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Chapitre3

Réduction des endomorphismes

Table des matières

3 Réduction des endomorphismes1

3.1 Valeurs propres, vecteurs propres d"un endomorphisme .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

3.2 Valeurs propres en dimension finie, polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4

3.3 Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.4 Trigonalisation des endomorphismes et des matrices . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.4.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.4.2 Trigonalisation en dimension2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 12

3.4.3 Trigonalisation en dimension3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 12

3.5 Applications de la diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.5.1 Calcul des puissances d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.5.2 Suites récurrentes linéaires d"ordrepà coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 15

3.5.3 Suites récurrentes linéaires à coefficients constants d"ordre2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Suites vérifiantun+1-aun=b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 16

Suites vérifiantun+2+aun+1+bun=c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 16

Cas généralun+2+aun+1+bun=c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 17

3.6 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.6.1 Le théorème spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.6.2 Une caractérisation de la diagonalisabilité avec despolynômes annulateurs

Hors programme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.6.3 Cas des endomorphismes nilpotents

Hors programme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.6.4 Réduction des matrices de rang1

Hors programme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.6.5 Réduction des matrices de rang2

Hors programme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.6.6 Densité deGLn(K)dansMn(K)

Hors programme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.7 L"essentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Dans tout ce chapitre,

(E,+,.)est unK-espace vectoriel.

3.1 Valeurs propres, vecteurs propres d"un endomorphisme

Remarque 3.1Soientu?L(E)etx?Eun vecteur non nul deE. On suppose que la droiteD=Vect(x)est stable paru.

Alors il existeλ?Ktel queu(x)=λx. Mais alors pour toutx??D,u(x?)=λx?. En effet, commex??D, il existeα?K

tel quex?=αxetu(x?)=u(αx)=λαx=λx?.

Remarquons aussi que siEest de dimension finie, alors dans une baseedeEadaptée àD, la matrice deuest de la

forme : Mat e(u)=?λ ? 0 A? Cette remarque nous conduit aux définitions suivantes. 1

DÉFINITION3.1?Valeurs propres, spectre

Soit un endomorphismeu?L(E).

1. On dit qu"un scalaireλ?Kest unevaleur proprede l"endomorphismeus"il existe un vecteurx?Enon-nultel

queu(x)=λx, c"est-à-dire siKer(u-λid)?={0E}.

2. L"ensemble de toutes les valeurs propres deus"appelle lespectredeuet est notéSp(u).

DÉFINITION3.2?Vecteurs propres, sous-espaces propres

Soit un endomorphismeu?L(E).

1. On dit qu"un vecteurx?Eest unvecteur proprede l"endomorphismeusi et seulement si :

H1x?=0E,

H2il existe un scalaireλ?Ktel queu(x)=λx.

On dit alors quexest unvecteur propre associé à la valeur propreλ.

2. Pour une valeur propreλ?Sp(u), on définit lesous-espace propreassocié :

E u(λ)=Ker(u-λid)

Remarque 3.2

1. Si aucune confusion n"est à craindre, on écritE(λ)plutôt queEu(λ).

2. Même siλ??Sp(u), on note égalementE(λ)=Ker(u-λid). Alorsλest une valeur propre si et seulement si

E(λ)?={0E}.

3. Six?Eest un vecteur non-nul alors la droiteVect(x)est stable parusi et seulement sixest un vecteur propre de

u.

4. En dimension finie,λest une valeur propre deusi et seulement si l"endomorphisme(u-λid)n"est pas inversible.

C"est faux en dimension infinie :λest valeur propre deusi et seulement si(u-λid)n"est pas injectif.

Exemple 3.1

1. Homothétie : siu?L(E)est l"homothétie de rapportλ?K, la seule valeur propre deuestλet tout vecteur deE

non nul est un vecteur propre associé. DoncE(λ)=E.

2. Projection : SiE=F?Get siu?L(E)est la projection surFparallèlement àG(FetGde dimension au moins1),

les valeurs propres deusont0et1et on a :E(0)=GetE(1)=F.

