[PDF] Algèbre Linéaire et Applications

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Algèbre Linéaire et Applications

Kevin Cheung, Mathieu Lemire

2018-07-16

2

Table des matières

Préface 7

Notation 9

Partie I 13

1 Éléments de base 13

1.1 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Uplets et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3 Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4 Corps fini dont l"ordre est la puissance d"un nombre premier . . . . . . . 25

1.5 Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre . . . . . . . . . . 28

2 Nombres complexes 31

2.1 Partie réelle et partie imaginaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2 Arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3 Module et conjugué d"un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4 Forme polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.5 Racinen-ième . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.6 Formule d"Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.7 Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre . . . . . . . . . . 52

3 Résolution de systèmes d"équations linéaires 57

3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2 Méthode de la substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.3 Opérations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.4 Représentation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.5 Combinaison linéaire de colonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.6 Matrice augmentée associée à un système . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3

4TABLE DES MATIÈRES

3.7 Forme échelonnée réduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.8 Élimination de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.9 Décrire les ensembles solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.10 Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre . . . . . . . . . . 97

4 Matrices 103

4.1 Multiplication de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.2 Associativité de la multiplication de matrices . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.3 Matrice identité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.4 Matrices élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.5 Exemples de matrices élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.6 Résolution d"équations matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.7 Matrices inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.8 Calcul de l"inverse d"une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.9 L"inverse d"un produit de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.10 Matrices singulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

4.11 Propriétés des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

4.12 Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre . . . . . . . . . . 142

5 Déterminant 149

5.1 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

5.3 Matrices spéciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

5.4 Propriétés fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

5.5 Méthodes efficaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

5.6 Règle de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5.7 Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre . . . . . . . . . . 172

6 Espaces vectoriels 175

6.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

6.2 Définition d"un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

6.3 Espaces vectoriels communément rencontrés . . . . . . . . . . . . . . . 185

6.4 Sous-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6.5 Combinaison linéaire et espace engendré . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

6.6 Espaces vectoriels de dimension infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

6.7 Indépendance linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

6.8 Base et dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

6.9 Dimensions de sous-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

6.10 Retour sur le noyau d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

TABLE DES MATIÈRES5

6.11 Espace des colonnes et espace des lignes . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

6.12 Rang d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

6.13 Représentation par les uplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

6.14 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

6.15 Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre . . . . . . . . . . 225

7 Valeurs propres et vecteurs propres 231

7.1 La magie des puissances de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

7.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

7.3 Multiplicités algébriques et géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

7.4 Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

7.5 Matrices symétriques et hermitiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

7.6 Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre . . . . . . . . . . 252

Partie II 259

8 Transformations linéaires 259

8.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

8.2 Noyau d"une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

8.3 Surjectivité et injectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

8.4 Bijections et isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

8.5 Matrice d"une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

8.6 Retour sur les changements de bases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

8.7 Espace dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

8.8 Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre . . . . . . . . . . 285

9 Produits scalaires 287

9.1 Produit scalaire usuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

9.2 Forme bilinéaire symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

9.3 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

9.4 Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre . . . . . . . . . . 300

10 Orthogonalité 301

10.1 Bases orthonormées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

10.2 Procédé de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

10.3 Sous-espaces orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

10.4 Somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

10.5 Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

10.6 Décomposition QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

6TABLE DES MATIÈRES

10.7 Diagonalisation en base orthonormée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

10.8 Fonctions quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

10.9 Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre . . . . . . . . . . 337

11 Projection 339

11.1 Cas d"une matrice de plein rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

11.2 Pseudo-inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

11.3 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

11.4 Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre . . . . . . . . . . 349

12 Méthode des moindres carrés 351

12.1 Résolution de système inconsistant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

12.2 Cas à une seule variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

12.3 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

12.4 Équation normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

12.5 Ajustement de courbe par la méthode des moindres carrés . . . . . . . . 365

12.6 Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre . . . . . . . . . . 370

13 Décomposition en valeurs singulières 371

13.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

13.2 Valeurs singulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

13.3 Démonstration et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

13.4 Retour sur la méthode des moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . 384

13.5 Exemple de test portant sur la matière de ce chapitre . . . . . . . . . . 388

14 Applications 389

14.1 Graphisme dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

14.2 Différentiation de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

14.3 Approximation pour une matrice de rang inférieur . . . . . . . . . . . . 396

14.4 " Lights Out » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

14.5 Codes de correction d"erreurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

14.6 Systèmes d"inéquations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

Bibliographie 423

Préface

Le but de ce manuel est de donner une base solide en algèbre linéaire aux étudiants ayant l"intention de poursuivre des études dans des domaines appliqués des sciences, de ingénierie et des statistiques. Ce manuel est divisé en deux parties. La partie I est une

introduction à l"algèbre linéaire. La partie II aborde des sujets de niveaux intermédiaire,

culminant à une discussion sur la décomposition en valeurs singulières, qui est devenu un puissant outil d"analyse des données et d"applications en ingénierie. Le manuel se termine par que quelques applications. Ce manuel met l"accent sur les méthodes de calcul et les résultats. À quelques exceptions

près, les aspects théoriques des sujets discutés sont aussi traités en détail. Il est ainsi

possible de choisir combien de temps consacrer aux aspects théoretiques de chaque sujet.

