[PDF] Réduction des Endomorphismes Réduction des Endomorphismes 1)

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PC* 2021-2022Réduction des Endomorphismes

A PREPARER pour mardi : tous = 2a) puisα= 2b2) , β= 1a)b) version A , γ=2b1) tous = 1a)b) version B

1) Justifier rapidement que les applications du a) réalisent des endomorphismes de

ℝ[X] aA) f(P)=P(-1)X+P(1)aB) f(P)=P''aC)

f(P)=P(-1)X2+P(0)X+P(1) b) Pour l'application du a) que vous avez étudiée, déterminer les espaces propres et les valeurs

propres. Vous pourrez noter D⋅ℝ[X]l'ensemble des multiples d'un polynôme D .

Indication : avant de vous précipiter sur les coefficients de P , un candidat à être un vecteur

propre, commencez par vous intéresser aux degrés de P etf(P) (cela diminue fortement le

nombre de coefficients à chercher). N'oubliez pas que le coefficient dominant doit être non nul.

Pour la fonction du aC , seuls les polynômes P de degré 2 posent une difficulté. Vous

justifierez d'abord qu'on peut se restreindre à ceux de la forme

X(X+1)+a(X+1)+b, prédisez

la valeur propre potentielle associée à un tel polynôme et évaluez ce qui se passe lorsqu'on évalue

en X=-1 puis X=0.Ce sont ces deux valeurs qui justifient le choix naturel de la décomposition ci-dessus. c) ℝ[X]est-il somme de ses sous-espaces propres ? dA) Montrer que ℝ1[X]=Vect(1,X)est stable par f (du aA ) et déterminer la matrice de

l'endomorphisme g ainsi induit dans la base canonique. Donner le polynôme caractéristique de g

et en préciser les racines. Que confirme-t-on ? dC) Montrer queℝ2[X]=Vect(1,X,X2)est stable par f (du aC ) et déterminer la matrice de l'endomorphisme g ainsi induit dans la base canonique. Donner le polynôme caractéristique de g et en préciser les racines. Que confirme-t-on ?

2) a) Montrer que les sous-espaces propres de

f∈L(E)associés à une valeur propre non nulle

sont dans l'image de f .Bloquer à cette question, ce qui est déjà bien dommage, ne peut pas

excuser d'ignorer le b) . Au fait : avez-vous pensé qu'on peut diviser par un nombre non nul ? A1= ( 1 1-1-1 -1-1 1 1

1 1-1-1

-1-1 1 1) , A2=(1111 2222
3333

4444) , A3=(01121

10201
00000 00000

00000) , A4=(111111

100001

100001

100001

100001

111111)

b1) En déduire les sous-espaces propres et leur dimension pour la matrice A1 b2) En déduire les sous-espaces propres et leur dimension pour la matriceA2 b3) Identifier un sous-espace stable évident pour

A3et reconnaître l'endomorphisme induit. En

déduire les sous-espaces propres et leur dimension pour la matrice

A3 c1)

M4,1(ℝ)est-il somme des sous-espaces propres deA1? c2) M4,1(ℝ)est-il somme des sous-espaces propres deA2? c3) M5,1(ℝ)est-il somme des sous-espaces propres de A3? d) Donner plus généralement le nombre de valeurs propres potentielles d'un endomorphisme de rang 1, et montrer plus précisément, que 0 est la seule valeur propre de f ssi f∘f=0L(E).

Pour cette question, il n'est pas nécessaire de passer à l'interprétation matricielle, sauf si vous

voulez préciser quelle est la valeur propre non nulle. e) En notant Bc=( ei , 1⩽i⩽6 )la base canonique deM6,1(ℝ),A4=MatBc(f)et les vecteurs colonne U=e1+e6 , V=e2+e3+e4+e5(base la plus naturelle deIm A3), donner la matrice de l'endomorphisme g induit par f à

Im fdans la base(U,V).

Calculer son polynôme caractéristiqueχg: le factoriser. Chercher une base du noyau deh=g+2⋅idIm fainsi que de son image. Que dire du rang de h ? des ses valeurs propres ?

Compléter alors la détermination des sous-espaces propres de g sans calcul supplémentaire.

