de la 1`ere S `a la TS. Chapitre 4 : Études de fonctions Exercice n?1 PDF

I. Sens de variation dune fonction ; extréma

on place sur le graphique les points donnés par le tableau de variations et on trace les éventuelles tangentes connues. on complète la courbe par des points

VARIATIONS DUNE FONCTION

Un tableau de variations résume les variations d'une fonction en faisant apparaître les intervalles où elle est monotone. Méthode : Déterminer graphiquement les

mathsbps.fr IE2_limites_TSTi2D NOM :

Ex1. On donne le tableau de variations d'une fonction . c) Dresser le tableau de variation complet de la fonction ( avec les limites ).

FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 2)

e x . 6) Courbe représentative. On dresse le tableau de variations de la fonction logarithme népérien : Page 3

de la 1`ere S `a la TS. Chapitre 4 : Études de fonctions Exercice n?1

Que peut-on en déduire pour (Cf )?. 4. Calculer la fonction dérivée de f et étudier son signe. 5. Dresser le tableau de variations de f. 6

FONCTION EXPONENTIELLE

Propriété : et. - Propriété démontrée au paragraphe III. -. 4) Courbe représentative. On dresse le tableau de variations de la fonction exponentielle :.

FONCTION DERIVÉE

Soit la fonction f définie sur R par f (x) = x3 +. 9. 2 x2 ?12x +5. 1) Etudier les variations de f et dresser le tableau de variation. 2) Dans repère

Étudier une fonction trigonométrique

0; ? puis dresser son tableau de variations. 3 Représenter graphiquement f. C dans un repère orthogonal sur [. ] 2 ;

Variations dune fonction composée

On donne ci dessous le tableau de variation de deux fonctions f et g définies sur R. réflexion et on crée un obstacle didactique pour l'étude complète.

DÉRIVATION (Partie 3)

1) Calculer la fonction dérivée de f. 2) Déterminer le signe de f ' en fonction de x. 3) Dresser le tableau de variations de f.

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Exercice n°1:

On donne la fonctionfd´efinie surRpar :f(x) =-x4+ 2x2+ 1. On appelle Γ la courbe repr´esentative defdans un rep`ere orthonorm´e (O;?ı,??) . 1.

´Etudier la parit´e def.

2. D´eterminer les limites defaux bornes de son domaine de d´efinition.

3. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.

4. Dresser le tableau de variations def.

5. Tracer la courbe repr´esentative def.

Corrig´e

Exercice n°2:

Soit la fonction d´efinie surR- {1}, parf(x) =x2+x+ 1x-1. On note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.

1. Montrer que (Cf) admet un centre de sym´etrie en un point d"abscisse 1.

2. D´eterminer les limites defaux bornes de son domaine de d´efinition. Que peut-on

en d´eduire pour (Cf)?

3. D´eterminer trois r´eelsa, betctels que :f(x) =ax+b+x

x-1.

4. En d´eduire l"existence d"une asymptote oblique pour (Cf) en +∞.

5. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.

6. Dresser le tableau de variation def.

7. Tracer (Cf).

Corrig´e

Exercice n°3:

On donne la fonctionfd´efinie parf(x) =3x2+ 2x-3, et on note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.

1. D´eterminer le domaine de d´efinitionDfde la fonctionf.

2. Montrer que la droite d"´equationx=-1 est axe de sym´etrie de (Cf).

Dans la suite de l"exercice, la fonctionfsera ´etudi´ee sur [-1;1[?]1;+∞[.

3. D´eterminer les limites en 1 et la limite en +∞. Que peut-on en d´eduire pour (Cf)?

4. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.

5. Dresser le tableau de variations def.

6. Tracer (Cf).

Corrig´e

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de la 1`ereS `a la TS. Chapitre 4 :´Etudes de fonctions

Exercice n°4:

On donne la fonctionfd´efinie parf(x) =x2x2-2x+ 2, et on note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.

