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Analyse Numérique - Corrigé du TD 5
Par suite d'apr`es l'exercice 1
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Appliquons la méthode de la sécante et la méthode de Newton pour trouver la racine de f(x) = arctan(x). Nous partons des itérés x0 = 1 et x1 = 3 pour la méthode
LICENCE 3 MATHEMATIQUES – INFORMATIQUE
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ANALYSE NUMÉRIQUE
La méthode de Newton nécessite le calcul des dérivées f (x) c'est un [1] Gloria Faccanoni
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ANALYSE. NUMÉRIQUE. Exercices corrigés. Dr. Hafidha SEBBAGH Docteur en mathématiques option analyse numérique ... 1.3.5 Méthode de Newton modifiée .
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EXAMEN 1 - Corrigé. MAT-2910 : Analyse numérique pour l'ingénieur (v) [5 pts] Appliquer la méthode de Newton à l'équation de départ et faites 2 ité-.
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Ce document propose un recueil d'exercices corrigés d'analyse numérique. Le Résolution de f(x)=0 par la méthode de newton :.
Table des matières
1.6 Corrigés des exercices . 4.3 Méthode de Newton-Raphson . ... Ce document notes de cours d'analyse numérique avec exercices corrigés re-.
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On a vu au cours que l'ordre de convergence de la méthode de Newton est 2 pourvu que f ne s'annule pas au zéro de f. En particulier dans notre cas : - zéro ?2
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Analyse Num´erique Corrig´e du TD 5 - Côte d'Azur University
2 2 M´ethode de Newton On consid`ere maintenant la m´ethode de Newton pour rechercher ce z´ero a ´etablir sa formule en utilisant un d´eveloppement de Taylor; b faire un dessin pour illuster la m´ethode a Par la formule en utilisant un d´eveloppement de Taylor On se donne x 0 Pour n ? 0 on ´ecrit la formule de Taylor de f(x n+1
Devoir de révision : la méthode de Newton - univ-rennes
1)) on construit x 2 puis x 3 Exercice 1 Dessiner la suite de Newton On considère les six fonctions ci-dessous ayant toutes ? = ? 2 pour zéro : f: x 7?x2?2 i: x 7?(x? ? 2)4+1 2 (x? ? 2) g: x 7?x2? ? 3x+( 6?2) j: x 7?1 8 (e 4(x? ? 2)?1) h: x 7?x2?2x+(2 ? 2?2) k: x 7?1 2
Correction - Feuille de TD 2 : Méthodes d’intégration numérique
Correction - Feuille de TD 2 : Méthodes d’intégration numérique Exercice 1 (Une méthode sur [?1 1]) Soient x1 x2 ? [?1 1] x1 < x2 et ?1 ?2 ? R On définit pour toute fonction f continue sur [?1 1] la méthode d’intégration numérique T de la façon suivante :
Analyse Numérique
2 Ecrire la méthode de Newton ourp la fonction f A l'aide du gapher de la fonction f trouver ourp quel zéro l'ordre de onvercgence de la méthode est galé à 2 3 On onsidèrce maintenant la méthode de ointp xe x k+1 = g(x k) avec g(x k) = sin(x k)+ x k 2 (? 6 p 3 2) ourp alculerc le zéro 2 2I 2 Etablir si ettec méthode de ointp xe est
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0(x(k))
?? ??????? ?? ??????? ??? ??????? ??????? ??f? x k+1=(xk); x02]0;1[; f? ???g(x) = 115 sin(4x);x2R? g0(x) =45
cos(4x)??jg0(x)j 45 45???g(x) = 2 +12 jxj;x2[1;1]? jxyj?? ?? ??????? ?? ???g(x) =1x ; x2[2;3]? g
0(x) =1x
2??4< x2<9,19
0(x) =32
F(1) =1e
???? ??? ????R? g(x) =x)(x2)2=ex F0(x) = (x2)2ex
F"(x) = 2(x2)ex
???? ????? ?? ?????? ?? ????? ??F"? ?? ?F"(x) = 2ex
>0)ex<2)x0(x) =2x2
