Réductions des endomorphismes: applications
Réductions des endomorphismes: applications déduisez en la réduction des orthogonales `a partir de celle des matrices unitaires;.
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Montrer que A est diagonalisable si et seulement si P a dans K deux racines distinctes ? et ?. Donner dans ce cas une base C de K2 formée de vecteurs
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Chaque vecteur propre est associé à une unique valeur propre. Exemple : soit B=(e1 ;e2) une base de E et f l'application linéaire définie par f (e1 )=e1
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Il faut avoir bien compris les applications de la réduction à la résolution d'une récurrence linéaire d'un système différentiel et au calcul des puissances d'
1= (1;0;0;0); e2= (0;1;0;0); e3= (0;0;1;0); e4= (0;0;0;1)
?? ? ????u= (2;4;7;3) = 2(1;0;0;0)+4(0;1;0;0)7(0;0;1;0)+3(0;0;0;1) = 2e1+4e27e3+3e4? 2 4 7 3? P(X) = (X+1)(X23X+4)+(X+2)2=X32X2+X+4+X2+4X+4 =X3X2+5X+8 ??R3[X]??? ???? X=? 8 5 1 1? x1??? x n? k=0a a0??? a n? ????BF?A=matBE;BF(f) =?
f(1;0;0) = (1;2;1;0)? ????A=? 1 2 1 0 ? 1 1 211 0 0 1? 1 1 4 21 0
1 0 3 0 11? A=? 1 1 4 21 0
1 0 3 0 11? ????x2E?? ????X?? ??????? ??????? ??????? ?x???? ?? ????BE? ????y2F?? ????Y?? ??????? ??????? ??????? ?y???? ?? ????BF? A=? 3 1 0 3 0 1
1 0 0?
1 2 3? ?? ?A? 1 2 3? 1 0 1? 1 0 1? ??????E;F;G?????K???? ?? f2 L(E;F)??g2 L(E;F)? ????? matBE;BF(f+g) =matBE;BF(f) +matBE;BF(g)
?? f2 L(E;F)??2K? ????? matBE;BF(f) =matBE;BF(f)
?? f2 L(E;F)??g2 L(F;G)? ????? mat ??????B= (e1;:::;en)??B0= (u1;:::;un)???? ????? ??E? PB;B0=?
????B2= (1;X1;(X1)2)??? ????? ???? ??R2[X]? ?????? ??? ?? ??????? ?? ???????P??B1?B2? ?????? ??? ?? ??????? ?? ???????Q??B2?B1? B2???? ?? ????B1?
?? ?1 = 1 + 0:X+ 0:X2? ????P=? 1 0 0 ? 11 0 1 0 0? 11 1 0 120 0 1?
?????? ?? ??????? ?? ??????? ??B1?B2??? P=? 11 1 0 120 0 1?
B1???? ?? ????B2?
?? ?1 = 1 + 0:(X1) + 0:(X1)2? ????Q=? 1 0 0 ? ?? ???????a;b;c???? ???X=a+b(X1) +c(X1)2? ???? ?? ????X= (ab+c) + (b2c)X+cX2()?
?c= 0 b2c= 1 ab+c= 0()? ?c= 0 b= 1 a= 1 1 1 0 1 0 0? ?? ???????a;b;c???? ???X2=a+b(X1) +c(X1)2? ???? ?? ???? X2= (ab+c) + (b2c)X+cX2()?
?c= 1 b2c= 0 ab+c= 0()? ?c= 1 b= 2 a= 1 1 1 1 0 1 20 0 1?
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B BB 0B0 7 3 4? P B2B1? 7 3 4? =P1?7 3 4? 8 5 4? ??????B??B0???? ????? ??E? ??????C??C0???? ????? ??F? A A0=P A P
C0B0C0C CB BB0
?? ????M?? ??????? ??f???? ?? ????B??M0?? ??????? ??f???? ?? ????B0? ?? ????P=PB;B0?? ??????? ?? ??????? ?? ?? ????B? ?? ????B0? f(aX2+bX+c) =aX2(b+ 4a)X+ (6a+ 4b+ 3c) ?B2??????? ?? ????(1;X1;(X1)2) f(1) = 3; f(X) =X+ 4; f(X2) =X24X+ 6 M=? 3 4 6 0140 0 1?
