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I. Variations

A. Sens de variation

Définition

Soitfune fonction définie sur un intervalleI.

•On dit quefestcroissantesurIlorsque, pour tout réelsaetbdeIsia < balorsf(a)?f(b). Ainsila croissance conserve l"ordre.

•On dit quefestdécroissantesurIlorsque, pour tout réelsaetbdeIsia < balorsf(a)?f(b). Ainsila

décroissance conserve l"ordre. •On dit quefestconstantesurIlorsque, pour tout réelsaetbdeIsia < balorsf(a) =f(b).

Définition

On dit d"une fonction qu"elle estmonotonesur un intervalleIlorsque son sens de variation ne change pas surI

B. Extremums

Définition

Soitfune fonction définie sur un intervalleI.

La fonctionfadmet un maximumMsurIatteint enasi?f(a) =M pour toutxappartenant àI,f(x)< f(a) On dit alors que la fonctionfest majorée parMsur I.

Définition

Soitfune fonction définie sur un intervalleI.

La fonctionfadmet un minimummsurIatteint enbsi?f(b) =m pour toutxappartenant àI,f(x)> f(b)On dit alors que la fonctionfest minorée parmsur I.

Le cours

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II. De nouvelles fonctions usuelles

A. Fonction racine carrée

Définition

La fonction racine carrée est la fonction défine surR+parf(x) =⎷x, c"est à dire : f:R+-→R+ x?-→⎷ x Tableau de variations de la fonction racine carré x0 +∞ f(x) =⎷x ???????0

Allure graphique:

1234567

10 20 30 40

B. Fonction valeur absolue

DéfinitionValeur absolue d"un nombre réel

Soitxun nombre réel. Sur une droite munie d"un repère normé (O;I) on considère le pointMd"abscissex.

On appellevaleur absolue dexla distanceOM, que l"on note|x|.

Propriété

Soitxun nombre réel

•La valeur absolue dexest un nombre positif ou nul. •Deux nombre opposés ont la même valeur absolue :| -x|=|x|

•Six?0 alors|x|=xet six <0 alors|x|=-x

Définition

La fonction valeur absolue est la fonction définie surRparf(x) =|x|, c"est à dire : f:R-→R+ x?-→ |x| Tableau de variations de la fonction valeur absolue x-∞0 +∞ f(x) =|x| 0

Représentation graphique

1234567

1 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7-8

Le cours

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III. Opérations et variations

A. Avec un réel

Définition

Soitfune fonction définie sur un intervalleI.Soitkun nombre réel. On définie surIla fonctionf+kfpar (f+k)(x) =f(x) +k.

Théorème

Les fonctionsfetf+kont le même sens de variation sur l"intervalleI

Définition

Soitfune fonction définie sur un intervalleI. Soitλun nombre réel.

On appelle produit defpar le réelλla fonction notéeλfdéfinie surIpar (λf)(x) =λ×f(x).

Théorème

•Siλ?= 0, alors la fonctionλfest monotone surI: -de même sens quefsiλ >0 -de sens contraire siλ <0 •Siλ= 0, alors la fonctionλfest constante nulle.

B. Avec deux fonctions

Soitfetgdeux fonctions définies sur un

même intervalleI.

Définition

on appelle somme defetgla fonction notéef+gdéfinie surIpar (f+g)(x) =f(x) +g(x).

Théorème

•Sifetgsont croissantes surI, alorsf+gest croissante surI. •Sifetgsont décroissantes surI, alorsf+gest décroissante surI.

Définition

On appelle produit defetgla fonction notéefgdéfinie surIpar (f×g)(x) =f(x)×g(x).

Le cours

Préparer son entrée en Terminale SÉtudes de fonctions •Deux fonctions monotones dont le produit n"est pas monotone: f(x) =xetg(x) =xsont croissantes surR, maisfg(x) =x2est décroissante puis croissante surR.

