PGCD ET NOMBRES PREMIERS
Démonstration de c : Si b divise a alors tout diviseur de b est un diviseur de a. Donc le plus grand diviseur de b est un diviseur de a. 2) Algorithme d'Euclide.
PGCD Théorème de Bézout Théorème de Gauss
Si d divise b et r alors d divise toute combinaison linéaire de b et r. Donc d divise bq + r c'est- à-dire d divise a. d est donc un diviseur commun de a
DIVISIBILITÉ ET CONGRUENCES
0 est divisible par tout entier relatif. Propriété (transitivité) : Soit a b et c trois entiers relatifs. Si a divise b et b divise c alors
PGCD - PPCM Théorèmes de Bézout et de Gauss
15 juil. 2016 Si b divise a alors pgcd(a b) =
... b divise k?c
c) = 1 donc d'après le théorème de Gauss b divise k?.
DIVISIBILITE DANS ZZ
Soit a b et c trois entiers relatifs. Si a divise b
UPMC 2M220 Arithmétique et algèbre 2017-2018
c = bk . On a alors c2 = abkk donc ab divise bien c2. ... En effet
PGCD ET NOMBRES PREMIERS
de c : Si b divise a alors tout diviseur de b est un diviseur de a. ... Si a et b divisent c et si a et b sont premiers entre eux alors ab divise c.
Université Bordeaux Alg`ebre 3 – Licence 2 Mathématiques Année
Si 9 divise ab et si 9 ne divise pas a alors 9 divise b. 9. Si a divise b ou a divise c
M1MI2016 Codes et Cryptologie Feuille dexercices n 1.
Si a divise c et b divise c et si pgcd(a b)=1 alors ab divise c. Si p est un nombre premier et si p divise ab alors p divise a ou p divise b. 9 Faire ...
PGCD ET NOMBRES PREMIERS
de c : Si b divise a alors tout diviseur de b est un diviseur de a. ... Si a et b divisent c et si a et b sont premiers entre eux alors ab divise c.
Divisibilité et congruences : cours d'arithmétique en terminale
Propriété (combinaisons linéaires) : Soit a b et c trois entiers relatifs Si c divise a et b alors c divise ma + nb où m et n sont deux entiers relatifs Démonstration : Si c divise a et b alors il existe deux entiers relatifs k et k' tels que a = kc et b = k'c Donc ma + nb = mkc + nk'c et donc il existe un entier relatif l = mk + nk
TD ARITHMÉTIQUE ÉLÉMENTAIRE
(a) Si a = b (mod n) alors b = a (mod n) (b) Si a = b (mod n) et b = c (mod n) alors a = c (mod n): (c) Si a = c (mod n) et b = d (mod n) alors a+b = c+d (mod n): (d) Si a = c (mod n) et b = d (mod n) alors ab = cd (mod n): (e) Si a = b (mod n) alors ma = mb (mod mn): Question 13 ** Important : Les deux propriétés suivantes sont-elles
PGCD ET NOMBRES PREMIERS - maths et tiques
On en déduit que a divise c Corollaire : Soit a b et c trois entiers naturels non nuls Si a et b divisent c et si a et b sont premiers entre eux alors ab divise c Démonstration : a et b divisent c donc il existe deux entiers k et k' tel que c = ka = k'b Et donc a divise k'b a et b sont premiers entre eux donc d'après le théorème de
Comment calculer la divisibilité d’une combinaison linéaire ?
a et b sont deux entiers relatifs non nuls. Si a divise b et b divise a, alors a=b ou a=- b. Soient a,b et c sont trois entiers relatifs ( , ). Théorème : divisibilité d’une combinaison linéaire. Soient sont trois entiers relatifs ( ). Si d divise a et b, alors d divise tout entier . En particulier, d divise leur somme et leur différence .
Qu'est-ce que c divise toute combinaison linéaire de A et de B à coefficients entiers ?
On dit que c divise toute combinaison linéaire de a et de b à coeficients entiers. il admet exactement 2 diviseurs entiers naturels distincts. Diviseurs qui sont 1 et lui-même. ( puisque 1 divise tout nombre et tout nombre est diviseur de lui-même. ) 1) La notion de nombre premier ne concerne que les entiers naturels.
Comment calculer les diviseurs entiers ?
Si ca et cb alors cu x a + v x b quels que soient u et v entiers relatifs. On dit que c divise toute combinaison linéaire de a et de b à coeficients entiers. il admet exactement 2 diviseurs entiers naturels distincts. Diviseurs qui sont 1 et lui-même. ( puisque 1 divise tout nombre et tout nombre est diviseur de lui-même.
