[PDF] Chapitre 2: Série statistique à deux variables

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Chapitre 2: Série statistique à deux variables

Said, El Melhaoui

Faculté des Sciences Juridiques, économiques et Sociales Oujdahttp://said-el-melhaoui.e-monsite.com

S., El Melhaoui (FSJESO)

Série statistique univariée

12/2015 1 / 41

Outline1

Introduction

2

Covariance

DéfinitionPropriétés

3

Coefficient de corrélation

DéfinitionPropriétés

4

Ajustement linéaire simple

Ajustement par la méthode des moindres carrésQualité de l"ajustement 5

Tableau de contingence

DéfinitionDistributions marginalesDistributions conditionnelles

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Introduction

Introduction

Souvent on s"interesse à l"étude d"un phénomène à travers

plusieurs variablesqui l"influencentsimultanémentEn particulier soient deux variables statistiquesxety. Pour

chaque unitéion observe des valeurs :x iety i; lasérie bivariée est : {(x i,y i),i=1,...,n} Comment organiser les données d"une grande taille dans un

tableau?Existe t"il une relation entre les deux variablesxety?Si oui, comment peut on mesurer son intensité? son sens?Peut on la formuler sous forme d"une relation explicite (fonction,modèle)?

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Introduction

Exemple 1Le manager d"un magasin s"intéresse à la relation qui pourrait existerentre le nombre des spots publicitaires diffusés au cours du week-endet les ventes effectuées la semaine suivante. Il observe les donnéesde dix semainesNuméro de la semaine

Nombre de spots

Volumes de ventes en 100 $

1 2 50
2 5 57
3 1 41
4 3 54
5 4 54
6 1 38
7 5 63
8 4 48
9 4 59
10 2 46

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Introduction

Exemple 1 (suite)Pour schématiser cette relation on représente les pointsP

1= (2,50),

P

2= (5,57),...,P

10 = (2,46), le graphe ainsi obtenu est ditnuage de points

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Covariance

Définition

Définition de la covarianceAfin de mesurer l"intensité de ladépendance(liaison) entre deux variablesxetyainsi que son sens (positive ou négative), on définit la covariancedexetyDéfinitionPour une série bivariée{(x i,y i),i=1,...,n}.la covariance est définie par S xy =cov(x,y) =1 n n?i=1 (x i-¯x)(y i-¯y)

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Covariance

Définition

Définition de la covariance (suite)

La covarianceS

xy sera positive six??y?. En effet, dans ce cas les points qui ont la plus grande influence sur la valeurS xy sont les pointsP i(x i,y i)qui vérifient(x i-¯x)?(y i-¯y)>0: les points appartenant au cadransIIetIV

La covarianceS

xy sera négative six??y?. Dans ce cas les points qui ont la plus grande influence sur la valeurS xy sont les pointsP i(x i,y i)qui vérifient(x i-¯x)?(y i-¯y)<0: les points appartenant au cadransIetIII

La covarianceS

xy sera presque nulle, s"il n"existe aucune relation entre les deux variables. En effet, dans ce cas les pointsP i(x i,y i) appartenant au cadransIIetIVont presque la même influence que ceux se trouvant aux cadransIetIII

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Covariance

Propriétés

Propriétés

1 La covariance est influencée par les changements d"unités et se conserve par les changements des origines. Soitx 0ety

0deux réels etd

xetd ydeux réels non nuls.uetvsont les variables issues dexetyrespectivement par le changement d"origine et d"unité suivant: u=x-x 0 dx etv=y-y 0 dy Alors cov(u,v) =cov(x,y) dxdy. 2

Formule deKonig Huyghens.

La covariance peut être écrite sous la forme suivante: S xy =cov(x,y) =1 n n?i=1 (x i?y i)-(¯x?¯y).

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Covariance

Propriétés

Exemple 1 (suite)

La formule deKonig Huyghens:

cov(x,y) = (1677/10)-(31/10)?(510/10) =9.6>>0 =?Il y"a une forte relation positive entre le volume des ventes et le nombre des spots publicitaires xi yi xi?y i 2 50
100
5 57
285
1 41
41
3 54
162
4 54
216
1 38
38
5 63
315
4 48
192
4 59
236
2 46
92
31
510
1677

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Coefficient de corrélation

Définition

Définition du coefficient de corrélation

La covariance est influencée par les changements d"unités donc elle dépend des unités des deux variables ce qui relativise son interprétationon définit un coefficient dit lecoefficient de corrélation de Bravais-Pearson; ce coefficient mesure l"intensité de la "dépendance linéaire» entre deux variables

DéfinitionPour une série bivariée{(x

i,y i),i=1,...,n}telle queS x?=0,S y?=0, le coefficient de corrélation est le nombre r=S xy

SxSy=cov(x,y)

var(x)? var(y).

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Coefficient de corrélation

Définition

Définition coefficient de corrélation (suite) r≈1 quand tous les points observées sont situées à proximité d"une même droite de pente positive : on parle d"une forte corrélation positiver≈ -1 quand tous les points observés sont situés à proximité

d"une même droite de pente négative : forte corrélation négativer≈0 quand le nuage de points est allongé parallèlement à l"un

des axes de coordonnées ; les points forment un nuage arrondie : faible corrélation

RemarqueUne forte corrélation (liaison, dépendance) n"indique pasnécessairement une relation de causalité (cause→effet)

Par exemple la variable ventes des glaces est fortement corrélée à la variable ventes des lunettes solaires, mais évidement aucune des deux variables ne cause l"autre

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Coefficient de corrélation

Définition

Forte corrélation positiver≈0.88

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Coefficient de corrélation

Définition

Forte corrélation négative:r≈ -0.72

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Coefficient de corrélation

Définition

Faible corrélation :r≈0.2

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Coefficient de corrélation

Propriétés

Propriétés

1 signe(r) =signe(cov(x,y)) 2 3

Formule de calcul:

r=(? i xiyi)-(? i xi?i yi)/n ??i x2i-(?quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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