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Cours d’analyse 1 Licence 1er semestre - Côte d'Azur
Mettre les nombres complexes suivants sous la forme a+ib avec ab r´eels : 1 5+3i 3+2i 3?2i 1 (4+3i)(3?2i) Exercice 1 5 Calculer sous la forme a + ib avec ab r´eels les racines carr´ees des nombres complexes suivants 1+i ? 3 5+12i 1+i 1?i Exercice 1 6 Calculer les racines quatri`emes de i
Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI
1COURS ET EXERCICES
Pour économiste
Licence 1
Professeur : FOADE DENIS JOEL TONGNIVI
UFR SEG, Université de Cocody
Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI
2AVANT-PROPOS
première année Economie- un solide programme de mathématiques. Le document est divisé en deux grandes parties : la première partie est corrigés. La première partie comporte quatre chapitres. Le cours est composé des définitions, théorèmes et propriétés nécessaires et suffisantes et de nombreux exemples. Les termes utilisés sont accessibles à tout étudiant ayant fait au moins la classe de Terminale. document Prof. FOADE Denis Joël Tongnivi, UFR-SEG, Université de Cocody-Abidjan, denis_foade@hotmail.comCours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI
3SOMMAIRE
Chapitre 1 : Suites numériques et raisonnement par récurrence Chapitre 2 : Fonction numérique à une variable Chapitre 3 : Formule de Taylor, développements limités et étude de quelques fonctions usuelles Chapitre 4 : Fonction de plusieurs variables et optimisation ; courbes de niveau et calcul intégral.Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI
4 CHAPITRE 1 : SUITES NUMERIQUES et RAISONNEMENT PARRECURRENCE.
1.1-Suites numériques
1-Définition
Une suite réelle ou complexe est une application ધ de Գ R Généralement ધ =Գ ou ધ =Գכ2- Convergence et Limites
On dit que la suite (ܷ
rang ݊ (dépendant du choix de ߝ) la valeur de tout ܷ suite estCours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI
5 -PROPRIETES v) Soit ܷൌܾܽ݅ avec ܽǡܾאThéorème : Unicité de la limite
alors cette limite est unique.Preuve :
En particulier pour ߝ
ସ et ࣿ݊ ou ȁܷEn particulier pour ߝ
ସ et ࣿ݊ଵ֜ȁܷCours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI
63 - Sens de variations
4 - Suites bornées
La suite (ܷ
Théorème :
i) Toute suite croissante, majorée est convergente ii) Toute suite décroissante minorée est convergente iii) Toute suite monotone et non bornée est divergente5 - Suites extraites-sous suites
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7 Soit une suite (ܷ) définie sur Գou Գכ : la suite (ܷD de Գ est telle que, ܷᇱ=ܷ, Գא D, est appelée une suite extraite de (ܷ
Exemple : ܷ
(ܷᇱ) est une suite extraite de ( ܷ Soit une suite (ܷ) définie sur Գ et ߮ une application, ߮6 - Suites adjacentes
Théorème : Deux suites adjacentes sont convergentes et ont la même limite. UVnn n olimToute suite stationnaire est convergente.
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8Si κԢܷ
n7- Suites récurrentes
Théorème :
Exemple : étude de ܷ
Posons y=ଵ
xאCours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI
9Tableau de variation
( ܸ ) est décroissante et minorée par ܷܸ֜Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI
10Exercice :
est convergente.Résolution
Si la relation est vraie pour݊ൌͳǢ݊ൌʹet n = n on aura : ʹ݊
1 12, 2 1
2.2 2 2 1 2 2
2 2 2 2 2 2
n nn nn nn avec n on a n n n n n n n1.2- Raisonnement par récurrence
1- Définition : le raisonnement par récurrence est un procédé de démonstration
des propriétés dépendant des entiers naturels. Soit ܲ une propriété où א
Pour démontrer que ܲ
a) On vérifie que ܲ b) On suppose que Pk est vraie pour Ͳ݇݊ c) On déduit de b) appelé hypothèse de récurrence que Pn +1 est vraie.Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI
11 d) On conclut que ܲ est vraie ݊א2- Exercices
i) Démontrer par récurrence surCours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI
123- Propriétés sur les suites
1°) soitאܽԹ, on appelle constante, une suite dont le terme générale Unൌܽ
2°) Si 2 suites convergent vers 0 alors leur somme converge vers 0.
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13Preuve :
Remarque :
5) Critère de majoration
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14 et si אڊégalement vers la même limite ݈.
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15 double égalité ܷܸܹ la borne inférieure des valeurs de la suite.Exemple :
1.3- Limites infinies
1. Définition
2)2. Opérations
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16Remarque :
forme.Exemples : si ൜ܷ
rien dire apriori sur la limite du produit.Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI
171. 4- Suites récurrentes
-Rappel : soit aאԹכǢܷൌܽ ii) si ȁܽȁͳǡܷ1- Définition
Soit ؿܣ
Soit ݂ǣܣ
est définie par : ݊Ǣܷൌ݂൫ܷିǡܷିାଵǢǥǢܷ
2-Exemples
i) sans second membreSi ܽൌͳǡܷืܷ
ii) dre un avec second membreCours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI
18 Posons ܷൌܸ݄֜ݐݍܸൌܸܽSi ܷ
iii)Suites récurrentes de 2° dégrée sans second membreCours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI
19Cours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI
20CHAPITRE 2 : FONCTIONS NUMERIQUES
1. Définitions
ide dans Թ.Ou f de Թ ou
E Թ
x f(x)2. Domaine de définition
la fonction ݂ǣ௫ืξଷି௫ Exercice : Déterminer, le domaine de définitionCours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI
213. Parité et périodicité
4. Limites
Définition
Limite à droite en un point
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22Limite à gauche en un point
f admet une limiteà gauche en ݔ et on note :
Remarques :f admet une limite en un point ݔ si et seulement si , elle admet unelimite à gauche enݔ ; une limite à droite en ݔ et la limite à gauche est égale à la
limites à droite.Limites infinies en un point
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235- Opérations sur les limites
Théorème :
6- Formes indéterminées
7- continuité
Définition : une fonction numérique ݂ est continu en ݔ si ݂ est définie en ݔ et
- ݂ est continu à droite en ݔ si ݂ est définie en ݔ et - ݂ est continu à gauche en ݔ si ݂ est définie en ݔ et Soit ݂ une fonction définie sur ή݂ est continue sur continue en tout point deCours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI
248- Prolongement par continuité
Soit ݂, une fonction définie sur D et admettant une limite , en un point ݔ ݔא la fonction g est définie sur continuité de ݂ en ݔ.La fonction g ainsi définie est unique.
8.1-Théorème des valeurs intermédiaires
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25compris entre -
8-2.Théorème des fonctions continues bornées
de9)Continuité et composition des fonctions
Proposition : Soit ݂ et
des fonctions continues alors ל݂ et ݂לPreuve : soit ݔ un point où ל
9.1-Dérivées
et ݔCours de mathématique : analyse1 pour économiste Pr FOADE DENIS JOEL TONGNIVI
26On dit que ݂ est dérivable au point ݔ , ݔืݔݔെݔืͲ݄ൌݔെݔ
ݔ. En admet une dérivé au point ݔ alors La réciproque est fausse ; il existe des fonctions continues qui ne sont pas dérivables.9.2-Fonction dérivées Dérivées successives
La valeur de la dérivée en ݔ dépend de ݔݔ. Si cette fonction ݂ᇱ est aussi dérivablquotesdbs_dbs48.pdfusesText_48[PDF] analyse mathématique s1 economie exercice corrigé pdf
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