3) On note A1=(100

000

000),A2=(010

000

000),A3=(001

000

000), ainsi que

A4= (011 000

000),A5=(010

001

000),A6=(110

000

000),A7=(001

001

000),A8=(100

001

000)A9=(011

001

000),A10=(101

001

000),A11=(111

001

001),A12=(101

011

000) et enfin

A13= (0100 0000 0001

0000),A14=(0100

0010 0000

0000) et A15=(0010

0001 0000

0000) a) Montrer que si deux matrices sont semblables, alors elles ont le même rang, le même

déterminant, la même trace, le même polynôme caractéristique, les mêmes valeurs propres, avec la

même multiplicité et les sous-espaces propres associés à une valeur propre commune ont la même

dimension. Que dire de leur carré ?Quand on pose une telle question de cours, il ne s'agit

pas de traîner, c'est plus pour attirer l'attention pour les questions suivantes. Ne détaillez que les

résultats qui n'ont pas été vus dans le cours. b) On s'intéresse à un ensemble d'indices

IkavecI1={1,2,3} , I2={4,5,6,7,8},

I3={9,10,11,12} , I4={13,14,15}et on poseJk={Ai , i∈Ik}.

Dire quels couples de matrices de

Jksont à coup sûr non semblables. Celles pour lesquelles les critères élémentaires ne permettent pas de décider le sont-elles ?

Conseil : regardez comment les vecteurs de la base s'envoient par l'application, c'est souvent bien plus

instructif que des calculs à l'aveugle. Pour l'écrasante majorité de ces matrices, vous devriez ne pas avoir à

calculer de polynôme caractéristique si le cours sur la trigonalisation a été fait. c) Montrer que la matrice

Aiest semblable à sa transposée :

cas basiques pour i = 6 , 12

cas faciles (la même idée pour tous = regarder les images de la base) : i = 2 , 3 , 5 , 8 , 9 , 11 , 13 , 14 , 15

cas demandant une étude spécifique (un peu d'astuce peut aider) : i = 4 , 7 , 10

Indication : montrer queA10est semblable à

A8tandis queA4 et A7le sont àA2.

4) Montrer que siAest une matrice diagonalisable deMnℝ, alors toute matrice

B∈Mnℝest semblable àAsi et seulement si elle est diagonalisable et possède les mêmes

valeurs propres queAmultiplicité incluse.

5) de base (*) Soit A une matrice diagonalisable dont les valeurs propres distinctes sont

λ1,...,λpavec pour multiplicité respectivem1,...,mp. On noten=m1+...+mpet le commutant de A : l'ensemble

C(A)={M∈Mn(K) , AM=MA }. Déterminer sa

dimension.

Indication : commencer par le cas où A est diagonale (regrouper par blocs!). Vous économiserez

des calculs si vous exploitez le maximum de stabilités. Il reste juste à exprimer le lien entre

C(A)et

C(P-1AP) : un isomorphisme qui permet de simplifier le calcul de dimension.

6) SoitA=

(322 -8-7-8

445): est-elle diagonalisable ? Si oui proposer une matrice de passage P

qui diagonalise cette matrice. Que dire de la nature de l'endomorphisme représenté par A ? Comment pourrait-on le retrouver (= prédire un résultat de calcul, sans l'effectuer) ? PC* 2021-2022Réduction des Endomorphismes (suite)

7)On s'intéresse à deux endomorphismes deE=M3,1(ℂ) : f et g dont la matrice dans la base

canonique, notée (e1 , e2 , e3), est respectivementJ=(010 101

000) et K=(001

000 110).
On confondra souvent l'endomorphisme et sa matrice, mais certaines questions, par exemple celles où on étudiera des endomorphismes induits, requerront de les distinguer. Leur étude permet de comprendre comment gérer la discussion de la réduction de la matrice : M(a,b,c)=a⋅I3+b⋅J+c⋅K(la visualiser), et donc la dimension de son commutant

(l'ensemble des matrices qui commutent avec elle), les valeurs particulières à isoler étant difficiles à

faire apparaître avec un calculateur formel : les ordinateurs ne peuvent pas tout faire ... Dès lors où les deux premières matrices véhiculent, par leurs nombreux zéros, des

informations mathématiques, un interrogateur attend d'un candidat à un oral qu'il les visualise, les

exploite et non pas qu'il traite ces questions par le seul calcul. Il est évident que la simplicité des

calculs à engager permettrait de donner pas mal de réponses sans voir ce qui se passe. Cela

détournerait l'objectif d'illustrer le cours et donc de vous faire progresser en vision. Vous pouvez

éventuellement ''tricher'' pour deviner la solution mais ça n'a d'intérêt que si vous cherchez ensuite

comment la retrouver tel que c'est suggéré, sachant que c'est plus facile quand on a une idée de la

réponse.

aA) Préciser le rang de J et en déduire sans calcul une de ses valeurs propres ainsi que la

dimension du sous-espace propre associé. aB) Faire de même pour la matrice K . bA) Déduire d'une relation remarquable entre les colonnes de J un vecteur non nul de son noyau, sans passer par la résolution d'un système linéaire. bB) Faire de même pour la matrice K . cA) Proposer un sous-espace strict de E stable par f et reconnaître l'endomorphisme

induit. En déduire deux autres valeurs propres de J . Donner alors le polynôme caractéristique de

J sans aucun calcul de déterminant.

cB) Au aB), vous avez décelé une valeur propre de g et comme le degré de son polynôme

caractéristique est 3 , on s'attend à en trouver a priori deux autres quitte à accepter des répétitions.

