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Dominique Pastor & Christophe Sintes
Version - 1 (Mai 2014)
Table des matières
1 Aléatoire et formalisme 3
2 Variables aléatoires et moments 17
3 Aléatoire multivarié 29
1Introduction
Le lecteur trouvera ici les énoncés et corrigés des exercices proposés dans "Probabilités pour l"ingénieur, des fondements aux calculs" Certains des énoncés ci-dessous ont été modifiés par rapport à ceux de l"ouvrage Nous conseillons au lecteur de consulter ce livret d"énoncés et de corrigés régu- lièrement car nous proposerons de nouveaux exercices. Nous envisageons notam- ment quelques exercices ou problèmes où les calculs seront suivis de programma- tions Matlab permettant de vérifier la validité des résultats trouvés par le lecteur. Que les lecteurs intéressés n"hésitent pas à nous contacter pour nous faire part de leurs suggestions aux adresses électroniques :Dominique.Pastor@telecom-bretagne.eu
etChristophe.Sintes@telecom-bretagne.eu
Nous suggérons à nos éventuels correspondants de débuter le sujet de leur cour- riel par l"abbréviation PP I (p robabilitésp ourl "ingénieur),c eq uinous p ermettrade mieux identifier la nature de leur courriel. 1Chapitre 1
Aléatoire et formalisme
EXERCICE1.1.-[Convergences monotone et dominée] nmériques positives ou nulles, sans préciser la fonction vers laquelle cette suite surables positives ou nulles, alors la limite de la suite (fn(x))n2Nexiste dansj0,1] pour toutx2R. Les notions de mesurabilité et d"intégrale s"étendent sans réelle dif- ficulté au cas des fonctions positives ou nulles à valeurs dans [0,1]. La conclusion du théorème de convergence monotone est alors inchangée :fAElimnfnest mesu- rable et : lim kZ R fkd¸AEZ R fd¸ Il faut utiliser cet énoncé plus général de la convergence monotone pour répondre aux questions suivantes. 1. S oit( gn)n2Nune suite d"applications numériques mesurables à valeurs dans [0,1[. Montrer queZ R1 X nAE1g n(x)dxAE1X nAE1Z R gn(x)dx. 2. S oit(fn)n2Nunesuited"applicationsnumériquesmesurables.Onsupposeque 1X nAE1Z R jfn(x)jdxÇ1. On poseÁ(x)AE1X nAE1jfn(x)j2[0,1] pour toutx2R. (a)M ontrerq ue
Z RÁ(x)dxÇ1.
(b) E na dmettantque toute ap plicationint égrableest finie p resquep artout, déduire de la question précédente que 1X nAE1f n(x) converge pour presque tout réelxet queRRjf(x)jdxÇ 1avecf(x)AE1X
nAE1f n(x) en tout pointx 34PROBABILITÉS POUR L"INGÉNIEUR
où cette série converge etf(x)AE0 (par exemple) enxoù la sériePfn diverge. (c)M ontrerqu eZ
R f(x)dxAE1X nAE1Z R fn(x)dx. Ce résultat est [RUD 87, Theo- rem 1.38, p. 29] dans le cas réel.Solution
que somme finie d"applications mesurables. De plus, pour toutN2N,GNÊ0. Nous NRRGN(x)dxAER
RlimNGN(x)dx. D"où le résultat, car :
Z RGN(x)dxAENX
nAE1Z R gn(x)dx et lim NZ RGN(x)dxAE1X
nAE1Z R gn(x)dx2a) Par application de la question précédente, nous avons :
Z RÁ(x)dxAE1X
nAE1Z R jf(x)jdxÇ12b) Comme
R RÁ(x)dxÇ1,Áest finie presque partout. Il s"ensuit que pour presque toutx, la sériePfn(x) est absolument convergente et donc convergente. En tout pointxoù cette série est absolument convergente,jf(x)j ÉÁ(x) et pour tout réel xoù la sériePfn(x) diverge,f(x)AE0. CommeÁest intégrable,fest elle-aussi in- tégrable. Il suffit même de dire quefest majorée presque partout par la fonction intégrableÁ- sans même avoir à préciser une quelconque valeur pourflà où elle n"est pas majorée parÁ- pour garantir quefest intégrable.3) Nous avonsjPNnAE1fnj ÉÁet limnPNnAE1fnAEf(presque partout). Nous sommes
donc dans les conditions de la convergence dominée dans un cas plus général que que partout au lieu d"une convergence partout. Mais cela ne change en rien les que partout dans les énoncés de la convergence montone et dominée sans que cela de la convergence dominée. Le lecteur attentif le remarquera peut-être : nous n"avons en fait pas besoin dela question précédente pour garantir l"intégrabilité defcar cette intégrabilité est
directement garantie par la convergence dominée! Les 3 exercices suivants sont des adaptations d"énoncés que le lecteur trouvera dans [KHA 94].EXERCICES PARTIE I5
EXERCICE1.2.-[Application de la convergence dominée] SoientaÈ1, un borélienAinclus dans [0,1[ et une application numériquefinté- grable surA:Z A jf(x)jdxÇ1. Montrer que limnZAnxf(x)1ÅnaxadxAE0.