3. Symétrie : SiE=F?Get siuest la symétrie par rapport àFparallèlement àG(FetGde dimension au moins1),

les valeurs propres deusont1et-1et on a :E(1)=FetE(-1)=G.

PROPOSITION3.1??Quelques remarques importantes

Soient un espaceEde dimension finie et un endomorphismeu?L(E).

1.uest inversible si et seulement si0??Sp(u).

2. Siuest inversible, les valeurs propres deu-1sont les inverses des valeurs propres deu.

3. Siλ?Sp(u)est valeur propre deualors pour toutn?N,λnest valeur propre deun.

4. Pour tout polynômeP?K[X],P=a0+a1X+··· +amXm, on définit lepolynôme d"endomorphismeP(u)=

a

0idE+a1u+···+amum. Alors siλ?Sp(u)est valeur propre deu,P(λ)est valeur propre deP(u).

5. SiP?K[X]est unpolynôme annulateurdeu, i.e.P(u)=0L(E), alors siλ?Sp(u)est valeur propre deu, c"est une

racine deP:P(λ)=0K.

Démonstration

1. Si

uest inversible alors elle est injective et son noyau est réduit au vecteur nul. Le seul vecteurxtel queu(x)=0est donc

x=0et0ne peut être une valeur propre deu. Réciproquement, si0n"est pas une valeur propre alorsune s"annule sur aucun

vecteur non nul et son noyau est réduit à

0. Doncuest injective et commeEest de dimension finie,uest aussi surjective,

donc inversible.

2. On suppose que

uest inversible et queλest une valeur propre deu. D"après le point précédent,λ?=0. Soitxest un vecteur

propre associé à cette valeur propre. Alors u(x)=λxmais commeλ?=0, on a aussi en composant paru-1des deux côtés de l"égalité et en divisant par λ,u-1(x)=λ-1xdoncλ-1est une valeur propre deu-1. On montre ainsi que l"inverse de toute valeur propre de uest une valeur propre deu-1. En raisonnant de même avecu-1, on montre la réciproque. 2

3. Le troisième point se montre par une récurrence facile.

4. Soit

P=a0+a1X+···+amXm?K[X]et soitλ?Sp(u). Par définition d"une valeur propre, il existex?E,x?=0tel que

u(x)=λx. En utilisant le point précédent, il vient :

P(u)(x)=m?

k=0a kuk(x)=m? k=0a kλkx=P(λ)x etP(λ)est valeur propre deP(u). 5. Si

P(u)=0L(E)et siλ?Sp(u)alorsP(λ)est une valeur propre deP(u)mais ce dernier étant l"endomorphisme nul, on a

nécessairement

P(λ)=0.

Remarque 3.3Si on connaît un polynômePannulateur deu?L(E)alors les valeurs propres deusont à chercher

parmi les racines deP.

LEMME3.2?Vecteurs propres et liberté

Soientp?2et(x1,...,xn-1,xn)une famille de vecteurs propres d"un endomorphismeu?L(E)associés à des valeurs

propres deux à deux distinctes. Si(x1,...,xn-1)est libre alors il en est de même de(x1,...,xn-1,xn).

DémonstrationSoit?αi?

i=1,...,nune famille de scalaires telle que?ni=1αixi=0. On appliqueuà cette somme, on obtient?ni=1αiu(xi)=0, c"est-à-dire?ni=1αiλixi=0. On retire alors à cette relationλnfois la première, on trouve :

n-1? i=1α i?λi-λn?xi=0.

Si la famille?xi?

i=1,...,n-1est libre alors il en est de même de?xi? i=1,...,n. En effet, on a dans ce cas, pour touti=1,...,n-1,

αi?λi-λn?=0, ce qui amène, les valeurs propres étant deux à deux distinctes,αi=0. Donc de la somme initiale?ni=1αixi=0, il

ne reste que

αnxn=0et donc, commexn?=0,αn=0.