1. D´eterminer le domaine de d´efinition def.

2. D´eterminer les limites defaux bornes du domaine, en d´eduire l"existence d"une

asymptote horizontale (Δ) pour (Cf). 3. ´Etudier les positions relatives de (Cf)et de (Δ).

4. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.

5. Dresser le tableau de variations def.

6. Tracer (Cf).

Corrig´e

Exercice n°5:

On donne la fonctionfd´efinie parf(x) =2x3+ 272x2et on note (Cf) sa courbe repr´e- sentative dans un rep`ere orthonorm´e.

1. D´eterminer l"ensemble de d´efinitionDfdef.

2. D´eterminer les limites defaux bornes de son ensemble de d´efinition.

3. Montrer que la droite d"´equationy=xest asymptote oblique `a la courbe en +∞

et en-∞.

4. (a) Justifier l"´equivalence :x?3?x3?27.

(b) Calculer la fonction d´eriv´ee def. (c)

´Etudier le signe def?.

5. Dresser le tableau de variations def.

6. Tracer la courbe repr´esentative def.

Corrig´e

Exercice n°6:

On donne la fonctionfd´efinie surRparf(x) = cos2x-2cosxet on note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.

1. (a) Montrer quefest 2π-p´eriodique.

(b) Montrer quefest paire.

2. (a) Montrer que la fonction d´eriv´ee defs"´ecrit :f?(x) = 2sinx(1-2cosx).

(b)

´Etudier le signe def?sur [0;π].

3. Dresser le tableau de variations defsur [0;π].

4. Tracer (Cf) sur un intervalle de longueur 4π.

Corrig´e

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Exercice n°7:

On donne la fonctionfd´efinie surRparf(x) =sinx1-sinxet on note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.

1. Montrer quefest d´efinie ssix?=π

2+ 2kπaveck?Z.

2. Montrer quefest 2π-p´eriodique.

Pour la suite de l"exercice, on ´etudiera la fonction sur l"intervalle? -3π

2;π2?

3. D´eterminer les limites defen :

(a)-3π

2par valeurs sup´erieures,

(b)

2par valeurs inf´erieures,

4. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.

5. Dresser le tableau de variations def

6. Tracer (Cf) sur?

-3π

2;5π2?

Corrig´e

Exercice n°8:

On donne la fonctionfd´efinie surRparx2-|x|et on note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.

1. Montrer quefest paire.

2. Donner l"expression defsans valeur absolue surR+puis surR-.

´Etudier la d´erivabilit´e defen 0.

´Etudier la fonctionfsurR+.

5. Tracer (Cf) surR.

Corrig´e

Exercice n°9:

On donne la fonctionfd´efinie surRparx-?|x-1|et on note (Cf) sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.

1. Donner l"expression defsans valeur absolue sur [1;∞[ et sur ]- ∞;1].

´Etudier la d´erivabilit´e defen 1.

´Etudier la fonction sur ]- ∞;1].

´Etudier la fonction sur [1;+∞[.

5. Dresser le tableau de variations defsurR.

6. Tracer la courbe (Cf).

Corrig´e

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de la 1`ereS `a la TS. Chapitre 4 :´Etudes de fonctions D´efinition :soitxun nombre r´eel, on appelle partie enti`ere dexet on noteE(x), le plus grand entier inf´erieur ou ´egal `ax.

Exemples :

E(5,4) = 5E(⎷

2) = 1E(4) = 4E(-2,5) =-3.

Exercice n°10:

Tracer la courbe repr´esentative de la fonction partie enti`ere :x?→E(x) sur l"intervalle [-3,3[.

Corrig´e

Exercice n°11:

On d´efinit surRla fonctionfpar :f(x) =x-E(x).

