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Ce document est un cours d'analyse complexe en une variable destiné aux étudiants de master 1 de mathématiques Il aborde les notions de fonctions holomorphes de résidus de théorème de Riemann-Roch de théorème de Mittag-Leffler et de théorème de Runge Il contient des exemples des exercices et des références bibliographiques Vous pouvez le télécharger gratuitement au format PDF
Cours analyses complexes - univ-tiaretdz
1 1 3 Module d'un nombre complexe inégalités triangulaire : 1 1 3 1 Dé nition : Module d'un nombre complexe soit z= a+ ibun nombre complexe et M son image dons P Le module d'un nombre complexe z= a+ibest un nombre positive[7 11 2] et c'est la distance OMavec M(a;b) alors : z= a+ ib jzj= p a2 + b2 = OM Figure 1 1 Le plan complexe 1 1 3 2
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Master 1 mathématiques
Analyse Complexe
Devoir surveillé du 11 mars 2016
Durée : 2 heuresLes documents ne sont pas autorisés. Une attention particulière devra être
apportée à la rédaction qui sera un élément important d"appréciation. Le barème est indicatif.Notation:dans toute la suite, :=fz2Cj jzj<1gdésigne le disque unité ouvert du plan complexeC.Exercice 1 (4 points)
SoitP(z) =z46z+ 3: combien l"équationP(z) = 0a-t-elle de solutions (comptées avec leurs multiplicités) dans? dansC:=fz2Cj11 jzj1 +jzj jf(z)j 1 +jzj1 jzj:
Exercice 3 (2 points)
Existe-t-il une fonction holomorphe bornée, non constante, sur le domaine dans les cas suivants : =C; =fz2Cj jz+ij>1g: 1Problème (10 points)
On rappelle que les fonctionssinetcossont définies surCpar les formules d"Euler :cosz=eiz+eiz2 etsinz=eizeiz2i. SoitUun ouvert deC. On appelledétermination holomorphe surUde la fonc- tion arctangentetoute fonction holomorphefsurU, à valeurs dans le domaine Cn f2 +k; k2Zg, telle que8z2U;tan(f(z)) =z
1. Montrer que s"il existe une détermination holomorphe surUde la fonction
arctangente, alorsi62Ueti62U.2. SoitUun ouvert deCne contenant nii, nii. Montrer que les assertions
suivantes sont équivalentes : (i)fest une détermination holomorphe surUde la fonction arctangente, (ii)fest holomorphe surUet8z2U,e2if(z)=1 +iz1iz.3. SoitUun ouvert connexe deCne contenant nii, nii, sur lequel il existe
une détermination holomorphef0de la fonction arctangente. Expliciter toutes les déterminations holomorphes surUde la fonction arctangente.4. SoitU1:=Cn fiyjy2] 1;1][[1;+1[g.
a) Soitz2C: vérifier que1 +iz1iz2] 1;0]()(z2iRetjImzj 1). b) Pourz2U1, on posef1(z) =12iLog1 +iz1iz , oùLogdésigne la détermination principale du logarithme. Montrer quef1définit bien une détermination holomorphe surU1de la fonction arctangente, et calculerf1(1)etf1(1). c) Déterminerf01(z). En déduire quef1coïncide surRavec la fonction arctanusuelle.5. SoitU2:=Cn fiyjy2[1;1]g.
a) Soit;deux chemins (de classeC1par morceaux) dansU2, tous deux d"origine 1 et d"extrémitéz: montrer queR11+w2dw=R
11+w2dw.
Indication - On pourra utiliser sans justification la version suivante du théorème des résidus appliqué àg(z) =11+z2: pour tout lacet dans U 2,R g(w)dw= 2iPResw(g)ind( ;w). b) On rappelle que a) assure quef2(z) =4 +Z11 +w2dwest indépen-
dant du choix du chemindansU2d"origine 1 et d"extrémitéz, et définit une primitive holomorphe de11+z2surU2.
A l"aide de la fonction auxiliaire(z) =1+iz1ize2if2(z), en déduire quef2 est une détermination holomorphe surU2de la fonction arctangente. 6. Calculerf2(1)etf2(1). En déduire que, pour toutz =2iR,f2(z) =f1(z) si Rez >0f
2(z) =f1(z) +si Rez <0
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