Ce résultat intermédiaire va nous permettre de démontrer lethéorème suivant :

THÉORÈME3.3?Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre

Soient(x1,...,xp)?Epdes vecteurspropresd"unendomorphismeuassociés à des valeurspropresdistinctesλ1,...,λp.

Alors la famille(xi)1?i?pest libre dansE.

DémonstrationCommex1est un vecteur propre, il est non nul et donc(x1)est libre. Mais d"après le lemme,(x1,x2)est aussi

libre, et ainsi de suite jusqu"à (x1,...,xn) PROPOSITION3.4?Deux sous-espaces propres sont en somme directe

Soitu?L(E)etλ1,λ2deux valeurs propres distinctes deualorsE(λ1)etE(λ2)sont en somme directe

DémonstrationSoitx?E(λ1)∩E(λ2). Alorsf(x)=λ1x=λ2xce qui n"est possible que six=0carλ1?=λ2. DoncE(λ1)∩E(λ2)=

0} Plus généralement, on a le très important résultat suivant : COROLLAIRE3.5???Les sous-espaces propres sont en somme directe

Soitu?L(E)et une famillefinie(λi)i?Ide valeurspropresdeudeuxà deuxdistinctes. Alors la sommedes sous-espaces

propres associée est directe :

DémonstrationSoit(x1,...,xp)?E1×...×Eptels quex1+...+xp=0. Supposons que certains, parmi les vecteursx1,...,xp, ne

soient pas nuls. Alors la famille

(x1,...,xp)est liée. On retire de cette famille(x1,...,xp)les vecteurs qui sont nuls et on note, quitte

à re-numéroter les sous-espaces propres,

(x1,...,xp?)la famille obtenue (p??p). On a toujoursx1+...+xp?=0et donc la famille

(x1,...,xp?)est liée. Comme les vecteursx1,...,xp?ne sont pas nuls, ce sont des vecteurs propres et ils sont associés à des valeurs

propres distinctes. Ils forment alors, d"après le théorème3.3, une famille libre, ce qui est absurde. Donc les vecteurs

x1,...,xpsont tous nuls et la somme des sous-espaces propres est bien directe. THÉORÈME3.6?Les sous-espaces propres d"endomorphismes qui commutent sont stables Soient(u,v)?L(E)2deux endomorphismes qui commutent : u◦v=v◦u Alors les sous-espaces propres deusont stables parv. 3

DémonstrationSoitλ?Sp(u). Montrons que le sous-espace propreEu(λ)associé est stable parv. Soitx?Eu(λ)alors, comme

uetvcommutent,u(v(x))=v(u(x))=v(λx)=λv(x)et doncv(x)?Eu(λ), ce qui prouve la propriété.

Remarque 3.4SiDest une droite vectorielle deEstable paru?L(E)alors tout vecteurxgénérateur deDest un

vecteur propre pouru. En effet, on au(x)?Ddonc il existeλ?Ktel queu(x)=λx. Commexest non nul,xun vecteur

propre deude valeur propre associéeλ.

3.2 Valeurs propres en dimension finie, polynôme caractéristique

Dans ce paragraphe, tous les espaces vectoriels considéréssont de dimension finie. DÉFINITION3.3?Valeurs propres, vecteurs propres d"une matrice

Soit une matriceA?Mn(K). On dit qu"un scalaireλ?Kestvaleur proprede la matriceAsi et seulement s"il existe une

matrice colonneX?Mn,1(K)non-nulletelle queAX=λX. Une telle matrice colonne est appeléevecteur propre associé à la valeur propreλ. On appellespectrede la matriceAet l"on noteSp(A)l"ensemble des valeurs propres deA. Remarque 3.5SiEest unK-ev de dimensionn,eune base deEetu?L(E)un endomorphisme deEtel que Mat

e(u)=A, les valeurs propres deAsont les valeurs propres deu. Les vecteurs propres deAsont les matrices colonnes

des vecteurs propres de l"endomorphismeudans la basee. DÉFINITION3.4?Polynôme caractéristique d"une matrice SoitA?Mn(K). On appellepolynôme caractéristiquedeA, le polynôme

A(X)=det(XIn-A).