Indication :justifier et utiliser le fait que, pour toutx2[0,1[,x·xaÅ1.Solution
Six2[0,1], on axÉ1É1ÅxacarxaÊ0. SixÈ1,xÇxaÇxaÅ1. Donc, pour tout x2[0,1[,x·xaÅ1. Nous déduisons de cette inégalité quenxn axaÅ1É1. Aussi, nousavons l"inégalité :j1A(x)nxf(x)1Ånaxaj AE1A(x)nxjf(x)j1ÅnaxaÉ jf(x)jpuisqueA½[0,1[. Comme
fest intégrable, la suite de fonctions (fn)n2Navecfn(x)AE1A(x)nxf(x)1Ånaxaest dominée par la fonction intégrablef. De plus, pour toutx2R, limn1A(x)nxf(x)1ÅnaxaAE0. D"où le résultat par application de la convergence dominée. EXERCICE1.3.-[Application de la convergence dominée]Soita2]0,1[,
1. M ontrerqu ee¡xxa¡1est intégrable sur [0,1[; 2.M ontrerqu e1 ÅxÉexpour toutx2R;
3.M ontrerqu epour t outx2[0,1[, limn¡1¡xn
nAEe¡x; 4.E ndéduir equ eli m
nZ n 0³1¡xn
nxa¡1dxAEZ 1 0 e¡xxa¡1dx.Solution
1) Soitf(x)AEe¡xxa¡1définie pour toutx2]0,1[. Commef(x)Ê0 pour toutx2
]0,1[, la valeur de l"intégraleR10f(x)dxexiste dans [0,1]. On cherche à montrer
que cette intégrale est en fait finie.Commee¡xÉxa¡1, nous avons :
f(x)1]0,1](x)Éxa¡11]0,1](x) PourxÊ1, on axa¡1É1. Nous avons donc aussi : f(x)1[1,1](x)Ée¡x1[1,1](x)Il s"ensuit que :
Z 1 0 f(x)dx)AEZ 1 0 f(x)dxÅZ 1 1 f(x)dxÉZ 1 0 xa¡1dxÅZ 1 1 e¡xdx(1.1) Le second terme du membre de droite dans l"inégalité précédente est évidemment fini en raison des propriétés de l"exponentielle. On peut même préciser la valeur de6PROBABILITÉS POUR L"INGÉNIEUR
ce terme puisqu"une primitive dee¡xest¡e¡x. On a doncR11e¡xdxAE[¡e¡x]11AE1.
La première intégrale du membre de droite dans l"inégalité (1.1) est elle-aussi fi- nie. Pour le montrer, on peut utiliser la proposition 4.15 du livre. À titre d"exemple, nous allons faire ici une démonstration spécifique au cas considéré dans cet exer- cice, sans passer par cette proposition, afin que le lecteur s"exerce à l"emploi de applicationsgn(x)AExa¡11[1/n,1](x) pourx2]0,1]. Pour toutx2]0,1], cette suite est croissante et limngn(x)AExa¡11]0,1](x). Par application de la convergence monotone, Z 1 0 xa¡1dxAElimnZ 11/nxa¡1dx(1.2)
L"application qui associexa¡1à toutx2[1/n,1] est continue et bornée sur [1/n,1]. Elle est donc intégrable sur [1/n,1]. D"autre part, une primitive dexa¡1est (1/a)xa.Nous obtenons donc :
Z 11/nxa¡1dxAE·1a
xa¸11/nAE1a
1¡1n
En reportant ce résultat dans (1.2) , nous obtenons : Z 1 0 xa¡1dxAElimn1a1¡1n
AE1a (1.3)On a donc :
Z1 0 f(x)dxÉ1aÅ1 (1.4)
ce qui garantit l"intégrabilité def. Avec un peu d"habitude, on peut aller beaucoup plus vite en passant vite sur les détails que nous venons de donner. Mais nous avons voulu donner ces détails pour montrer comment les différents résultats de la théorie s"articulent pour établir l"intégrabilité de la fonction considérée.2) Il y a plusieurs façons de procéder. La plus simple est de faire un dessin. Si l"on
veut absolument faire des calculs, une solution classique consiste à considérer la fonctionh(x)AEex¡x¡1 définie pour tout réelxet à étudier le sens de variation de h. On ah0(x)AEex¡1Ê0 pourxÊ0. On en déduit quehest croissante sur [0,1[. cela implique queh(x)Êh(0) pour toutxÊ0 et commeh(0)AE0, nous obtenons le résultat voulu.3) Nous avons³
1¡xn
nAEenln¡1¡xn . Pournassez grand, nous pouvons écrire : ln1¡xn
AE¡xn
Åxn
"³xn avec lim t!0"(t)AE0. On a donc :³1¡xn
nAEe¡xÅx"(x/n), d"où le résultat.EXERCICES PARTIE I7
f n(x)AE³1¡xn
nxa¡11]0,n](x)Par la question 2, 1¡xn
Ée¡x/npourxÊ0. Donc, pourxÉn,¡1¡xn nÉe¡x. On a simplement versh. Nous sommes dans les conditions d"applications du théorème de la convergence dominée. D"où le résultat. EXERCICE1.4.-[Une autre application de la convergence dominée] 1.P ourquoil"intégralecnAER
on écrire que :cnAE2R10gn(x)dx?
