que lesp-formes alternéesdxi1^:::^dxip,i1 p(Rn). On les notedxIoùI= (i1;:::;ip).

Pour simplifier les notation, la somme

å1i1<:::IavecI= (i1;:::;ip).

On remarquera que, pourp>n,Lp(Rn) =0et queLn(Rn)est de dimension1.

DÉFINITIONI.1.4.On appelle formedifférentielle de degrép(oup-forme différentielle) sur un ouvertUdeRnune applicationwdeUdansL

p(Rn). Elle s"écrit donc de manière unique x7!w(x) =å0 Iw

I(x)dxI:On dit quewest de classeCksi les fonctionswIsont classeCk. Nous noteronsAp(U)l"espace desp-formes diffé-rentielles surUetAp

k(U)l"espace de celles qui sont de classeCk.

Lesp-formes différentielles sont mises en dualitéavec lesp-champs de vecteurs : siwest unep-forme etX=(X1;:::;Xp)

unp-tuple de champs de vecteurs, la relation de dualité est h w;Xi(x) =w(X1;:::;Xp)(x) =w(x)(X1(x);:::;Xp(x)) =å0 Iw

I(x)(X(x))I:

DÉFINITIONI.1.5.SoientUun ouvert deRpetVun ouvert deRn. Soitj= (ji)i:U!Vune fonction de classeC1. Soitw=å0

IwIdxIunep-forme différentielle surV. On appelleimage réciproquedewparjlap-forme différentiellejwdéfinie surUpar

j w=å0

I(wIj)(dj)I;où(dj)I=dji1^:::^djipsiI= (i1;:::;ip).2Université Bordeaux I - Master de Mathématiques Pures - Analyse Complexe - Automne 2010

I.1. DÉFINITIONS GÉNÉRALES

DÉFINITIONI.1.6.Soitw=å0

IwIdxIunep-forme différentielle de classeC1. On appelledifférentielle extérieuredewlap+1-formedifférentielledwdéfinie par

dw=å0

IdwI^dxI:

On remarquera que cette Définition prolonge celle donnée pour les fonctions (Exemple

I.1 .1

PROPOSITIONI.1.2.La différentiation extérieuredvérifie les propriétés suivantes :1.dest linéaire.2.S ifest une fonction de classeC2surU, on ad(d f) =d2f=0.3.S iw12Ap

1(U)etw22Aq

1(U), alorsd(w1^w2) =dw1^w2+(1)pw1^dw2.

sion résulte du Théorème de Schwarz. Montrons maintenant le 3. Par linéarité, il suffit de le faire lorsquew1=adxIet

w

2=bdxJ:

d(w1^w2) =d(ab)dxI^dxJ = (bda+adb)^dxI^dxJ da^dxI^bdxJ+adb^dxT^dxJ da^dxI^bdxJ+(1)padxI^bdxJ =dw1^w2+(1)pw1^dw2;

puisqueddxI=ddxJ=0par définition de la différentielle extérieure.PROPOSITIONI.1.3.Le carré de la différentielle extérieure est nul :d2=0.

Démonstration.En effet, siw=å0

IwIdxI, on a, par définition,dw=å0

IdwI^dxIet

d

2w=å0

I d(dwI)^dxI+dwI^ddxI=0;

puisque la Proposition précédente impliqued2wI=0(et queddxI=0).PROPOSITIONI.1.4.SoientUun ouvert deRpetVun ouvert deRn. Soitj= (ji)i:U!Vune fonction de classeC1. Soitw=å0

IwIdxIunep-forme différentielle surV. Alorsd(jw) =j(dw).