Exemple 3.2Pour une matriceA=?a b

c d? ?M2(K),

A(X)=????X-a-b

-cX-d???? =X2-(a+b)X+(ad-bc)=X2-Tr(A)X+det(A) THÉORÈME3.7?Deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique SoientA,B?Mn(K). SiA=P-1BPavecP?GLn(K), alorsχA(X)=χB(X). DémonstrationOn utilise les propriétés du déterminant :

χA(X)=det(XIn-A)=det(XIn-P-1BP)=det?

P-1(XIn-B)P?

=det(XIn-B)=χB(X). Remarque 3.6La réciproque est fausse. Par exemple,A=?0 00 0? etB=?0 01 0? ont même polynôme caractéristique A(X)=χB(X)=X2et ne sont pas semblables (car de rangs différents). DÉFINITION3.5?Polynôme caractéristique d"un endomorphisme

Soit un espace vectorielEde dimension finie. Soitu?L(E), on appelle polynôme caractéristique de l"endomorphisme

u, le polynôme u(X)=det(Xid-u) Sieest une base deEetA=Mate(u), alorsχu(X)=χA(X).

Remarque 3.7La définition est bien cohérente car le déterminant d"un endomorphisme ne dépend pas de la base dans

lequelonle calcule.Ainsi sie?est uneautrebasedeEet queA?=Mate?(u)alorsAetA?sontsemblablesetχA(X)=χA?(X).

THÉORÈME3.8?Racines du polynôme caractéristique

Les valeurs propres d"une matriceA?Mn(K)sont les racines de son polynôme caractéristiqueχA(X).

4

Démonstration

— Soit

λune valeur propre de la matriceA. Alors il existe une matrice colonneX?Mn,1(K)non-nulle telle queAX=λX.

Donc

XannuleλIn-Aetdet(λIn-A)=0.

— Réciproquement, si

det(λIn-A)=0alors il existeX?Mn,1(K)non-nulle tel queAX=λXetλest une valeur propre deA.

PROPOSITION3.9?Les valeurs propres d"une matrice triangulaire supérieuresont ses éléments diagonaux

SiA=(((a

11...a1n

Oann)))

est une matrice triangulaire, ses valeurs propres sont ses éléments diagonauxa11,...,ann.

DémonstrationCommeAest triangulaire supérieure,χA(X)=?nk=1(X-ai,i)et la liste des valeurs propres deAest donnée par

celle des racines de

χA, c"est-à-dire para1,1,...,an,n.

THÉORÈME3.10?Polynôme caractéristique d"une restriction

Soit un endomorphismeu?L(E)etF?Eun sous-espace vectoriel stable paru. On notev=u|Fla restriction deuau

sous-espaceF:v?L(F). Alors le polynôme caractéristique dev,χvdivise le polynôme caractéristiqueχudeu.

DémonstrationÉcrire la matrice deudans une base adaptée et utiliser le déterminant par blocs.

Remarque 3.8En particulier, siA?Mn(K)admet une valeur propreλ?K, alorsAest semblable à la matrice

A

0=?λB

0 C? oùB?M1,n-1(C)etC?Mn-1(C).

LEMME3.11?Un lemme technique

SoitP=(Pi,j(X))(i,j)??1,n?2?Mn(K1[X])une matrice à coefficients dansK1[X]. On notem??1,n2?le nombre de

polynômes de cette matrice qui sont exactement de degré1. Alorsdet(P)?Km[X].

DémonstrationOn effectue une récurrence surn. Sin=1, le résultat est trivial. Soitn?2. On suppose le résultat vrai pour tout

k??1,n-1?. On considèreP=(Pi,j(X))(i,j)??1,n?2?Mn(K1[X])comptantmcoefficient polynomiaux de degré1. On développe

det(P)par rapport à la première colonne : det(P)=n? k=1(-1)k+1Pk,1Δk,1

où pour toutk??1,n?, on aΔk,1est le déterminant d"une matrice deMn-1(K1[X]). Il y a deux cas possibles :

— Soit

Pk,1est de degré1dans quel casΔk,1comptem-1polynôme de degré1. Donc par hypothèse de récurrencePk,1Δk,1

est un polynôme au plus de degrém.