Quelle information peut-on tirer du calcul de la trace de K ?

dA) Calculer le polynôme caractéristique de J et retrouver ainsi les résultats précédents.

dB) Faire de même pour la matrice K . eA) Donner explicitement une matrice de passage qui diagonalise J . eB) Faire de même pour la matrice K . fA) Expliquer pourquoi votre matrice de passage qui diagonalise J ne diagonalise pas K à l'aide d'un simple calcul matriciel qui ne passe pas par l'inversion d'une matrice. Indication : que dire des colonnes de votre matrice de passage ? fB) Faire de même en échangeant les rôles de K et J . g) Calculer le plus simplement possible J K et K J .

h) En déduire que J et K ne sont pas codiagonalisables, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de

matrice de passage qui diagonalise à la fois J et K . ( cela confirme le f ) ) iA) Au vu du g), il apparaît que

Ker(JK)=Ker(KJ)=KerL où L=(111).

Montrer, par le calcul de L J que ce plan est stable par f iB) Faire de même pour la stabilité par g à l'aide du calcul de L K jA) On note désormais H=KerL, v l'endomorphisme de H induit par f et w

celui qui est induit par g . Déterminer la base de H obtenue en résolvant le système

correspondant à son équation lorsqu'on choisit pour inconnues secondaires les deux dernières

coordonnées. Calculer alors l'image de cette base par f . Qu'en déduisez-vous sur v ?

jB) Faire de même en remplaçant(f,v)par(g,w).

T.S.V.P.

k) Construire ensuite une matrice de passage P avec les instructions suivantes : elle doit

être triangulaire et n'avoir qu'une seule valeur propre. Deux de ses colonnes doivent correspondre à

la base déterminée au j) .

Vous pouvez constater qu'une telle matrice s'inverse en très peu d'opérations élémentaires, mais ce

n'est pas le propos de cet exercice. lA) Justifier alors, sans aucun calcul supplémentaire, que P cotrigonalise J et K .

Préciser quels sont les seuls coefficients qu'il resterait à déterminer pour achever le calcul deP-1JP et P-1KPpuis le faire pour J en évitant de devoir effectuer ces produits

matriciels. Vous devez donc exprimer le fait que vous avec déterminé la matrice de f dans une

autre base que la base canonique et ce que ça signifie par définition. lB) même question en remplaçant(J,f)par(K,g) m) Expliquer pourquoi il est équivalent de diagonaliser (ou trigonaliser)

M(a,b,c)à le

faire pourM(0,b,c). Montrer de plus que ces deux matrices commutent avec les mêmes matrices. n) Justifier de deux manières différentes que si les scalaires

λksont distincts, alors les

matrices qui commutent avecDiag(λ1 , λ2 , ... , λn)sont les matrices diagonales. Quelle est la

dimension de l'espace (qui est bien vectoriel!) de toutes ses matrices ? o) Déterminer alors si M(a,b,c)est diagonalisable, sachant que les questions antérieures ont permis de trouver queP-1M(0,b,c)P= (b+c00 b-b0 c0-c). p) Avec un calculateur formel, on trouve que l'espace des matrices qui commutent avec M(a,b,c)est de dimension trois , alors que le cas particulier de la matrice nulle montre

immédiatement que ce n'est pas toujours vrai. Quelles sont les conditions que doivent vérifier a , b

et c pour que ce qui précède garantisse que c'est le cas ?

Il reste donc à traiter quelques cas particuliers. J'en dénombre quatre dont deux où la matrice

n'est pas diagonalisable. Je trouve alors que les dimensions peuvent être 3, 5 ou 9. Les deux dernières valeurs sont des cas particuliers de l'exercice qui suit.

8) Reconsidérer la matrice K du 7) et l'endomorphisme g associé.