Comment calculer ordre et divisibilité ?
ordre et divisibilité. Soient a et b deux entiers relatifs. * On dit que a divise b s’il existe un entier relatif k tel que : b = a x k . On note a b * On dit également que b est un multiple de a ou que a est un diviseur de b. si b n’est pas un multiple de a alors a ne divise pas b.
TD MI? (Daniele Cannarsa) : Arithmétique élémentaire Semaines : ?, ?, et ? TD ARITHMÉTIQUE ÉLÉMENTAIRE
N.B.La difficulté de chaque exercice est indiquée par le nombre d"astérisques : il va d"un * pour les exercices d"application
directe du cours, à quatre **** pour les exercices plus abstraits ou mélangeant différentes notions.LA DIVISIBILITÉ ENTRE ENTIERS
Vocabulaire :
Soienta;b2Z. On dit queadiviseb, ou queaest un
diviseurdeb, ou encore quebest unmultipledea, si et seulement s"il existeq2Ztel queb=aq.Question 1 * Trouver le plus petit entier naturel divisible par tous les nombres entre ? et ??.Question 2 ** Soientaetbdeux entiers. Montrer que l"un des entiers a; b; a+b; ab est nécessairement un multiple de ?.Question 3 *
Soitnun nombre entier àk+1chiffres. Le nombrens"écrit en base dix sous la forme r krk1rk2r2r1r0;(?) où l"on a juxtaposé lesk+ 1chiffres denles uns après les autres. L"écriture (?) est appelée l"écriture décimale den, et elle sous-entend que n=rk10k+rk110k1+r2100 +r110 +r0: Par exemple, l"écriture décimale du numéro de l"année ac- tuellement en cours est ????. Justifier les affirmations suivantes :(a) Un nombrenest divisible par2si, et seulement si son der- nier chiffrer0est divisible par2. (b) Un nombrenest divisible par5si, et seulement si son der- nier chiffrer0est0ou5. (c) Un nombrenest divisible par10si, et seulement si son dernier chiffrer0est0. (d) Un nombrenest divisible par4si, et seulement si le nombrer1r0formé par des deux derniers chiffres est divisible par4. (e) Un nombrenest divisible par25si, et seulement si le nombrer1r0formé par des deux derniers chiffres est divisible par25.Propriétés élémentaires : Soienta,betcdes entiers. Montrer les propriétés sui- vantes, à titre d"exercice :Si adivisebetbdivisecalorsadivisec.
Si adivisebetbdiviseaalorsa=b.
Si adivisebetcalorsadiviseb+c.
Si adivisebalorsadivisebc.
Si adivisebalorsacdivisebc.Question 4 **
Trouver un nombre entiernà trois chiffres, tel quensoit un multiple de5et de14, et que la somme des chiffres den soit égale à14.Page ? de ? TD MI? (Daniele Cannarsa) : Arithmétique élémentaire Semaines : ?, ?, et ?LA DIVISION EUCLIDIENNE
Question 5 *
Une girouette indique le Nord quand un coup de vent la fait tourner dans le sens horaire de14060degrés. Quelle direc- tion indique-t-elle maintenant?Question 6 ** On dispose d"un rectangle dont les dimensions, exprimées en centimètres, sontL= 126etl= 90. On désire paver ce rectangle avec des carrés de la façon suivante : t ousles carr ésdoiv entêtr eidentiques ; on souhaite utiliser le moins de carr éspossibles. Quelles sont les dimensions des carrés que l"on doit choisir pour faire ce pavage?Combien va-t-on utiliser de carrés?Question 7 **
On range461pots de yaourts dans des caisses. La règle est qu"on ne commence une nouvelle caisse que quand la précédente est pleine. A la fin, on a rangé les pots dans ?? caisses. Combien de pots contiennent les caisses pleines?Combien de pots contient la dernière caisse?Théorème de la division Euclidienne.