Démonstration.En effet, la définition dejwmontre quew7!jwest un homomorphisme d"algèbre lorsque l"on munit

l"espace des formes du produit extérieur. Il suffit dons de vérifier la formule pour les fonctions (ce qui a été remarqué à la

Définition

I. 1.3

) et pour les1-formes ce qui se fait aisément.DÉFINITIONI.1.7.SoitUun ouvert deRn. Une formew2Ap

1(U)est diteferméesidw=0. Une formew2Ap(U),p1, est diteexacte surUs"il existe une formeu2Ap1(U)telle quedu=w. Une formew2Ap(U),p1, est ditelocalement exacte surUsi,pour tout pointxdeU, il existe un voisinageV(x)dexdansUtel que la restriction dewàV(x)est exacte.

Commed2=0toute formede classeC1localement exacte est fermée (noter que cette affirmation n"a pas de sens pour

une forme localement exacte seulementcontinue!). Nous allons voir tout de suite que la réciproque est vraie. Par contre, en

général, une forme fermée n"est pas toujours exacte surU: ceci dépend de la topologie deU. Nous caractériserons un peu

plus loin les ouverts deR2pour lesquels cette propriété est vraie (l"étude générale dansRnfait partie d"un cours de topologie

qui permet de construire une solution de l"équationdu=wlorsque l"ouvertUest étoilé.

Rappelons que l"on dit qu"un ouvertUdeRnestétoilé par rapport à un de ses pointsasi, pour toutx2U, le segment[a;x]

est contenu dansU. Par exemple un ouvert convexe est étoilé par rapport à chacun de ses points.Philippe Charpentier3

CHAPITRE I. FORMES DIFFÉRENTIELLES, HOMOTOPIE

PROPOSITIONI.1.5.SoitUun ouvert deRnétoilé par rapport à un de ses pointsa. Alors toutep-forme,p1, de classeC1fermée surUest exacte surU. Plus précisément, en supposanta=0pour simplifier les notations, si, pour toute formew2Ap

1(U), ondéfinit la(p1)-formek(w)par

k(w)(x);(x1;:::;xp1)=Z 1 0tp1 w(tx);(x;x1;:::;xp1)dt;on a : 1.

s iw=d f,f2C1(U),k(d f) =ff(0),2.e ng énéral,d(k(w))+k(dw)=w, et, en particulier,d(k(w)) =wsiwest fermée.En particulier, toute forme fermée sur un ouvert quelconque deRnest localement exacte (une boule euclidienne étantconvexe donc étoilée).

Démonstration.La vérification du 1. est immédiate : k(d f)(x) =Z 1

0hd f(tx);xidt

Z 1

Nous démontrons maintenant le 2. uniquement pour les1-formes pour simplifier les calculs (c"est le seul cas que nous

utiliserons pour la théorie des fonctions holomorphes). Par linéarité, il suffit de les formes s"écrivantw(x) =a(x)dx1. Alors

d(k(w)) =å j1 Z1 dx j+ Z1

0a(tx)dt

dx 1; h k(d(w));xi=Z 1

0tå

dxj^dx1;(x;x)dt Z 1

0tå

donc k(dw)(x) =Z 1

0tå

ce qui donne d(k(w))+k(dw) =Z 1 0 dt+ Z1

0a(tx)dt

dx 1 Z 1 0 dx

1=a(x)dx1=w:I.2Intégration des1-formes

différentiellesI.2.1Définitions générales et formule de Stokes4Université Bordeaux I - Master de Mathématiques Pures - Analyse Complexe - Automne 2010

I.2. INTÉGRATION DES1-FORMES DIFFÉRENTIELLESRappelons tout d"abord que l"on appellechemin(orienté)Ckpar morceaux dans un ouvertUdeRnune application

continuegd"un segment[a;b]dansUtelle qu"il existe une subdivisiontk,0km, de[a;b]telle que la restriction degà

tout segment[tk;tk+1]soit de classeCk. De plus, sij:[a0;b0]![a;b]est unC1difféomorphisme, on dit quel=gjest un

autre paramétrage du cheming,jétant le changement de paramètre. Un changement de paramètrejest ditadmissiblesi

j

0>0(ce qui signifie, géométriquement, qu"il ne change pas l"orientation deg).