— Soit

Pk,1est de degré<1dans quel casΔk,1compte au plusmpolynôme de degré1et par hypothèse de récurrence, on a

à nouveau que

Pk,1Δk,1est un polynôme au plus de degrém.

Par suite,

det(P)est un polynôme de degré au plusmcomme somme de tels polynômes.

Le lemme est ainsi prouvé par récurrence.

PROPOSITION3.12?Coefficients remarquables du polynôme caractéristique

SoitA?Mn(K).

1. Le polynôme caractéristiqueχA(X)est un polynôme de degrénexactement;

2.χA(X)est unitaire;

4. Sile polynôme caractéristiqueχAest scindé, de racines les valeurs propres deA,(λ1,...,λn)comptées avec leur

ordre de multiplicité,

1+···+λn=Tr(A)

1×···×λn=det(A)

DémonstrationLe lemme nous assure queχAest un polynôme de degré au plusn.

De plus, son terme constant est

χA(0)=(-1)ndet(A).

On poursuit alors par récurrence sur

n. Si n=1, la proposition est démontrée. 5

Soitn?N,n?2. On suppose la propriété vraie au rangn-1. SoitA?Mn(K). On développeχA(X)=det(XIn-A)relativement à

la première colonne :

χA(X)=det(XIn-A)=(X-a1,1)Δ1,1+n?

k=2(-1)k+1ak,1Δk,1

où pour toutk??1,n?,Δk,1compte exactementn-2polynômes de degrén-2saufΔ1,1qui en compten-1.

D"après le lemme, on a

degak,1Δk,1?n-2pour toutk??2,n?.

Par ailleurs, si

A?est la matrice extraite deAen lui supprimant sa première colonne et sa première ligne, alorsδ1,1=det(XIn-1-

A ?)=χA?(X)

et en appliquant l"hypothèse de récurrence àA??Mn-1(K)alorsΔ1,1=Xn-1-Tr(A?)Xn-1+...+(-1)ndet(A?).

On en déduit alors que :

k=2(-1)k+1ak,1Δk,1 ?Kn-2[X]=Xn-Tr(A)+Q oùQ?Kn-2[X]. On prouve ainsi par récurrence queχAest de la forme annoncée.

Si de plus ce polynôme est scindé, on obtient les égalités surla trace et le déterminant en utilisant les relations coefficients-racines.

Remarque 3.9Une matrice de taillen×nadmet au plusnvaleurs propres distinctes.

Remarque 3.10Comme tout polynôme (à coefficients réels ou complexes) admet au moins une racine complexe

(théorème fondamental de l"algèbre), on en déduit que toutematriceA?Mn(C)possède au moins une valeur propre

complexe. Ce résultat est faux pour les matrices réelles : lamatriceA=?0 1 -1 0? ?Mn(R)a pour polynôme caractéris-

tiqueχA(X)=X2+1qui n"admet aucune racine réelle. Plus généralement, une matrice de rotationRθ=?cosθ-sinθ

sinθcosθ?

a pour polynôme caractéristiquePRθ(X)=(cosθ-X)2+sin2θet lorsqueθ??πZ, la matriceRθn"admet aucune valeur

propre réelle. Remarque 3.11Les matricesAetATont même polynôme caractéristique (donc même spectre).

Remarque 3.12Si l"on connaîtn-1valeurs propres(λ1,...,λn-1)deAcomptées avec leur ordre de multiplicité,A

possèdenvaleurs propres, et la dernière valeur propre s"obtient avecλ1+···+λn-1+λn=Tr(A).

PLAN3.1 : Pour calculer les valeurs propres d"un endomorphisme

1Il suffit de calculer les racines de son polynôme caractéristiqueχu.

