[PDF] Fermats großer Satz 24.07.2020 So geht

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Fermats groer Satz

Bachelorarbeit (korrigierte Fassung) von

Daniel Zachow

Betreuerin: Prof. Dr. Annette Huber-Klawitter24. Juli 2020

Albert-Ludwigs-Universit

at Freiburg

Fakult

at fur Mathematik und Physik

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

1

2. Zur Beweisgeschichte des Satzes

3

3. Der RingZ[p]7

3.1. Zahlk

orper und ihre Ganzheitsringe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2. Der RingZ[3]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.3. Der RingZ[p] fur eine ungerade Primzahlp. . . . . . . . . . . . . . . .10

4. Die Gleichungxn+yn=zn13

4.1. Der Falln= 2 arithmetisch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.2. Der Falln= 2 geometrisch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.3. Der Falln= 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.4. Zwischenspiel: Fermats groer Satz f

ur Polynome. . . . . . . . . . . . . 21

4.5. Der Falln= 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.6. Der Fallngleich regulare Primzahl. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Anhang38

A. Idealarithmetik in Integrit

atsringen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

B. Eindeutigkeit der Primzerlegung

40

Literaturverzeichnis

44
Die folgenden Notationen werden in der Arbeit verwendet:

Notation Erkl

arungnpositive ganze Zahl; Exponent der Fermat-Gleichungt N

0naturliche Zahlen einschlielich 0

Nnaturliche Zahlen beginnend ab 1

ZRing der ganzen Zahlen

QKorper der rationalen Zahlen

CKorper der komplexen Zahlen

i imagin are Einheit i =p1 ajb ateiltb a-b ateiltbnicht ggT(a;b) groter gemeinsamer Teiler vonaundb ab aundbsind assoziiert O

LRing der ganzen Zahlen eines ZahlkorpersL

Oein Dedekind-Ring

Cl

Ldie Idealklassengruppe eines QuotientenkorpersL

h Ldie Ordnung der IdealklassengruppeClL(Klassenzahl) a;b;cIdeale haivonaerzeugtes Hauptideal ab(modm)akongruentbmodulom ab(moda) Kongruenzrelation modulo ein Ideal ;;:::griech. Buchstaben stehen fur (ganz-)algebraische Zahlen !eine primitive dritte Einheitswurzel inC neine primitiven-te Einheitswurzel inC

1. Einleitung

Mit Fermats groem Satz hat die Mathematik eine Aussage, die in mindestens drei diametral verschiedenen Aspekten bemerkenswert ist (dazu z ahlt nicht, dass es fur das

Theorem im Deutschen gleich mehrere, wenn auch

ahnliche, Bezeichnungen gibt: Mehr oder minder gebr auchlich sind \groer Satz von Fermat", \groer fermat'scher Satz", \fermats letzter Satz" und der Titel der Arbeit mit und ohne Apostroph sowie Schreib- weisen, in denen die Adjektive \gro" und \fermat'sch" grogeschrieben werden). Und zwar ist es f ur ein bedeutendes mathematisches Problem selten, dass es gemeinhin verst andlich ist (1). Dennoch dauerte es mehr als 350 Jahre bis 1994, ehe ein Beweis gefunden wurde, obwohl sich viele Mathematiker und Laien daran versuchten (2), und das obwohl nach [ Roq98 ], S.17, keine direkte Anwendung innerhalb oder auerhalb der Mathematik bekannt ist (3). Letztlich ist Fermats groer Satz auch aus dem Grund bedeutsam, weil mit seiner Besch aftigung bedeutende Entwicklungen in der Algebra und Zahlentheorie einhergingen, etwa der Begri desIdeals. Fermats groer Satz besagt, dass es keine ganzen Zahlenx;y;zungleich Null und keine nat urliche Zahln >2 gibt mitxn+yn=zn. Furn= 2 ist die Gleichung bekanntermaen ein Sonderfall des Satzes von Pythagoras, deren positive ganzzahlige L osungenpythagoraische Tripelheien. Ein Ziel der Arbeit ist es, die allgemeinste

Form pythagor

aischer Tripel zu bestimmen. Demubergeordnet sollen Beweise von

Fermats groem Satz f

ur ausgewahlte Exponenten nachvollzogen und ausgearbeitet werden, und zwar f urn= 3,n= 4 sowie wennneine sogenannteregularePrimzahl ist.