A nouveau, je vous demande de jouer le jeu : essayer de trouver le maximum de réponses avec le minimum de calculs, mais avec un maximum d'interprétation ( par lecture de matrices ). a) Montrer sans aucun calcul matriciel queF=Ker (g2-idE)est stable par g et en somme directe avec Kerg. On note h l'endomorphisme induit par g à F . Donner, sans

calcul matriciel ( on ne connaît pas encore la dimension de F !), la nature de h . En déduire que

h est diagonalisable. h) Calculer le plus simplement possible K2(par images composées). Reconnaître alors F sans autre calcul qu'un compte de dimension et une lecture des colonnes de K puis justifier,

pour les mêmes raisons, que g est diagonalisable (commencer par h et ne pas oublier le rang ).

Pour l'instant on ne demande pas encore le signe des valeurs propres, ni une base diagonalisant. i) Calculer la trace de g et en déduire ses valeurs propres

j) A l'aide de la base canonique de F , vous pouvez en déduire la nature géométrique de h

puis deux vecteurs propres simples. Compléter avec le noyau (voir 6 bB) ).

9) a)Montrer que si un endomorphisme u d'un

ℂ-espace vectorielvérifieu2=μ⋅idEavec

μ≠0, alors il est diagonalisable.

Indication : on peut diviser par les nombres non nuls et ces nombres sont des carrés dansℂ. b) basique : Montrer que siA∈Mnℂest diagonalisable et inversible, alors

A 2aussi.

c) Réciproque ?

Indication : c'est bien évidemment ici que le a) sert. Il faut diagonaliser par blocs regroupant les

valeurs propres identiques. PC* 2021-2022Réduction des Endomorphismes (suite bis)

10) a) Montrer queA=1-4-2

-253

4-12-7est une matrice trigonalisable non diagonalisable puis

trigonaliserAen prenant comme premier vecteur de la matrice de passage un vecteur propre associé à la valeur propre positive. ( lire la suite pour deviner le deuxième vecteur ) Vous remarquerez qu'il n'est pas nécessaire de calculer l'inverse de la matrice de passage, pour déterminer les quelques coefficients manquant. Indication : ce qui suit vous donne une idée du résultat attendu. Première application (un premier oral classique) b) On souhaite calculer la puissance nèmedeT=10a 0-1b

00-1.

Calculer

10

0-1net

-1b

0-1net en déduire

8des9coefficients deT n. On note

anle9èmecoefficient. Que valenta0eta1? Déterminer une relation exprimantan1en fonction dean. Et vérifier pourn=0! Déterminer une deuxième relation en remarquant que n1=1n. Donner ainsi de deux manières une formule exprimantanen fonction den. c) Déduire du a) et du b) le calcul de

A n. Et vérifier pourn=0etn=1!

Deuxième application (un deuxième oral classique)

On appelle commutant d'une matrice

Ml'ensembleCM={N, M×N=N×M }. On remarquera pour simplifier les calculs que les sous-espaces propres de

Msont stables parN.

d) Déterminer le commutant deTdans le cas où b≠0. On pourra commencer par préciser une base deKerTI3. C'est là queb≠0intervient !

Seule la valeur de

a,bqui correspond à votre trigonalisation deAimporte, vous pouvez restreindre les calculs à ce cas particulier. e) Déterminer alorsCAà l'aide d'un changement de base et justifier que dimCA=3.

Indication : relierCAà

CTpour une valeur appropriée dea,b. Justifier en peu de calculs (si possible aucun!) que I3,A,A 2est une base deCA. Indication : sinon,A 2∈Vect(I3,A)donne une relation que vous appliquez la sommeC1+C3 des colonnes de la matrice P qui trigonalise pour trouver une égalité non réalisée.

11) Soit

Sl'ensemble des matricesP=pi,jdeMnℝtelles que∀i,j pi,j≥0et (*)∀i ∑j=1n pi,j=1. De telles matrices ou leur transposée interviennent souvent en probabilités. Donner quelques exemples simples d'éléments de S de rang1.

Indication : les lignes devant être proportionnelles, qu'en est-il du facteur de proportionnalité ?

a) Exprimer lesnéquations (*) d'un élémentPdeSsous la forme d'un produitPC= ? où Cest un vecteur colonne. Remarque : vous avez donc trouvé un vecteur propre deP b) En déduire queSest stable par produit. c) On munitMn,1ℂde la norme sup des coefficients : ∥ ∥∞. Établir l'inégalité : seulement si

X∈VectC.

Indication : on rappelle que le cas d'égalité de l'inégalité triangulaire associé à une norme

euclidienne est que les vecteurs soient positivement colinéaires. On rappelle aussi que la fonction

module correspond à une norme euclidienne dansℝ 2.T.S.V.P. d) En déduire que siest une valeur propre éventuellement complexe deP∈Set que ≠1, alors∣∣1. Montrer aussi quedimKerP-In=1. e)* (Rab pour les 5/2) Rappeler pourquoi le produit matriciel est continu et en déduire que si un

élément

PdeSest diagonalisable (surℝou bien surℂ), alors la suitePkk∈ℕconverge

vers la matrice d'un projecteur de rang1appartenant à S. Indication : justifier d'abord queSest (séquentiellement) fermé.

