[PDF] TRIGONOMÉTRIE Rappels de Seconde et 1S I. Définition du cercle

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TRIGONOMÉTRIE

Rappels de Seconde et 1S

I. Définition du cercle trigonométrique

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, ⃗i, ⃗j) et orienté dans le sens direct. Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1. Sens direct : sens contraire des aiguilles d'une montre. II. Enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique

On se place dans un repère orthonormé (O,

⃗i, ⃗j). C est le cercle trigonométrique et (AC) est la droite tangente àC en A et orientée de sorte que (A, ⃗j) soit un repère de la droite (AC). Lorsqu'on enroule le droite (AC) autour deC,à tout point N d'abscisse x de la droite (AC), on associe un unique point M du cercle. La longueur de l'arc AM est égale à la longueur AN. Le périmètre du cercle trigonométrique C est

2π.

Au réel d'abscisse

2π, on fait correspondre un angle de

360° (un tour complet après enroulement).

Par proportionnalité, on obtient les correspondances suivantes :

Abscisse

de N sur (AC)-2π-π-π

2-π

3-π

40π

4 3π

2π2πAngle

̂AOMen degré-360°-180°-90°-60°-45°0°45°60°90°180°360°

Voir l'animation :

https://www.geogebra.org/m/RR3XHQGr

Cette animation permet de voir l'enroulement d'un réel d'abscisse x sur le cercle trigonométrique.

Décochez les cases sinus et cosinus (sources d'embrouilles) À plusieurs points de la droite orientée (AC) on peut faire correspondre un même point du cercle. Sur l'exemple ci-contre, les points N et P d'abscisses respectives3π

4 et -5π

4 correspondent au même point M du cercle C .

Réciproquement...

Propriété:à tout point M du cercle trigonométrique est associé une infinité de réels. Soitxl'un de ces réels, les autres sont les réels x+2kπ ou k est un entier relatif.

Par exemple, les points d'abscisses respectives

4 et 9π

4 correspondent au même point S du cercle C .

III. Le radian, une nouvelle unité de mesure d'angle Soient deux points A et B d'u cercle trigonométrique C. Un angle de 1 radian est un angle au centre interceptant sur un arc de longueur 1. On considère que la mesure de l'angle géométrique

̂AOB a

pour mesure la longueur de l'arc AB. Cette nouvelle unité de mesure est le radian. On le note rad. Par proportionnalité, on obtient les correspondances suivantes :

Mesure

en degré030456090180360x

Mesure

en radian0 6 4 3

2π2πx×(π

180)
IV. Angles orientés de deux vecteurs et mesure principale Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, ⃗i, ⃗j) et orienté dans le sens direct. ⃗u et ⃗v sont deux vecteurs non nuls.

A et B sont deux points tels que

⃗OA=⃗u et ⃗OB=⃗v. Soient A' et B' les intersections de [OA) et [OB) avec le cercle trigonométrique C . Si A' est l'image du réel x et B' est l'image du réel y, alors y-x est une mesure en radian de l'angle orienté ⃗u;⃗v).

Chacun des nombres

(y-x)+2kπ ou k est un entier relatif est une mesure de l'angle orienté ( ⃗u;⃗v).

Parmi toutes les mesures de l'angle orienté(

⃗u;⃗v) de deux vecteurs non nuls, il enexiste une et une seule dans l'intervalle ]-π;π] On l'appelle la mesure principale de l'angle orienté (⃗u;⃗v).

Rappels utiles : ici

Démonstrations utilisant la

relation de Chasles.

V. sinus et cosinus d'un nombre réel

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O,⃗i,⃗j) et orienté dans le sens direct.

C est le cercle trigonométrique

Pour tout nombre réel x, considérons le point N de la droite orientée d'abscisse x. À ce point N, on fait correspondre le point M sur le cercle trigonométrique. H est le projeté orthogonal de M sur l'axe des abscisses K est le projeté orthogonal de M sur l'axe des ordonnées.

On appelle cosinus du réel x et on note

cosx l'abscisse du point M.

On appelle sinus du réel x et on note

sinx l'ordonnée du point M. Lignes trigonométriques remarquables... à connaître par coeur !

VI. Formulaire de trigonométrie

Pour tout x réel et tout entier k, on a :

(cosx)2+(sinx)2=1{-1⩽cosx⩽1 -1⩽sinx⩽1{cos(x+2kπ)=cosx sin(x+2kπ)=sinx Moyen mnémotechnique(qui vaut ce qu'il vaut) pour retenir les formules d'addition

Le sinus est sympathique, le cosinus est c...

Cosinus est c..., donc :

il ne veut pas aller voir les sinus, il ne veut pas les laisser passer devant. il change les signes.

D'ou :

cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)et cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)Par contre, le sinus est sympathique, donc :

il va à la rencontre des cosinus, il ne va pas toucher au signe.

D'ou :

sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a) et sin(a-b)=sin(a)cos(b)-sin(b)cos(a) VII. Équation du type cosx=cosa ou sinx=sina a étant connu

Équationcosx=cosa ;

l'inconnue est x, a est un réel. sinx=sina ; l'inconnue est x, a est un réel.

Représentation

graphique InterprétationDeux points, et deux seulement, ont la même abscisse cosaDeux points, et deux seulement, ont la même ordonnée sinaSolutionsL'équation cosx=cosa équivaut à : {x=a+2kπ x=-a+2kπL'équation sinx=sina équivaut à :{x=a+2kπ x=π-a+2kπ Connaître les lignes remarquables sera d'un grand secours.

Exemple : résoudre dans ℝ l'équation

sin(x 3)=1

2D'après le cercle trigonométrique ou la connaissance des lignes trigonométriques

remarquables, on sait que le sinus vaut 1

2 pour π

6 ou 5π

6 modulo 2π.

sin (x 3)=1

2 ⇔ x

3=π

6 [2π]ou x

3=5π

6 [2π]⇔

x=π

2 [2π] ou x=5π

2 [2π]L'équation a pour solutions π

2+2kπ et 5π

Exercices

Exercice 1 : Donner la mesure principale des angles suivants 7π

2 ;-75π

2 ;

185π

6Voir correction

Exercice n°2 (sans

calculatrice)ABC

L'angle de mesure 17π

3 a aussi pour mesure2π

3-π

32009π

3

Les angles de mesures

principales π

3 et 2π

3 ont le même

cosinus et des sinus opposésdes cosinus opposés et le même sinusdes cosinus opposés et des sinus opposés

Les angles de mesures

principales π

4 et -π

4 ont :le même cosinus

et des sinus opposésdes cosinus opposés et le même sinusdes cosinus opposés et des sinus opposés

La valeur exacte de

sin5π

6 est :-

21
2

2La valeur exacte de

sin50π

6est : 1

2 2 Soit x∈[π

2;3π

2]tel que

sin x =1

4Si = -5π

6 , alors :cosα=

2 et sinα=1

2cosα=-

2 et sinα=-1 2 cosα=-1 2et

2La mesure en radians d'un angle de

108° est égale à 3π

56π

55π

3

Les solutions dans ]-  ; ] de

l'équation sinx=-1

2 sont : -π

6 et 7π

6-π

6 et 6 6 et

11π

6Les solutions dans ]- ; ] de

l'équation

2 sont :

4 et 7π

4-π

4 et π

4π 4 et 3π

4Soit (

⃗u;⃗v) un angle orienté tel que (⃗u;⃗v) = 31π 4.

Sa mesure principale est égale à

7π 4 3π

4-π

4

Voir correction

Exercice 3 : On sait que x ∈[π

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