Methodik

Die Arbeit ist (mit Einleitung) in vier Kapitel mit Anhang gegliedert. Im zweiten Kapitel erfolgt ein kurzer Abriss der Beweisgeschichte. Ein klassischer Ansatz ist es, f ur eine Primzahlp >2 die linke Seitexp+ypals (x+y)(x+py):::(x+p1py) zu faktorisieren, was zum ErweiterungsringZ[p] der ganzen Zahlen fuhrt. Dabei istpeine primitivep-te Einheitswurzel in den komplexen Zahlen. In dem Zusammenhang gehen wir insbesondere auf das damit verkn upfte Problem ein, dassZ[p] im Allgemeinen kein ZPE-Ring ist.

Kapitel 3 ist als Vorarbeit f

ur das anschlieende Hauptkapitel konzipiert. Hier unter- suchen wir die Eigenschaften vonZ[p] alsGanzheitsringdeszyklotomischen Korpers Q(p). Dafur bedarf es zunachst einer Erklarung der beiden Begrie: Letzteres ist ein algebraischer Zahlk orper, also eine endliche ErweiterungL=Qdes Korpers der rationa- len Zahlen. Den Namen entsprechend enth altLalgebraischeund sein GanzheitsringOL ganz-algebraischeZahlen als Verallgemeinerung des Konzepts der rationalen und der (rationalen) ganzen Zahl. Gleichzeitig istLder Quotientenkorper vonOL. Das Ma daf ur, inwieweit ein Ganzheitsring im Wesentlichen eindeutige Primelementzerlegung 1

Einleitung

besitzt, ist die Ordnung derIdealklassengruppe, dieKlassenzahl. Unabhangig von ihrem Wert ist jeder Ganzheitsring einDedekind-Ring, in welchem zumindest die Zerlegung einesIdealsin Primidealeeindeutig ist. Um das Kapitel nicht mit (Hilfs-)Konzepten aus der algebraischen Zahlentheorie zu uberladen, verschieben wir den theoretischen

Hintergrund in Anhang B.

Im vierten Kapitel analysieren wir zuerst die Gestalt pythagor aischer Tripel mit dem

Ziel, alle ganzzahligen L

osungen vonx2+y2=z2zu erhalten. Danach suchen wir einen geometrischen Zugang zu pythagor aischen Tripeln. Im deutlich umfassenderen zweiten Teil des Kapitels arbeiten wir Beweise von Fermats groem Satz f urn= 4,n= 3 und ngleich eine regulare Primzahlpaus. Die Reihenfolge entspricht der zunehmenden

Komplexit

at. So sindn= 4 undn= 3 die ersten Falle, fur die ein Beweis gefunden wurde. Der dritte Fall stellt einen Meilenstein in der Beweisgeschichte dar, da nicht nur einzelne, sondern wom oglich unendlich viele Primzahlen regular sind. Im Rahmen der Arbeit kann Fermats groer Satz f ur regulare Primzahlen allerdings nur unter der Voraussetzung betrachtet werden, dasspkeines derx;y;zteilt. Man spricht hierbei von \Fall 1" im Gegensatz zu \Fall 2", bei dempgenau eine der drei Zahlen teilt. Vorab wird als \Zwischenspiel" des Kapitels die Idee verfolgt, wie sich Fermats groer Satz verh alt, wenn als Denitionsmenge nicht ganze Zahlen, sondern ein anderer Zahlbereich oder ein Polynomring uber einem Korper dient. Den Abschluss bildet ein vergleichendes

Fazit der Beweise.

In Anhang A schlielich werden grundlegende idealarithmetische Aussagen wieder- holt und in Anhang B ist, wie bereits angesprochen, das theoretische Fundament f ur die Kapitel 3 und 4.6 un tergebracht. F ur den Blick in die Beweishistorie von Fermats groem Satz (Kapitel 2) wurden verschiedene Literaturquellen herangezogen: Einer Gesamtschau dientenGeschichte der Mathematik kompaktvon F.M. Bruckler, der VortragZum Fermat-Problemvon P. Roquette und die WebsiteMacTutor History of Mathematics Archivesvon E.F.

O'Connor und J.J. Robertson. F

ur das Problem der Eindeutigkeit der Primelement- zerlegung erwies sich u.a.4000 Jahre Algebrades Autorenkollektivs um H.-W. Alten als fruchtbar. F ur die Entwicklungen Mitte der 1980er bis Mitte der 90er Jahre wurde erg anzend aufAn Overview of the Proof of Fermat's Last Theoremvon G. Stevens zur uckgegrien.

Quellen f

ur Kapitel 3 und Anhang B sind im WesentlichenQuadratische Zahlkorper von F. Lemmermeyer, die gleichnamigen Lehrb ucherEinfuhrung in die algebraische Zahlentheorievon A. Schmidt bzw. J. Neukirch sowieElementare und algebraische Zahlentheorievon St. Muller-Stach und J. Piontkowski.

