[PDF] Quelques exercices danalyse corrigés

View - Download Quelques exercices danalyse corrigés

Previous PDF

Next PDF

Quelques exercices

d"analyse corrigés Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Sommaire

1Outils pour les fonctions

2Fonctions continues

3Fonctions dérivables

4Développements limités

5Intégration

Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

1. Outils pour les fonctions

Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice 1 (Transformations de fonctions)On considère les applicationsf,g:R-→Rdéfinies pour toutx?R

parf(x) =3cos(2x-π/4)etg(x) =|f(x)|.1

Montrer quefest périodique et en déterminer une périodeT>0.2Étudier la parité des applicationsx?-→f(x+π/8)et

x?-→f(x+3π/8). Quelles propriétés peut-on en déduire sur le graphe def?3 Partant du graphe de la fonction cosinus, tracer les graphes def etgsur[-T,2T].Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice n

o11On a pour toutx?R,f(x+π) =f(x), doncfest périodique et T=πest une période def.2On a pour toutx?R,f(x+π8 ) =3cos(2x), donc l"application x?-→f(x+π8 )estpaire. En d"autres termes, pour toutx?R, f(π8 +x) =f(π8 -x).Ainsi le graphe defestsymétriquepar rapport à l"axe d"équation x=π8 .On a pour toutx?R,f(x+3π8 ) =-3sin(2x), donc l"application x?-→f(x+3π8)estimpaire. En d"autres termes, pour toutx?R, f(3π8 +x) =-f(3π8 -x).Ainsi le graphe defestsymétriquepar rapport au point de coordonnées(3π8 ,0).3Pour toutx?[-T,2T], on a 2x-π4 ?[-2T-π4 ,4T-π4 ]=[-9π4 ,15π4

On utilise donc le graphe de la fonctioncossur[-9π4,15π4].Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice n

o1TracéPartant de la fonctioncosinus,on translate deπ4vers la droite (crête

atteinte enπ/4),on étire verticalement d"un rapport 3 (amplitude 3),on compresse horizontalement dans un rapport 1/2,puis on effectue

une symétrie d"axeOx.xy ••1 -1• •15π4-

9π4••

- fonction cosinusy -3•3 - fonctionx?→3cos(2x-π4

85π89π813π82π-

85π89π813π82π-

- fonctionx?→3|cos(2x-π4 )|Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice n

o1TracéPartant de la fonctioncosinus,on translate deπ4vers la droite (crête

atteinte enπ/4),on étire verticalement d"un rapport 3 (amplitude 3),on compresse horizontalement dans un rapport 1/2,puis on effectue

une symétrie d"axeOx.xy ••1 -1• •15π4-

9π4••

- fonction cosinusy -3•3 - fonctionx?→3cos(2x-π4

85π89π813π82π-

85π89π813π82π-

- fonctionx?→3|cos(2x-π4 )|Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice 2 (Fonctions homographiques)

Préliminaire.SoitE,Fdeux ensembles etf:E-→Fune application.On suppose qu"il existe deux applicationsg:F-→Eeth:F-→E

telles queh◦f=idEetf◦g=idF.

Montrer quefest bijective, queg=het quef-1=g.

Applications.1Soita,b,c?Ctels quec?=0 etbc?=-a2. On noteE=C\{ac

Soitf:E-→Edéfinie parf(z) =az+bcz-a.aMontrer que l"on a bienf(E)?E, puis calculer(f◦f)(z)pour

toutz?E.bEn déduire quefest bijective et donner l"expression de sa

réciproque.cExemple :E=C\{2i}etf(z) =2iz+3z-2i.Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice 2 (Fonctions homographiques)

Préliminaire.SoitE,Fdeux ensembles etf:E-→Fune application.On suppose qu"il existe deux applicationsg:F-→Eeth:F-→E

telles queh◦f=idEetf◦g=idF.

Montrer quefest bijective, queg=het quef-1=g.

Applications.2

Soita,b,c?Ctels quea?=0 etbc=-3a2. On noteE=C\{ac

,-ac

Soitf:E-→Edéfinie parf(z) =az+bcz+a.aMontrer que l"on a bienf(E)?E, puis calculer(f◦f◦f)(z)

pour toutz?E.bEn déduire quefest bijective et donner l"expression de sa réciproque.cExemples :E=C\{1,-1}etf(z) =z-3z+1; E=C\{i,-i}etf(z) =z+3iiz+1.Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice n

o2 Préliminaire.h◦f=idE=?finjective. En effet: soitx1,x2?Etels quef(x1) =f(x2).

Appliquonsh:(h◦f)(x1) = (h◦f)(x2).

Or(h◦f)(x1) =x1et(h◦f)(x2) =x2, doncx1=x2.f◦g=idF=?fsurjective. En effet: soity?F. On ay= (f◦g)(y) =f?g(y)?, doncg(y)est un antécédent deyparfdansE.Ainsifest injective et surjective, elle est bijective. De plus, pour touty?F,g(y)est l"unique antécédent dey

parf, doncf-1=g.Enfin, on ag=idE◦g= (h◦f)◦g=h◦(f◦g) =h◦idF=h.Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice n

o2

Applications.1On poseE=C\{ac

}et pour toutz?E,f(z) =az+bcz-a.aPour toutz?E,f(z)est bien défini. Montrons quef(z)?E: f(z) =ac ??az+b=az-a2c ??a2+bc=0.

