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11. Distributions conjointes
Comment generaliser les fonctions de probabilite et de densite a plus d'une variable aleatoire?Variables aleatoires discretes:
Considerons 2 variables discretes :X=utilite des mathematiques etY= branche d'etude.XnYPharma SdlT Bio ChimieTotalMath15 2 16 831
Math219 4 24 1259
Math32 2 6 414
Total26 8 46 24104
Tableau de contingence (2007)Distributions
2XnYPharma SdlT Bio ChimieTotal
Math10.05 0.02 0.15 0.080.30
Math20.18 0.04 0.23 0.120.57
Math30.02 0.02 0.06 0.040.13
Total0.25 0.08 0.44 0.231
Tableau de probabilite
La probabilite conjointe est simplement donnee par un tableau de probabilites, ouP(X = i;Y = j) = pijpour tout(i;j)
pour deux variables. Pour trois variables, il faut denir : P(X = i;Y = j;Z = k) = pijkpour tout(i;j;k):Distributions 3 Variables aleatoires continues: deux variables aleatoiresX=taille etY= poids ont unefonction de densite conjointesiP((X;Y)2A) =Z Z
A f(x;y) dx dy; ouf(x;y)>0etR Rf(x;y)dx dy= 1.Exemple :
f(x;y) =exp(y)0 < x < y <1 0 sinonEst-ce bien une fonction de densite?
Exemple : Distribution uniforme bivariee sur un carre, un disque, ...Distributions 4y x f(x,y)Fonction de densite a deux variables.Distributions
5 Il est aussi possible de denir unefonction de repartition conjointeF(x;y) = P(X6x;Y6y)
pour deux variables. Il est facile de generaliser an>2variables. La fonction de densite conjointe s'obtient de la fonction de repartition en dierenciant@2F@x@y =f pourn= 2.Distributions 6 Exemple : On tire deux boules sans remise d'une urne qui contient 8 Rouge,6 Bleue et 4 Verte. SoitX=le nombre de boules Rouge etY=le nombre de
boules Bleue. Trouver la distribution conjointe deXetY.XnY0 1 2
06 15324153
15153
132
153
48153
0228
153
0
0 Distributions
7 Exemple : Soit deux variables aleatoiresXetYde densitef(x;y) =c(x+y) sur[0;1][0;1]. (1) Que vautc? (2) Que vautP(X<1=2)? (etP(X61=2)?) (3) Que vautP(X + Y<1)? (1) (2)P(X<1=2) = P(X<1=2;Y2[0;1]) =R1=2 0R 10(x + y) dy dx =
(3)P(X + Y<1) = P(X<1Y;Y2[0;1]) =R1 0R 1y0(x + y) dx dy =Distributions
82. Distributions marginales
Comment trouver lesdistributions marginalesdeXet deYa partir de la distribution conjointe de(X;Y)?Cas discret
P(X = x) =
X yP(X = x;Y = y) est la distribution marginale deX.P(Y = y) =
X xP(X = x;Y = y) est la distribution marginale deY.Distributions 9Exemple :XnYPharma SdlT Bio ChimieP(X = x)
Math10.05 0.02 0.15 0.080.30
Math20.18 0.04 0.23 0.120.57
Math30.02 0.02 0.06 0.040.13
P(Y = y)0.25 0.08 0.44 0.231
Tableau de probabiliteDistributions
10Exemple :
XnY0 1 2P(X = x)
06 15324153
1515345
153132
153
48153
080
153
228
153
0 0 :::
P(Y = y):::
72153Distributions
11Cas continu
fX(x) =Z
f(x;y)dy est la distribution marginale deX. fY(y) =Z
f(x;y)dx est la distribution marginale deY. Cela denit-il bien des fonctions de densite?Distributions 12Exemple :
f(x;y) =exp(y)0 < x < y <1 0 sinonOn trouve :
fX(x)= Z
f(x;y)dy=Z 1 x exp(y)dy= exp(x) fY(y)= Distributions
130246810
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x f(x)Densité marginale X
0246810
0.0 0.1 0.2 0.3 y f(y) Densité marginale YFonctions de densite marginale.Distributions
143. Independance
Denition
Deux v.a.XetYsontindependantessi pour tout ensembleAetBon aP(X2A;Y2B) = P(X2A)P(Y2B):
On peut demontrer que cette denition est equivalente a :Cas disc ret:
P(X = x;Y = y) = P(X = x)P(Y = y)
Cas c ontinu:
f (X;Y)(x;y) =fX(x)fY(y) pour toutx;y.Distributions 15Exemple :
XnY0 1 2P(X = x)
06 15324153
1515345
153132
153
48153
080
153
228
153
0 0 28
153P(Y = y):::
72153Puisque
P(X = 2;Y = 2)6= P(X = 2)P(Y = 2);
on deduit queXetYne sont pas independantes.Distributions 16Exemple :
f(x;y) =exp(y)0 < x < y <1 0 sinonOn a trouve :
fX(x)= Z
f(x;y)dy=Z 1 x exp(y)dy= exp(x) fY(y)= yexp(y)
DoncXetYne peuvent pas ^etre independantes.