On démontre, moins facilement, que ce résultat reste valable même siPn'est pas diagonalisable.

Vérifier ce résultat en explicitant la valeur de

Pkdans le cas oùP=1

321

12=1

3I2M.

Indication : l'énoncé suggère Newton plutôt que de diagonaliser (calculer d'abordMk! ).

12) SoientA=

-1 2 3 2 3 2-1

2etB=0-1

1-1d) faisable par les 5/2

a) Justifier que AetBsont diagonalisables surℂmais pas surℝ b) Diagonaliser AetBen précisant pour chacune une matrice diagonalisant :PetQ. Vous choisirez comme première valeur propre celle dont la partie imaginaire est positive. c) Montrer que Aest semblable àBet proposer une matrice de passageRexprimée en fonction dePetQqui permette de passer de

AversB.

Selon les choix que vous faites surPetQ, vous pouvez trouver une matriceRréelle mais ça ne tiendra qu'au hasard de vos choix. Il n'y a pas de solution unique.

d) On souhaite retrouver ce résultat directement à l'aide du cours sur les rotations(et d'un dessin) :

proposer une matrice de passage réelleS, ne dépendant pas dePetQ, qui réalise le même objectif que le c) avec une matrice triangulaire supérieure dont la première colonne est 1

0.

Indication : on suppose queB=Mati,jf. Trouver des relations reliant

f,ietj.

13) Soit

M=(AB

0q,pC)avecA∈Mp(ℝ) et C∈Mq(ℝ)sont des matrices de polynôme

caractéristique respectif (X-λ)p et (X-μ)q. a) M est-elle trigonalisable ? b) On suppose ici que λ=μ. M est-elle diagonalisable ? Discuter selon les valeurs des matrices A , B et C . c) On suppose ici queλ≠μ. Reconsidérer la question du b) par des comptes de dimension. Indication : préciser d'abord le rang deA-μ⋅Ip. e) Soit f une projection d'un espace vectoriel réel de dimension finie, dont le noyau est de

dimension d . Donner la forme des matrices de f dans les bases adaptées à ce noyau (donc pas

nécessairement adaptées à son image !) f) On propose de retrouver le e) sans le cours sur la réduction, par une utilisation astucieuse de la transposée : on suppose que la matriceP= (0p0p,q

ED)∈Mp+q(ℝ)soit la matrice d'une

projection de rang q . On note (e1,...ep+q)la base canonique deMp+q,1(ℝ): montrer que

F=Vect

(ep+1,...,ep+q)F est stable par cette projection et queIm P⊂F. En déduire

l'égalité et conclure la valeur de D en considérant l'endomorphisme induit à F par la projection.

Appliquer ce résultat à la démonstration du e) . PC* 2021-2022Réduction des Endomorphismes (suite et fin)

14) a) Monter que, quelle que soit la valeur du réelt,A=100

12-1 t10est trigonalisable sur ℝ. On ne demande pas de trigonaliser, mais de prédire la forme de la matrice triangulaire. b) En déduire qu'il en est est de même pour

N=A-I3et, en considérant les images

successives d'une trigonalisée de

N, queN 3=03.

Nota : à un oral, toute réponse qui renoncerait à déduire le b) du a) et recommencerait à calculer

un polynôme caractéristique serait considérée comme mauvaise, idem pour le calcul de N 3.

C'est typiquement le genre d'oral où il ne suffit pas de trouver tous les résultats : transformer un tel

oral sur la réduction en une planche de calcul matriciel vaut une note médiocre, même à un

candidat qui calcule vite, et les témoignages d'anciens élèves me le confirment. Première application (un premier oral classique) c) Donner alors une formule exprimant

Anen fonction den.

Deuxième application : réduction de Jordan de A. d) Donner, selon la valeur de t, une base deIm N. e) En déduire en un minimum de calculs que sit=1alorsN 2=03 f) Montrer réciproquement que siN 2=03, alorsIm N⊂KerNet en déduire que t=1Indication : utiliser le théorème du rang.

On suppose désormais que

t≠1 g) Déduire de ce qui précède l'existence deC∈M3,1ℝtel queN 2C≠03,1et vérifier cette

affirmation en proposant une valeur explicite de C. h) Montrer que pour un vecteurCtel que N 2C≠03,1, non obligatoirement celui que vousquotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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