Orbc?=-a2, doncf(z)?=ac

, i.e.f(z)?E. Ainsif(E)?E. On peut donc calculer(f◦f)(z) =f(f(z)): (f◦f)(z) =af(z) +bcf(z)-aou encoref?az+bcz-a? aaz+bcz-a+bc az+bcz-a-a=(a2+bc)z(a2+bc)=z

d"oùf◦f=idE. (On dit quefestinvolutive.)bD"après le préliminaire,fest bijective etf-1=f.cExemple:a=2i,b=3,c=1. On a bienc?=0 etbc?=-a2.Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice n

o2

Applications.2On poseE=C\{-ac

,ac

}et pour toutz?E,f(z) =az+bcz+aaveca?=0 etbc=-3a2.aPour toutz?E,f(z)est bien défini. Montrons quef(z)?E.D"une part,

f(z) =ac ??az+b=az+a2c ??a2=bc.

Orbc=-3a2eta?=0, doncf(z)?=ac

.D"autre part, f(z) =-ac ??az+b=-az-a2c ??z=-a2+bc2ac=ac Or ac /?E, doncf(z)?=-ac Finalement,f(z)?Eetf(E)?E.Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice n

o2

Applications.2On poseE=C\{-ac

,ac }et pour toutz?E,f(z) =az+bcz+aaveca?=0 etbc=-3a2.aOn peut donc calculer(f◦f)(z) =f?f(z)?: (f◦f)(z) =af(z) +bcf(z) +a=aaz+bcz+a+bc az+bcz+a+a (a2+bc)z+2ab2acz+ (a2+bc)=-2a2z+2ab2acz-2a2 -az+bcz-aAimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice n

o2

Applications.2On poseE=C\{-ac

,ac

}et pour toutz?E,f(z) =az+bcz+aaveca?=0 etbc=-3a2.aOn peut ensuite calculer(f◦f◦f)(z) =f?(f◦f)(z)?:

(f◦f◦f)(z) =-af(z) +bcf(z)-aou encoref?-az+bcz-a? -aaz+bcz+a+bc az+bcz+a-aou encorea-az+bcz-a+bc -az+bcz-a+a (bc-a2)zbc-a2=z d"oùf◦f◦f=idE.Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice n

o2

Applications.2On poseE=C\{-ac

,ac

}et pour toutz?E,f(z) =az+bcz+aaveca?=0 etbc=-3a2.bD"après le préliminaire,fest bijective etf-1=f◦f.cExemple:a=1,b=-3,c=1.

On a biena?=0 etbc=-3a2, etf-1(z) =-z+3z-1.Exemple:a=1,b=3i,c=i. On a bienc?=0 etbc=-3a2, etf-1(z) =-z+3iiz-1.Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice n

o2Tracés -f-f◦f-f◦f◦f=IdEAimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés Exercice 3 (Somme des deux fonctions périodiques)

Soitp,q?N?etT>0.

On considère deux applicationsf,g:R-→Rtelles quefsoit pT-périodique etgsoitqT-périodique. Montrer que l"applicationf+gest périodique et en déterminer une période. Exemple.- Soith:R-→Rl"application définie pour toutx?R parh(x) =2sin(x2 )-3sin(x3

).Étudier la parité deh.Déterminer une périodeTdeh.Étudier les variations dehsur[0,T/2]puis tracer le graphe deh

sur[-T,2T].Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice n

o31Les fonctionsfetgadmettent une période commune, e.g.(pq)T ou encoreT?=ppcm(p,q)T, doncf+gest périodique etT?en est une période.2La fonctionx?→2sin(x2 )est 4π-périodique et la fonction x?→ -3sin(x3 )est 6π-périodique, donc, en utilisant la question précédente avecT=π,p=4 etq=6, on voit quehest périodique etT?=12πen est une période.

Il suffit de l"étudier sur l"intervalle[0,T?]ou[-T?/2,T?/2].La fonctionhest clairement impaire, il suffit même de l"étudier

sur[0,T?/2] = [0,6π].Dérivée :h?(x) = cos(x2 )-cos(x3 ) =-2sin(5x12 )sin(x12

D"où les variations sur[0,6π]:

t0

12π5

24π5

6πh

?(t)0-0+0+3h(t)0? -5sin(π5 )?5sin(2π5 )?0Aimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice n

o3Tracé xy

•••••••06π12π18π24π-6π-12πAimé LachalQuelques exercices d"analyse corrigés

Exercice 4 (Somme des deux fonctions périodiques)quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

[PDF] analyse mathématique pdf

[PDF] analyse mathématique s1 economie exercice corrigé pdf

[PDF] analyse mathématique s1 pdf

[PDF] analyse numérique exercices corrigés méthode de newton

[PDF] analyse numérique exercices et problèmes corrigés pdf

[PDF] analyse numérique matricielle cours et exercices corrigés pdf

[PDF] analyse pestel bricolage

[PDF] analyse pestel castorama

[PDF] analyse s1 smia pdf

[PDF] analyse secteur immobilier maroc

[PDF] analyse spectre rmn

[PDF] analyser un document en svt

[PDF] analyser un document histoire terminal e&s

[PDF] analyses medicales pdf

[PDF] anatole france belvedere casablanca