2S"il est scindé, on vérifie alors son calcul en utilisant que

1+···+λn=Tr(A)

1×···×λn=det(A)

où lesλisont comptées avec leur ordre de multiplicité. DÉFINITION3.6?Ordre de multiplicité d"une valeur propre

Soitλ?Kune valeur propre d"un endomorphismeu?L(E). On appelleordre de multiplicitéde la valeur propre

λ, l"ordre de multiplicité de la racineλdu polynômeχu(X)et on notemu(λ)cet entier que l"on appelle également

exposant caractéristiquedeλ.?(X-λ)mu(λ)diviseχu(X) (X-λ)mu(λ)+1ne divise pasχu(X) ?Notation 3.3Si aucune confusion n"est à craindre, on écritm(λ)plutôt quemu(λ). THÉORÈME3.13?Ordre de multiplicité et dimension des sous-espaces propres Soitu?L(E)etλ?Sp(u)une valeur propre deu. On a l"inégalité :

1?dimE(λ)?mu(λ) .

6

DémonstrationOn considère(e1,...,ep)une base deE(λ)qu"on complète en une basee=(e1,...,ep,ep+1,...,en)deE. La

matrice de udanseest de la forme?λIpB 0 C?

avecB?Mp,n-p(K),C?Mn-p(K)et son polynôme caractéristique est donc de la formeχu(X)=(λ-X)pχC(X)d"où(λ-X)p|χu

ce qui donnedimE(λ)=p?m(λ). Remarque 3.13Sirg(A)=rRemarque 3.14L"ordre de multiplicité de0peut être strictement supérieur àn-rg(A): siJ=((((((0O

1

O1 0))))))

P J(X)=Xn, l"ordre de multiplicité de0estnet pourtantrg(A)=n-1.

3.3 Diagonalisation

Tous les espaces vectoriels considérés dans ce paragraphe sont de dimension finie.

DÉFINITION3.7?Endomorphisme diagonalisable

On dit qu"un endomorphismeu?L(E)estdiagonalisablesi et seulement s"il existe une base deEdans laquelle sa

matrice est diagonale.

THÉORÈME3.14???Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si il existe une base formée de

vecteurs propres deu

Un endomorphismeu?L(E)estdiagonalisablesi et seulement si il existe une baseedeEformée de vecteurs propres.

De plus, dans cette base,

Mat e(u)=(((λ 1O

Oλn)))

oùλ1,...,λnsont les valeurs propres deu(comptées avec leur ordre de multiplicité).

DémonstrationSupposons queuest diagonalisable. Alors il existe une basee=(e1,...,en)deEdans laquelle

Mate(u)=(((λ

1O

Oλn)))

Pour pour touti??1,n?, on au(ei)=λiei. Autrement diteest une base formée de vecteurs propres deuet lesλisont les valeurs

propres associées.

La réciproque est immédiate.

DÉFINITION3.8?Matrices diagonalisables

Soit une matriceA?Mn(K). On dit quela matriceAest diagonalisablesi l"endomorphisme deKncanoniquement associé

1àAest diagonalisable.

PROPOSITION3.15???Matrices diagonalisables

Une matriceA?Mn(K)est diagonalisable si et seulement si si elle est semblable àune matrice diagonale :

?P?GLn(K):?D=(((λ 1O

Oλn)))

: A=P-1DP

DémonstrationOn noteu?L(Kn)l"endomorphisme deKnadmettantAcomme matrice dans la base canoniqueedeKn.

?On suppose queAest diagonalisable donc il existe une basee?deKndans laquelleMat?e(u)=P-1APest diagonale oùP

représente la matrice de changement de base deeàe?. DoncAest semblable à une matrice diagonale.

7

?Réciproquement, siAest semblable à une matrice diagonale, alors il existe une basee?deEdans laquelle la matrice deu

est diagonale et doncAest diagonalisable. THÉORÈME3.16???Caractérisation de la diagonalisabilité

SoitEunK-espace vectoriel de dimension finie. On considère un endomorphismeu?L(E). On a équivalence entre :

1.uest diagonalisable.