Pour tous entiers naturelsaetb, avecb6= 0, il existe deux uniques entiers naturels(q;r)qui vérifient a=qb+r0r < b:
On appelle
a!le dividendeq!le quotient b!le diviseurr!le reste.Question 8 * Dire laquelle de ces écritures est une application du Théo- rème de la division Euclidienne, poura= 30etb= 7:30 = 17 + 23;30 = 27 + 16;
30 = 47 + 2;30 = 37 + 9:
Question 9 *
Trouver le quotient et le reste pour les couples d"entiers sui- vants. Calculatrices non autorisées! (a)a= 778etb= 10.(b)a= 1058etb= 7.(c)a= 3442etb= 31.(d)a= 20038etb= 106.Question 10 *** On divise un entierapar15, le reste est3. Quel est le restede la division deapar5?Même question si le reste est13.On divise un entierapar5, le reste est3. Quel peut être le
reste de la division par15?Page ? de ? TD MI? (Daniele Cannarsa) : Arithmétique élémentaire Semaines : ?, ?, et ?LES CONGRUENCES
Question 11 *
Remplir les espaces blancs par le modulo :
55 =:::(mod 7)
2048 =:::(mod 3)
406 =:::(mod 1056)
Question 12 **
Soienta;b;c;d;n;mdes entiers. Démontrer les propriétés suivantes : (a) Sia=b(modn), alorsb=a(modn). (b) Sia=b(modn)etb=c(modn), alors a=c(modn): (c) Sia=c(modn)etb=d(modn), alors a+b=c+d(modn): (d) Sia=c(modn)etb=d(modn), alors ab=cd(modn): (e) Sia=b(modn), alors ma=mb(modmn):Question 13 **Important :
Les deux propriétés suivantes sont-elles équiva- lentes? Justifier. -mdiviseab. -aetbont le même reste dans la division parm.Question 14 ** Utilisez les propriétés de congruence de l"exercice précé- dent dans les questions suivantes. (a) On suppose queX= 6 (mod 7)andY= 16 (mod 7).Calculer les congruences suivantes :
X+Y=:::(mod 7)
XY=:::(mod 7)
YX=:::(mod 7)
XY=:::(mod 7)
(b) Calculer le reste de la division de4623par7(c) Calculer138(mod 7)(d) Calculer2123(mod 29)Question 15 ***
On effectue la division euclidienne d"un entier naturelapar38. On trouve un quotientqet un reste égal à4q24. Don-
ner les valeurs possibles pouraet expliciter les divisions euclidiennes correspondantes.Question 16 ** est égale à76et le quotient de la division euclidienne dem parnest égal à9(pas d"informations sur le reste).Question 17 **** Trois entiers naturelsa;betcvérifient la relation de Pytha- gore a2=b2+c2
Donner deux exemples de tels triplets.Montrer que : l"un au moins des nombr esbetcest multiple de3 l"un au moins des nombr esa;b;cest multiple de5 l"un au moins des nombr esbetcest multiple de2Question 18 ***
Montrer que quel que soit l"entiern
-43n4nest multiple de5 -32n2nest multiple de7 -4n+ 15n1est multiple de9 -3(52n+1) + 23n+1est multiple de17Page ? de ?
TD MI? (Daniele Cannarsa) : Arithmétique élémentaire Semaines : ?, ?, et ?PLUS GRAND DIVISEUR COMMUN (PGCD)Question 19 *
Puisque2391 = 23100 + 91, décider si
PGCD(2391;23) = PGCD(91;23):
Aucun calcul n"est requis!
Question 20 **
Utiliser l"algorithme d"Euclide pour calculer les suivants :(a)PGCD(1064;700)(b)PGCD(4567;91837)(c)PGCD(1583890;3927).Ensuite, pour les couples(a;b)précédents trouver des en-
tiersxetytels quePGCD(a;b) =xa+yb.Question 21 *
est égal à ?. Dire, en justifiant votre réponse, si les entiers suivants sont premiers entre eux :(a)8et14: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(b)27et200: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (c)2048et2187: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Question 22 ***
Montrer, en utilisant uniquement la définition duPGCDles propriétés suivantes : (a) Pour touta2Z,a6= 0, on aPGCD(0;a) =jaj. (b) Pour touta2Zon aPGCD(1;a) = 1. (c) Pour touta;b2Zon aPGCD(a;b) = PGCD(jaj;jbj).Question 23 *
Trouver l"entier positifntel quePGCD(n;527) = 17et ppcm(n;527) = 13702.Question 24 ** Trouver tous les nombres entiersaetbdont la somme est256et dont lePGCDest16.Question 25 **
Trouver tous les nombres entiersaetbdont le produit est1734et dont lePGCDest17.Question 26 *
Trouver deux entiers positifsnetmdifférents de47et2820 tels quePGCD(n;m) = 47etppcm(n;m) = 2820Question 27 ***quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2[PDF] si a divise b et b divise a alors a=b ou a=-b démonstration
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