1. Montrer queEest p´eriodique de p´eriode 1.

2. Donner l"expression defsur [0,1[ puis sur [1,2[.

3. Tracer la courbe repr´esentative defsur [-3,3[.

Corrig´e

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de la 1`ereS `a la TS. Chapitre 4 :´Etudes de fonctions

Exercice n°1:

1. Pour toutx?R,-x?R. (On peut aussi dire que le domaine de d´efinition est

centr´e en 0.) soitx?R,f(-x) =-(-x)4+2(-x)2+1 =-x4+2x2+1 =f(x), doncfest paire

2. lim

x→+∞f(x) = limx→+∞-x4=-∞et par sym´etrie : limx→-∞f(x) =-∞.

3.fest d´erivable surRet pour toutx?R, on a :f?(x) =-4x3+ 4x= 4x(1-x2).

D"une part 4x?0?x?0, d"autre part 1-x2?0?x?[-1;1] (r`egle du signe du trinˆome), ce qui donne : x0 1 +∞ 4x0++

1-x2+0-

f?(x)0+0-

4.x0 1 +∞

f?(x)0+0- 2 f(x)

1-∞

5. 123
-1 -2 -3 -4 -51 2 3 4-1-2-3-4-5 Dans un graphique doivent apparaˆıtre toutes les droites dont il a ´et´e question dans le sujet, auquel s"ajoutent les tangentes horizontales.

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Exercice n°2:

1. Le domaine de d´efinition est centr´e en 1, de plus pour touth?= 0, on a :

2[f(1 +h) +f(1-h)] =12?

(1 +h)2+ (1 +h) + 11 +h-1+(1-h)2+ (1-h) + 11-h-1? 1 2?

3 + 3h+h2h+3-3h+h2-h?

1 2?

3 + 3h+h2-3 + 2h-h2h?

=12×6hh= 3 Donc le point Ω de coordonn´ees (1;3) est centre de sym´etriede (Cf).

2.limx→+∞f(x) = limx→+∞x

2 x= limx→+∞x= +∞et par sym´etrie, limx→-∞f(x) =-∞.

limx→1(x2+x+ 1) = 3 et lim

x >→1x-1 = 0+, donc lim x >→1f(x) = +∞, et par sym´etrie : lim x <→1f(x) =-∞.

3. Pour toutx?= 1,ax+b+c

x-1=(ax+b)(x-1) +cx-1=ax2+ (b-a)x+c-bx-1, en identifiant le num´erateur de cette fraction avec celui def(x), on obtient :???a= 1 b-a= 1 c-b= 1????a= 1 b= 2 c= 3, doncf(x) =x+ 2 +3 x-1.

4. lim

x→+∞3 x-1= 0, donc limx→+∞(f(x)-(x+2)) = 0 et la droite (d) d"´equationy=x+2 est asymptote `a la courbe en +∞. Puisque Ω?(d), nous pouvons d´eduire que (d) est aussi asymptote `a (Cf) en-∞.

5. Pourx?= 1,fest d´erivable comme quotient de deux polynˆomes, et :

f ?(x) =(2x+ 1)(x-1)-(x2+x+ 1) (x-1)2=x2-2x-2(x-1)2. Pour toutx?= 1,(x-1)2>0, doncf?(x) est du signe dex2-2x-2, polynˆome ayant pour racines 1-⎷

3 et 1 +⎷3 qui, d"apr`es la r`egle du signe du trinˆome est

positif ssix?]- ∞;1-⎷

3[?]1 +⎷3;+∞[.

6. x-∞1-⎷3 1 1 +⎷3 +∞ f?(x)+0--0+

3-2⎷3+∞+∞

f(x) -∞ -∞3 + 2⎷3

Remarque : il ´etait possible de ne faire que

la moiti´e du tableau de variations.2468 -2 -4 -62 4 6-2-4-6

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Exercice n°3:

1.fest d´efinie ssix2+ 2x-3?= 0 ssix?= 1 etx?=-3, doncDf=R- {-3;1}.