Im vierten Kapitel war f

ur die Fallen= 2,n= 4 undn= 3 der zahlentheoretische KlassikerAn Introduction to the Theory of Numbersvon G.H. Hardy and E.M. Wright grundlegend. F urn= 4 und den geometrischen Zugang zu pythagoraischen Tripeln wurde fernerElementare Zahlentheorievon N. Oswald und J. Steuding genutzt. Bei der Betrachtung von Fermats groem Satz f ur Polynome diente der ArtikelRemarks on the History of Fermat's Last Theorem 1844 to 1984von M. Rosen als Grundlage. Der

Abschnitt

uber einen Beweis furngleich regulare Primzahl basiert schlielich auf dem

1. Kapitel ausIntroduction to Cyclotomic Fieldsvon L.C. Washington; erganzende

Anmerkungen entstammen u.a.Einfuhrung in die Zahlentheorievon P. Bundschuh. 2

2. Zur Beweisgeschichte des Satzes

Der Namensgeber des Satzes, Pierre de Fermat (1601/8{1665, die genauen Daten sind nach [ Roq98 ], S.4, unsicher), schlug einen juristischen Berufsweg ein. Mathematik be- trieb er, wie die meisten Mathematiker seiner Zeit, nebenher, wobei er seine Erkennt- nisse und Hypothesen weder ver oentlichte noch in privaten Abhandlungen festhielt.

Sein Ein

uss auf die Mathematik resultiert stattdessen zeitlebens aus Briefwechseln mit vielen bedeutenden Gelehrten sowie sp ater aus seinem Nachlass. Neben Briefen geh orten dazu Bucher, die Fermat mit Randnotizen versehen hatte (ebd. und [Bru17], S.146). So geht die heute als Fermats groer Satz (bzw. bis zu ihrem Beweis auch als Fermat'sche Vermutung) bekannte Aussage auf seine folgende Anmerkung in einer Kopie derArithmetikazuruck, an der Diophant den Falln= 2 diskutierte ([Roq98],

S.4); eine

Ubersetzung aus dem Lateinischen lautet:

\Es ist aber nicht m oglich, einen Kubus in zwei Kuben, oder ein Biquadrat in zwei Biquadrate und allgemein eine Potenz, h oher als die zweite, in zwei Potenzen mit demselben Exponenten zu zerlegen. Ich habe hierf ur einen wahrhaft wunderbaren Beweis, doch ist dieser Rand zu schmal, um ihn zu fassen."([Kra02], S.217) In moderner Formulierung behauptet er hier, dass es f urn >2 keine Zerlegung x n+yn=zn(2.1) mitx;y;z2Ngibt. In Fermats groem Satz werden ganzzahligex;yundzungleich

Null betrachtet (vgl. Satz

4.1 ). Aus erhaltenen Briefen ist uberliefert, dass sich Fermat selbst mit den F allenn= 3 undn= 4 auseinandersetzte. Fur letzteren fand er einen Beweis (genauer gesagt, konnte er die Behauptung f urn= 4 plausibel darlegen; Roq98 ], S.4). Dass Fermat seine Vermutung tats achlich allgemein beweisen konnte, kann als auerst unwahrscheinlich eingeschatzt werden.

Grunds

atzlich ist es ausreichend, das Theorem furn= 4 und ungerade Primzahlen zu beweisen. Der Grund liegt darin, dass jede nat urliche Zahln >2 zumindest aus

4 oder einer Primzahlp3 zusammengesetzt ist. Ist nun Fermats groer Satz fur

n= 4 undn=pwahr (d.h., es gibt keinex;y;zmitxn+yn=zn), dann existieren insbesondere keine Potenzenxd,ydundzd,d2N, mit (xd)n+ (yd)n= (zd)n: Den groben Verlauf der Beweishistorie umreit die modizierte und mit Hilfe von OR96 ] erg anzteUbersicht aus [Roq98], S.6, auf der nachsten Seite. Diese mochten wir im Folgenden durch einige Anmerkungen zum Problem der Primelementzerlegung und anschlieend zum letztendlichen Beweis von Fermats groem Satz durch A. Wiles abrunden. 3

Zur Beweisgeschichte des Satzes

Fermat (1601/08{1665)um 1630 Problemstellung; Beweis furn= 4 und spater andeutungsweise f urn= 3. Euler (1707{1783)n= 3: insgesamt vollstandiger Beweis mittels komplexer Zahlen, jedoch verteilt auf zwei getrennte Arbeiten.

Gau (1777{1850)n= 3: vollstandiger Beweis.

Germain (1776{1831)um 1820 Beweis von Fall 1 fur (spater nach ihr benannte)quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32

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