??x2[1;2] g(1) =54 g(x)g(2) =328x2[1;2];
;32 x2[1;2]) jg0(x)j 12 jx(k)j Cjx(k1)j C2jx(k2)j :::Ckjx(0)j: ?????0< C <1? ?? ?Ck!0?????k! 1? ???? lim k!1jx(k)j= 0: limk!1x(k)=: ?????jx(0)j 1? ?? ? jx(k)j Ck= 2k: ????? ?? ???? ????? ???????k??? ???k >log2(1010) = 10log2(10)? ????k= 34? ???R? ?? ?F(1) =1;F(2) = 12? ????F(1)F(2)<0? ??????? ????F0(x) = 6x210 ??? ?? ?????? ?? ?? ?????(xn)? ?????x= 2x32????F(x) = 2x
3x2 = 0:
jg1(xn+1)g1(xn)j=g01(n)jxn+1xnj: jg1(xn+1)g1(xn)j 6jxn+1xnj62jxnxn1j
6njx1x0j
?? ?? ?????(xn)??????x=22x21????F(x) = 2x
3x2 = 0:
g02(x) =8x(2x21)2
g002(x) =8(6x2+ 1)(2x21)3
g02(x) =8x
(2x 21)2:??x?? ????? ??? ??F?????? 22x
21=x:
????g02(x) =2x ??? ???V[1;2]? ??8x2V;jg02(x)j>2? ???? ????? ??????? ?? ???? ??? xn2 ????? ??????? ??????? ? ?? ?????? ??F(x) = 0????[1;2]??? ??x??? ?? ?????? ?? ?? ?????(xn)? ?????x=3r1 +x 2 ????x
3= 1 +x
2 ????F(x) = 2x3x2 = 0:
0< g03(x) =16
3p(1 +
x2 )2<1: 2 >1?g3(2) = 3 x x n+1=g(xn) = ln(1 +xn) + 0:2 ????F(x) = ln(1 +x) + 0:2x? ?? ?F0(x) =x1 +x<0???R+? ???? ??????? ????F(x) = 0????? ?? ???? ??? ??????? ??????? ???? ?? ?F(0) = 0;2>0??8x2I;0< g0(x) =11 +x<1:
g([0:7;0:8])[0;7;0;8]? ?? ????g(0;7) = 0;73::: >0;7??g(0;8) = 0;78::: < x ;2];a < b: 10 jekj jxk2j ba2 k+1; k+11010? ????k= 30? x k+1=xkx k2 sin(xk) +6 p3 2 1 2 cos(xk): ??????? ?? ?????? ???2??? ?? ????? ??? ??g(x)? ?? ???? ? g(2) = sin(2) +22 (6 p3 2 ) = sin(2) +22 (6 p3 2 ) +22 22=22 + sin(2)(6 p3 2 ) +2 =f(2) +2=2;
08x2[=2;]? ?? ? ???
12 g0(x)128x2[=2;] =I2:?????
maxx2I2jg0(x)j<1: max x2I2jg0(x)j=12 jxk+12j maxx2I2jg0(x)jjxk2j;C= maxx2I2jg0(x)j=12
jxk2j Ckjx02j: 12 )kjx02j<220: ?????=2< 2< ? ?? ?jx02j=j=22j< =2<2? ???? ?? ???? ???k???? ????? ????? ???? ??? 2 k:2<220: x (k+1)=g(x(k)) =x(k)2f(x(k))f0(x(k)):
??00(x)2=f(x)f"(x)f
0(x)2 f(x) = (x)2h(x) f0(x) = (x)[2h(x) + (x)h0(x)]
f"(x) = 2h(x) + 4(x)h0(x) + (x)2h"(x): g0(x) =f(x)f"(x)f
0(x)2=(x)2h(x)[2h(x) + 4(x)h0(x) + (x)2h"(x)](x)2[2h(x) + (x)h0(x)]2
h(x)[2h(x) + 4(x)h0(x) + (x)2h"(x)][2h(x) + (x)h0(x)]2: ?? ???? ???g0() = 1=2?? ?? ??????? ??? ???? ???????1? g(x) =x2f(x)f 0(x) g0(x) =1 + 2f(x)f"(x)f
0(x)2 f(x)f"(x)f g0() =1 + 2:12
= 0 ?? ??????? ??? ???? ???????2? ? ?? ????a0=a;b0=b;x0=a0+b02 ? ????k0 ? ??f(ak)f(xk)<0?? ????ak+1=ak;bk+1=xk????? ?? ????ak+1= x k;bk+1=bk? ? ?? ?? ????xk=ak+bk2 x k+1=xkf(xk)f0(xk)=xkx2k22xk=12
xk+1x k:???? ?? ? ?? ??????? ??????? ??? ????? ????? ???[0;+1[? ?f(0) = 1??limx!+1f(x) = +1? ?f0(x) = 0????x= 0??x=pln4??f(pln4) = 4(1pln4)<0?f f0(x) = 2xexp(x2)8x= 2x(exp(x2)22)<2x(e4)<0???? ????
=(),2=pexp(2),42= exp(2),f() =:0 0() =() =26= 0:
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x k+1=xkf(xk)f ???????1? ?? ??????? ?? ?????? ??? ???? ???? ??????? k? ???? ???? ?????jxmj< "?? ???? ??????? mlog2ba" 1: jxkj=jxjj10 8< :3x12x2+x3= 22x1+x2+x3= 7
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A ; b=0 @6 5 41A ?? ???? ???det(A) =det(LU) =det(L):det(U))? A=0 @1 1 1 2 2 5
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a0 0 0 a0b b a0b13 7 75A(a;b)?
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13 0 057 1 A ??????? ????? ???A(3)=M(2)M(1)A(1)? ?? ?? ?????? ???? ??? A (1)= (M(1))1(M(2))1 |{z}
A(3)|{z}=LU:
?????A=A(1)=LU? ???? L=0 @1 0 0 231 0 43
0 11 A0 @1 0 0 0 1 0 017 11 A =0 @1 0 0 23
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17 11 A0 @32 1 0 73
13 0 057 1 Aquotesdbs_dbs48.pdfusesText_48
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