2.Eadmet une base formée de vecteurs propres.

3. E=E(λ1)?···?E(λp)où(λ1,...,λp)sont les valeurs propres deu.

4. La somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à la dimension deE:

λ?Sp(u)dimE(λ)=dimE .

Démonstration

1?2Voir théorème 3.14.

2?3On sait déjà que la somme des sous-espaces propres est directe. Il faut montrer qu"elle est égale àE. On note

e=(e1,...,en)une base de vecteurs propres deE. Pour touti??1,n?, il existej??1,n?tel queei?E(λj)doncE=

Vect(e)??p

k=1E(λi) . Comme par ailleurs, on a?p k=1E(λi)?E, il s"ensuit queE=?p k=1E(λi).

3?2Réciproquement, on suppose queE=?p

k=1E(λi). Si pour touti??1,p?, on noteeiune base deE(λi)alors cesp

bases sont évidemment constituées de vecteurs propres deu. On noteela réunion de ces bases. On sait alors, d"après le

théorème ??page??, que commeE=E(λ1)?···?E(λp)alorseest une base deE.

3?4Cette équivalence est une conséquence directe du théorème??page??.

Remarque 3.15

1. SiA=Mate(u), la matriceAest diagonalisable si et seulement si l"endomorphismeuest diagonalisable.

2. Sifest une base de vecteurs propres de l"endomorphismeuetP=Pe?→fest la matrice des vecteurs propres deu

dans la basee, alorsA=P-1DPoùDest la matrice diagonale formée des valeurs propres deu.

3.diagonaliserune matriceAconsiste à calculer explicitement la matrice diagonaleDla matrice inversiblePtelles

queA=P-1DPet éventuellement à calculer explicitementP-1. THÉORÈME3.17?Caractérisation par les exposants caractéristiques

SoitEunK-espace vectoriel de dimension finie. Un endomorphismeu?L(E)est diagonalisable si et seulement si :

1. Le polynôme caractéristiqueχuest scindé dansK[X].

2. Pour toute valeur propreλideu,

dimE(λi)=mu(λi).

Démonstration

(i)=?(ii)En notantλ1,...,λnles valeurs propres deucomptées avec leur ordre de multiplicité, puisqueuest diagonalisable, il existe

une base ede vecteurs propres deu. Dans cette base,Mate(u)=(((λ 1O Oλn))). Le polynôme caractéristique deuest donc

χu(X)=(X-λ1)...(X-λn)qui est scindé. De plus, s"il existek??1,n?tel quedimE(λk)

λ?Sp(u)dimE(λ)

λ?Sp(u)m(λ)=n=dimE

ce qui vient contredire queE=? λ?Sp(u)E(λ). Donc pour toutλ?Sp(u),dimE(λ)=m(λ). (ii)=?(i)Puisqueχu(X)=(X-λ1)m(λ1)...(X-λp)m(λp)et quedegχu=n, il vient que n=m(λ1)+···+m(λp)

Par conséquent,

Comme on sait que la somme des sous-espaces propres est directe, on en déduit, d"après la proposition précédente, que

E(λ1)?···?E(λp)=Eet donc queuest diagonalisable. 8

Remarque 3.16Avec la formule du rang,dimE(λ)=n-rg(u-λIn). Il n"est pas nécessaire de calculer explicitement

E(λ), il suffit de calculer le rang de la matrice(A-λI)pour vérifier la CNS de diagonalisabilité.

COROLLAIRE3.18?Une condition suffisante de diagonalisabilité

Soitu?L(E)oùEest de dimensionn. Si l"endomorphismeupossèdenvaleurs propresdistinctes, alors il est diagona-

lisable.

DémonstrationLe polynôme caractéristique estχu(X)=(λ1-X)...(λn-X)et pour toute valeur propreλi,

1?dimE(λi)?m(λi)=1

Le polynôme caractéristique est scindé surKetdimE(λi)=m(λi)=1. D"après le théorème précédent,uest diagonalisable.

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