Un chemin est ditfermésig(a) =g(b). Un chemin fermé est aussi appelé unlacet.

DÉFINITIONI.2.1.Soitgun chemin (orienté)C1par morceaux dans un ouvertUdeRn.1.O nap pellelongueurdegle nombreL(g) =Rb

akg0(t)kdt=åkR

tk+1tkåni=1g0i(t)21=2dt.2.S oitwune1-forme continue surU. On appelleintégrale dewle long degle nombre

Z g w=Z b agw=å kZ tk+1 t k nå i=1w i(g(t))g0i(t)! lw=R gwsijestadmissible,R lw=R gwsinon.

Par exemple, pourw=d f, on aR

gw=f(g(b))f(g(a)).THÉORÈMEI.2.1.

SoitUun ouvertconnexedeRn. Soitwune1-forme différentiellecontinuedansU. Les conditions suivantes sont équi-valentes :

1. S ig1etg2sontdeuxcheminsC1parmorceauxdansUayantmêmeorigineetmêmeextrémitéalorsR g 1w=R g

2w;2.S igest un chemin ferméC1par morceaux dansUalorsR

gw=0;3.west exacte dansU.

Démonstration.En effet, tout d"abord, en mettant " bout-à-bout »g1etg2, on voit aussitôt que 1. et 2. sont équivalents,

ensuite, il est clair que 3. implique 1. et 2. Montrons donc que 2. implique 3. Soitx0un point quelconque deU. CommeUest

supposé connexe, il est connexe par arc, pour toutx2Uun existe un chemin continugxde classeC1, dansU, joignantx0à

x. On pose alors f(x) =Z g xw

après avoir remarqué que, compte tenu de l"hypothèse 1., cette intégrale est indépendante du chemingx, contenu dans

Uet joignantx0àxchoisit, et ainsi la fonctionfest bien définie. Soit alorsh2Rn,khksuffisamment petit de sorte que

la boule fermée de centrexet de rayonkhksoit contenue dansU, et soitgh(t) =x+thle segment joignantxàx+h. En

mettant " bout-à-bout »gxetgh, il vient aussitôtf(x+h)f(x) =R g hw=R1

0(åihiwi(x+th))dt. Commewest supposée

continue,8e>0, il existeh>0tel quejwi(x+th)w(x)jepourkhkh. Par suite l"inégalité de Cauchy-Schwarz donne

j f(x+h)f(x)hw(x);hij=R1

0(åihi(wi(x+th)wi(x)))dtekhk, pourkhkh, ce qui montre qued f(x) =w(x).THÉORÈMEI.2.2.

SoientWun ouvert deR2etwune1-forme différentiellecontinuesurW. Les conditions suivantes sont équivalentes :1.P ourtou tt rianglef erméDcontenu dansWon aR

Démonstration.Il est clair que 1. implique 2. en découpant un rectangle en deux triangles avec une diagonale. D"autre part,

siDest un triangle fermé contenu dansW, on peut découperDen quatre triangles en utilisant les milieux des cotés deD. En

répétant cette opération un certain nombre de fois, pour toute>0, on découpeDen trianglesDi, d"intérieurs deux à deux

disjoints qui sont chacun contenu dans un disque centré en un point deDet de rayone. Par compacité, sous l"hypothèse 3.,

on peut choisire>0tel que sur chacun de ces disqueswadmet une primitive. Alors, pour chaquei,R g xw.Six+h2Dx0;r,

soitghla juxtaposition des segments[x;(x1+h1;x2)]et[(x1+h1;x2);x+h]. L"hypothèse 2. implique alors quef(x+h) =Philippe Charpentier5

CHAPITRE I. FORMES DIFFÉRENTIELLES, HOMOTOPIE

f(x)+R g hw, soit (en notantw=w1dx1+w2dx2), puisquewest continue f(x+h)f(x) =Z 1

0w1(x1+th1;x2)h1dt+Z

1

0w2(x1+h1;x2+th2)h2dt

=w1(x)h1+w2(x)h2+o(jhj);