?? ? ???????P?? ??????? ?? ??????? ??B1?B2? P=? 11 1 0 120 0 1?
; P 1=? 1 1 1 0 1 20 0 1?
M0=P1MP=?
3 0 0 01 00 0 1?
9P2GLn(K)= A=PBP1
PM0P1? ?????
k= 0??? ?M0=I??P(M0)0P1=PP1=I? ????P(0)??? ???? ?????? M k+1=MkM=P(M0)kP1PM0P1=P(M0)k+1P1 d1(0) d 2??? (0)dn? ?????? ???? ????k2N?Dk=? dk1(0) d k2??? (0)dkn? 3 0 0 01 00 0 1?
3k0 00 (1)k0
0 0 1?
8k2N; Mk=?
3k3k+ (1)k+13k+ 2(1)k+1+ 1
0 (1)k2(1)k2
0 0 1?
mat (e1;e2;:::;en)(f) =? 1(0) 2??? (0)n? f(e1) =1e1; f(e2) =2e2;; f(en) =nen ????f2 L(E)? u2E??? ?????? ??? f(u) =u ????A2 Mn(R)??? ??????? ??????? AX=X8P2R2[X]; f(P) = (X1)P0+P
f((X1)2) = 2(X1)2+ (X1)2= 3(X1)2 ??????3? 7 39 21 2224?
??X=? 3 1 1? AX=? 7 39 21 2
224??
3 1 1? 9 3 3? = 3X ??????3??? ??? ?????? ?????? ?? ?? ???????A??X??? ?? ??????? ?????? ??????? ? ?? ?????? ?????? ????f2 L(E)?? ??????? ?????? ?????? ??f? ?? ???? E (f) =fu2E = f(u) =ug ????A2 Mn(K)?? ??????? ?????? ?????? ??A? ?? ???? E (A) =fX2 Mn;1(K)= AX=Xg ?02E(f)???????f(0) =:0 = 0? ????E(f)6=;? ????? ?u;v2E(f)? ?? ?f(u) =u??f(v) =v? f(u+v) =f(u) +f(v) =(u) + (v) =(u+v) E (f) =fu2E = f(u) =ug=???(fIdE) E (A) =fX2 Mn;1(K)= AX=Xg=???(AIn) ??? ??? ?????? ?????? ??f()??? ??? ?????? ?????? ??A ???? f2 L(E)? ????? ???? A2 Mn(R)? ????? AIn ????f2 L(E)? ??????a1;:::;ap+12K???? ??? a
1u1+a2u2++ap+1up+1= 0 (1)
a1f(u1) +a2f(u2) ++ap+1f(up+1) = 0
a11u1+a22u2++ap+1p+1up+1= 0 (2)
??????p+1(1)(2)????? ? p? k=1(p+1k)akuk= 0 ????? ?? ???????(u1;:::;up)??? ?????? ?? ? ???? ?8k2J1;pK; ak(p+1k) = 0
??? ?? ???? ???k6=p+1? ???? ?? ? ????ak= 0? ????P2K[X]? ?? ?P(X) =p? k=0akXk=a0+a1X++apXp?P(f) =p?
k=0a kfk=a0IdE+a1f++apfp ??A2 Mn(K)? ?? ????P(A)?? ??????? ?????? ???P(A) =p?
k=0a kAk=a0In+a1A++apAp ???? f2 L(E)?? ????P2K[X]? ???? A2 Mn(K)?? ????P2K[X]? ????A=? 1 0 1 0 120 0 2?
?? ?A2=? 1 0 3 0 160 0 4?
??A3=? 1 0 7 0 1140 0 8?
P(A) =A33A2+ 2A=?
1 0 7 0 1140 0 8?
3 0 9 0 3180 0 12?
2 0 2 0 240 0 4?
= 0 f(u) =u f2(u) =f(u) =f(u) =2u
f k(u) =kf(u) ?????? ??P=p?P(f)(u) =p?
k=0a kfk(u) =p? k=0a kku=? p? k=0a kk? u= (P())u ???P(f)(u) = 0???????P(f) = 0? ??????(P())u= 0?? ????P() = 0???????u6= 0? ?? ? ???? ???? ?????? 1 0 1 0 120 0 2?
P(X) =X33X2+ 2X=X?X23X+ 2?=X(X1)(X2) = 0
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