2.Dfest sym´etrique par rapport `a 1, et pour touth?=±2, on a :

f(-1 +h) =3 (-1 +h)2+ 2(-1 +h)-3=3h2-4, etf(1 +h) =3 (1 +h)2+ 2(1 +h)-3=3h2-4. Doncf(-1+h) =f(-1-h) et la droite d"´equationx=-1 est axe de sym´etrie de (Cf).

3.lim

x <→1x2+ 2x-3 = 0-, donc lim x <→1f(x) =-∞, d"autre part :lim xquotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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Exercice n°1:

´Etudier la parit´e def.

2. D´eterminer les limites defaux bornes de son domaine de d´efinition.

3. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.

4. Dresser le tableau de variations def.

5. Tracer la courbe repr´esentative def.

Corrig´e

Exercice n°2:

1. Montrer que (Cf) admet un centre de sym´etrie en un point d"abscisse 1.

2. D´eterminer les limites defaux bornes de son domaine de d´efinition. Que peut-on

3. D´eterminer trois r´eelsa, betctels que :f(x) =ax+b+x

4. En d´eduire l"existence d"une asymptote oblique pour (Cf) en +∞.

5. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.

6. Dresser le tableau de variation def.

7. Tracer (Cf).

Corrig´e

Exercice n°3:

1. D´eterminer le domaine de d´efinitionDfde la fonctionf.

2. Montrer que la droite d"´equationx=-1 est axe de sym´etrie de (Cf).

3. D´eterminer les limites en 1 et la limite en +∞. Que peut-on en d´eduire pour (Cf)?

4. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.

5. Dresser le tableau de variations def.

6. Tracer (Cf).

Corrig´e

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Exercice n°4:

1. D´eterminer le domaine de d´efinition def.

2. D´eterminer les limites defaux bornes du domaine, en d´eduire l"existence d"une

4. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.

5. Dresser le tableau de variations def.

6. Tracer (Cf).

Corrig´e

Exercice n°5:

1. D´eterminer l"ensemble de d´efinitionDfdef.

2. D´eterminer les limites defaux bornes de son ensemble de d´efinition.

3. Montrer que la droite d"´equationy=xest asymptote oblique `a la courbe en +∞

4. (a) Justifier l"´equivalence :x?3?x3?27.

´Etudier le signe def?.

5. Dresser le tableau de variations def.

6. Tracer la courbe repr´esentative def.

Corrig´e

Exercice n°6:

1. (a) Montrer quefest 2π-p´eriodique.

2. (a) Montrer que la fonction d´eriv´ee defs"´ecrit :f?(x) = 2sinx(1-2cosx).

´Etudier le signe def?sur [0;π].

3. Dresser le tableau de variations defsur [0;π].

4. Tracer (Cf) sur un intervalle de longueur 4π.

Corrig´e

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Exercice n°7:

1. Montrer quefest d´efinie ssix?=π

2+ 2kπaveck?Z.

2. Montrer quefest 2π-p´eriodique.

2;π2?

3. D´eterminer les limites defen :

2par valeurs sup´erieures,

2par valeurs inf´erieures,

4. Calculer la fonction d´eriv´ee defet ´etudier son signe.

5. Dresser le tableau de variations def

6. Tracer (Cf) sur?

2;5π2?

Corrig´e

Exercice n°8:

1. Montrer quefest paire.

2. Donner l"expression defsans valeur absolue surR+puis surR-.

´Etudier la d´erivabilit´e defen 0.

´Etudier la fonctionfsurR+.

5. Tracer (Cf) surR.

Corrig´e

Exercice n°9:

1. Donner l"expression defsans valeur absolue sur [1;∞[ et sur ]- ∞;1].

´Etudier la d´erivabilit´e defen 1.

´Etudier la fonction sur ]- ∞;1].

´Etudier la fonction sur [1;+∞[.

5. Dresser le tableau de variations defsurR.

6. Tracer la courbe (Cf).

Corrig´e

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Exemples :

2.limx→+∞f(x) = limx→+∞x

limx→1(x2+x+ 1) = 3 et lim

3.lim