Exemple :(X;Y)a pour densite conjointef(x;y) = (x+y)2(xy)2sur [0;1]2. Les v.a.XetYsont-elles independantes?Distributions 174. Somme de deux v.a. independantes
Soit 2 v.a.XetY. On s'interesse a la distribution de leur sommeS=X+Y. D'une maniere generale, c'est un probleme dicile. En supposant queXetY sont independantes, le probleme est parfois simplie.Cas discret
P(S = s)
P(X + Y = s)
=X xP(X = x;Y = sx) X xP(X = x)P(Y = sx):Distributions 18 Exemple :XPoi()etYPoi()sont independantes. Peut-on dire quelque chose deS=X+Y? PuisqueP(X = j) = 0quandj <0, etP(Y = kj) = 0quandj > kP(X + Y = k)
kX j=0P(X = j)P(Y = kj) kX j=0exp()jj!exp()kj(kj)! exp( (+))1k!k X j=0C k;jjkj exp( (+))1k!:::Distributions 19Donc on peut ecrire "Poi()ind+ Poi() = Poi(+)".
C'est plus l'exception que la regle de trouver une distribution simple et de m^eme loi. Par exemple a-t-on "Bin(n;p1)ind+ Bin(n;p2) = Bin(n;p1+p2)"? Ou plut^ot "Bin(n1;p)ind+ Bin(n2;p) = Bin(n1+n2;p)"?Distributions 20Cas continu
SiXfXest independante deYfY, alorsS=X+Ya pour densite fX+Y(s) =Z
fX(x)fY(sx)dx:
On peut par exemple demontrer que
"N(1;21)ind+ N(2;22) = N(1+2;21+22)":Distributions 215. Distributions conditionnelles
Cas discret
P(X = xjY = y) =P(X = x;Y = y)P(Y = y)
Cas continu
f(xjY=y) =f(x;y)f Y(y) Ainsif(x;y) =f(xjY=y)fY(y). Donc siXetYsont independants, on obtient (page 14) : f(x;y) =fX(x)fY(y):Distributions 22Exemple :XnYPharma SdlT Bio ChimieP(X = x)
Math10.05 0.02 0.15 0.080.30
Math20.18 0.04 0.23 0.120.57
Math30.02 0.02 0.06 0.040.13
P(Y = y)0.25 0.08 0.44 0.231
Tableau de probabilite
P(X = 2jY = Bio) =P(X=2;Y=Bio)P(Y=Bio)
=0:230:44= 0:52Distributions 23Exemple :
f(x;y) =exp(y)0 < x < y <1 0 sinon f(xjY=y) =f(x;y)f(y)=exp(y)yexp(y)=1y pour0< x < yDoncXjY=y:::.
f(yjX=x) =f(x;y)f(x)=exp(y)exp(x)= exp((yx))poury > x.DoncYXjX=xExp(1).Distributions
24012345
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 x f(x|Y=0.5)Conditional X|Y=0.5
012345
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 y f(y|X=1)Conditional Y|X=1
012345
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 x f(x|Y=2)Conditional X|Y=2
012345
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 y f(y|X=3) Conditional Y|X=3Fonctions de densite conditionnelle.Distributions
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