Avec cette définition, siwest une1-forme différentielle définie au voisinage d"un compact à bord orientéKdont le bord est

g iw. dx

2,(x1;x2)étant les coordonnées canoniques. Pour toute partie mesurableFdeUon pose alorsR

Fw=R

Ff dl, oùlest la

mesure de Lebesgue (orientation du plan).THÉORÈMEI.2.3(Formule de Stokes dansR2).SoitKun compact à bord orienté deR2. Pour toute1-forme différentiellewde classeC1définie au voisinage deKon a

Z K dw:

Remarque.Cette formule se généralise bien sûr aux compacts deRnet, plus généralement aux compacts dans les variétés

différentielles. Nous nous contentons ici du casR2pour éviter d"avoir à définir l"orientation des variétés différentielles qui

est nécessaire pour énoncer la formule en général. dx^dyetR Kdw=R [a;b] dxdy.

D"autre part

Z b aw1(x;a)dx+Z b aw2(b;y)dy+Z a bw1(x;b)dx+Z a bw2(a;y)dy Z b a(w1(x;a)w1(x;b))dx+Z b a(w2(b;y)w2(a;y))dy Z b a Zb dyZ b a Zb dx; ce qui montre le résultat dans ce cas.

Pour le cas général, pour chaque entiern1, on découpe le plan en carrés de côtés parallèles aux axes avec les droites

d"équationsx=k2 n,y=l2

n,k;l2Z. On noteKnla réunion de ces carrés contenus dans l"intérieur deKetLnla réunion de

ceux qui coupent le bord deK. SiC1etC2sont deux tels carrés ayant un côté en commun, on vérifie aussitôt queR

K ndw. Pour conclure, il suffit donc de montrer les deux propriétés suivantes : lim n!+¥Z K ndw=Z K dw;(I.1) et, lim n!¥Z

Commewest supposée de classeC1au voisinage deK,dwest bornée surKet il existe une constanteC>0telle queR

KdwR K

ndwCl(Ln)(lmesure de Lebesgue), et, pour vérifier (I.1),i ls uffitd ev oirq uelimn!+¥l(Ln) =0:6Université Bordeaux I - Master de Mathématiques Pures - Analyse Complexe - Automne 2010

I.2. INTÉGRATION DES1-FORMES DIFFÉRENTIELLESLemme.Il existe une constanteB>0, indépendante den, telle que le volume deLnest majoré parB2n. De plus, il existe une

constanteA, indépendante den, telle que le nombre de carrés composantLnest majoré parA2n.

Preuve du Lemme.SoitTn=n

no

de courbes lissesgi, il existe une constanteB, indépendante den(en fait2p2fois la somme des longueurs des courbesgi)

telle que le volume deTnest majoré parB2n, ce qui montre la première assertion du Lemme. Enfin la seconde en résulte

G Cw=R

étendue à tous les carrésCcomposantLn. Par ailleurs, commewest de classeC1, si on posewC=w1(xC)dx+w2(xC)dyet

est exacte et son intégrale sur le bord deC\Kest nulle, c"est-à-dire (compte tenu de l"orientation négative deGC)R

G CwC=R G Cw=Z G Ce C et il existe une constanteD>0indépendante dentelle queR G O(2n)). En sommant sur tous les carrésCcomposantLn, le Lemme donneR

indépendante den, ce qui achève la démonstration du Théorème.Nous introduisons maintenant des notation propres au plan complexeCque nous utiliseront constamment par la suite :

(x;y)étant les coordonnées canoniques usuelles deR2, on pose dz=dx+idyetd¯z=dxidy;

et toute1-forme différentiellewsur un ouvert deCs"écrit de manière uniquew=w1dz+w2d¯zet quedz^d¯z=2idx^dy.

quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

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