•Deux fonctions monotones dont la somme n"est pas monotone :f(x) =xest monotone (croissante) surR+,g(x) =1

xest monotone (décroissante) surR+. Pourtant, (f+ g)(x) =f(x) +g(x) =x+1 xn"est pas monotone surR+: elle décroit, atteint un minimum enx= 1, puis croit.

C. Inverse et racine carrée d"une fonction

Définition

Soituune fonction définie sur l"intervalleItelle queu(x)?= 0. La fonction qui, à toutxde l"intervalleI, associe1 u(x)est notée1u.

C"est lafonction inversedeu.

Propriété

Siu(x) garde le même signe sur l"intervalleIavecu(x)?= 0, alors la fonctionuet1uont dessens de variations

contrairessur l"intervalle I.

Définition

Soituune fonction définie sur l"intervalleItelle queu(x)?0 surI.

La fonction notée⎷

uest la fonction définie surI, qui à toutxassocie le réel?u(x).

Propriété

Soituune fonction définie sur l"intervalleItelle queu(x)?0 pour toutxde l"intervalleI, alors les fonctionsu⎷

uont le même sens de variation sur l"intervalleI.

Le cours

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Pour ne pas perdre la main

Exercice 1

Soitfla fonction définie surRpar

f(x) =-x2-3x+ 4

1. Calculerf(-3) etf?⎷

3-3?.

2. Déterminer les réels dont l"image parfvaut 4.

Exercice 2

Soitfune fonction telle quef(x) =x-1x2-9.

Sur quel ensemble la fonctionfest-elle définie?

Exercice 3

Soitpune fonction telle quep(x) =⎷x2-6x.

Sur quel ensemble la fonctionpest-elle définie?

Exercice 4

Soitfetgdeux fonctions définies sur l"intervalle ]-1;1[ par f(x) =2x x2-1etg(x) =1x-1+1x+ 1

Ces fonctions sont-elles égales?

Exercice 5

Soitfla fonction définie surRpar

f(x) =x2-8x

1. Écriref(x) sous sa forme canonique

2. En déduire le sens de variation defsurRet dresser

son tableau de variations.

3. Donner un encadrement def(x) pourxtel que

0?x?4.

Exercice 6

1. Écrire le résultat sans utiliser le symbole de la valeur

absolue : (a)|1 +⎷ 3| (b)|π-3| (c)|1-⎷ 2|

2. Résoudre les équations suivantes

(a)|x|= 2 (b)|x|=-3 (c)|x|= 1

Exercice 7

Soitgla fonction définie surRparg(x) =|x-4|.

1. Calculerg?⎷

5?

2. Exprimerg(x) sans le symbole de la valeur absolue et

représenter graphiquement la fonctiong.

3. Résoudre graphiquement l"équationg(x) = 2.

4. Résoudre algébriquement (c"est à dire par le calcul)

l"équationg(x) = 2.

Exercice 8

Soitula fonction définie surRparu(x) = 3x2+ 1.

1. Donner les variations deusur l"intervalle [2;2].

2. En déduire les variations de la fonctionfdéfinie par

f(x) =1 u(x)sur l"intervalle [-2;2].

Exercice 9

Montrer que la fonctionfdéfinie sur l"intervalle [2;+∞[ parf(x) =⎷ x2-4 est croissante sur ce même intervalle.

Exercice 10

On considère la fonctionfdéfinie par

f(x) =?

4x2-12x+ 9

1. Déterminer son ensemble de définition

2. Montrer que la fonctionfpeut s"exprimer à l"aide de

la fonction valeur absolue.

Exercice 11

1. Soitula fonction définie surRparu(x) =x-4.

Donner le sens de variation deusurR.

2. Soitfla fonction définie sur l"intervalle ]4;+∞[ par

f(x) = 2 +5 x-4 À l"aide de la question précédente, déterminer le sens de variation de la fonctionf.

Les exercices

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