2. a) Montrer que pour tout réelx:¡1Åx2/n¢(nÅ1)/2Ê1Åx2/2. b) Montrer que l"applicationx2R7¡!11Åx2/2est intégrable. 3. O nv eutcalcul erla li mitede cnlorsquentend vers l"infini. a) Montrer que lim ngn(x)AEe¡x2/2;Solution
1) La valeur de l"intégralecnAEZ
R gn(x)dxexiste dans [0,1[ cargnÊ0 et est mesu- rable. Commegnest paire, on acnAE2Z 1 0 gn(x)dx.2a) On posefn(t)AE(1Åtn
)nÅ12¡1¡t2
,tÊ0 f0n(t)AEnÅ12nµ
1Åtn
n¡12¡12
AE12 nÅ1n1Åtn
n¡12¡1!
CommenÊ1 ettÊ0, on a (1Åtn
)n¡12Ê1, ce qui implique quenÅ1n
(1Åtn )n¡12¡1Ê0.
Doncf0n(t)Ê0 pourt2[0,1[ etfnest croissante sur [0,1[. Commefn(0)AE0, on a f n(t)Êf(0)AE0, ce qui implique le résultat.2b) On a :
Z1011Åx22
dxAEZ 1011Åx22
dxÅZ 1111Åx22
dx8PROBABILITÉS POUR L"INGÉNIEUR
L"intégrale
Z 1011Åx22
dxest finie carx7!11Åx22 est définie et continue sur [0,1].PourxÊ1,11Åx22
Ê2x
2. OrZ
1 11x2dxAE·
¡1x
1 1AE1. DoncZ
1111Åx22
dxÇ 1. On a donc : Z1011Åx22
dxÇ1Commex7!11Åx22
est paire, il s"ensuit que : ZR11Åx22
dxÇ12c)gn(x)AE(1Åx2n
)¡nÅ12É11Åx22
et l"applicationx7!11Åx22 est intégrable sur [0,1[. Donc Z 1 0 gn(x)dxÉ1etcnest fini aussi.3a) lngn(x)AE¡nÅ12
lnµ1Åx2n
donc lim nlngn(x)AE¡x22 car ln1Åx2n
AEx2nÅx2n
oµx2nOn en déduit que lim
ngn(x)AEe¡x2/2pour toutx2R.3b) On sait quegn(x)É11Åx22
, qui est intégrable surR. D"autre part, limngn(x)AE e ¡x2/2pour toutx2R. Le théorème de la convergence dominée s"applique. On en déduit : lim ncnAElimnZ R gn(x)dxAEZ R limng(x)dxAEZ R e¡x2/2dxAEp2¼ La dernière égalité étant une conséquence de la condition de normalisation, on a : ZR1p2¼e¡x22
dxAE1 pour la densité de probabilité gaussienne de moyenne nulle et de variance unitaire.EXERCICE1.5.-[sin(x)/xn"est pas intégrable]
1.M ontrerqu epour t outk2N:Z
(kÅ1)¼ k¼jsinxjx dx¸2(kÅ1)¼. 2. E ndéduir equ el "applicationx!sin(x)/xn"est pas intégrable. 3. P ourquoipeu t-onga rantirl "existencede l "intégraleZ a¼sinxx
dxpouraȼ?EXERCICES PARTIE I9
4. A l "aided "uneint égrationp arpar ties,m ontrerl "égalité: Z a¼sinxx
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