Le développement de ce manuel a été soutenu et financé par eCampusOntario.Ce manuel est mise à disposition selon les termes de la Licence Creative Com-

mons Attribution 4.0 International. 7

8TABLE DES MATIÈRES

Notation

L"ensemble des nombres réels est dénoté parR. L"ensemble des nombres rationnels est dénoté parQ. L"ensemble des nombres entiers est dénoté parZ. L"ensemble desn-uplets dont les éléments sont des nombres réels est dénoté parRn. Des définitions similaires sont aussi vraies pourQnetZn. L"ensemble des matrices de taillem×n(c"est-à-dire les matrices ayantmlignes etn

colonnes) ayant des éléments réels est dénoté parRm×n. Des définitions similaires sont

aussi vraies pourQm×netZn. Tous lesn-uplets sont écrit en tant que colonnes (donc, comme une matrice de dimension n×1). Unn-uplet est normalement représenté par une lettre minuscule en gras, tel quex. Pour unn-upletx,xidénote lei-ième élément (ou composante) dexpouri= 1,...,n. Unn-uplet dont toutes les composantes sont nulles est dénoté par0. La dimension du uplet est déterminée selon le contexte. Les matrices sont généralement représentées par une lettre majuscule en gras, tel queA. Laj-ième colonne de la matriceAest dénoté parAjet l"élément(i,j)(l"élément dans lai-ième ligne et laj-ième colonne) est dénotéaij.

Les scalaires sont généralement représentés par des lettres grecques en minuscule, telles

queλ,α,βetc. Pour une matriceA,ATdénote la transposé deA. Pour unn-upletx,xTdénote la transposé dex. SiAetBsont des matricesm×n,A≥Bsignifie queaij≥bijpour touti= 1,...,m, etA>B. En particulier, siuetvsont desn-uplets,u≥vsignifieui≥vipour i= 1,...,netu>0signifie queui>0pouri= 1,...,n. Les exposants entre parenthèse sont utilisés afin d"indexer les uplets. Par exemple, u (1),u(2)?R3indique queu(1)etu(2)sont des éléments deR3. Le deuxième élément deu(1)est dénoté paru(1) 2. 9

10TABLE DES MATIÈRES

Partie I

11

Chapitre 1

Éléments de base

Ce chapitre couvre certaines notions fondamentales requises pour ce livre. La maîtrise du matériel dans ce chapitre est essentielle. Les notions abordées sont les ensembles, les uplets, les matrices et les corps. La maîtrise du matériel de ce chapitre permet de : - Spécifier les ensembles de différentes façons. - Reconnaître des ensembles spéciaux. - Effectuer des opérations sur les ensembles. - Définir un corps. - Faire de l"arithmétique dans les corps les plus communément utilisés. - Spécifier les uplets et les matrices. - Faire de l"arithmétique avec les uplets. Pour ce chapitre, les connaissances requises incluent le matériel étudié dans le cours de fonctions avancées de la 12ième année en Ontario.

1.1 Ensembles

Unensembleest une collection d"objets distincts qui sont bien définis. Les objets d"un ensemble sont appelésélementsoumembresde l"ensemble. Il est possible de spécifier un ensemble de plusieurs façons : - en donnant une règle ou une description verbale. Par exemple, on peut décrire l"ensembleAde la façon suivante "Al"ensemble de tous les entiers impairs ». - en mettant une liste d"éléments entre parenthèses. Par exemple,{2,4,5}dénote l"ensemble contenant les trois nombres 2, 4 et 5.{1,3,5,...,99}dénote l"ensemble des nombres impaires de 1 jusqu"à 99. 13

14CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE BASE

- en utilisant la notation pour la construction d"ensembles :{f(x) :P(x)}où f(x)est une expression utilisantxetP(x)est une propriété satisfaite parx. Pour chaquextel queP(x)est vrai,f(x)est une élément de l"ensemble. Par exemple, {2n:nest un entier}. Voici les symboles associés à certains ensembles communs : -∅dénotel"ensemble vide, l"ensemble n"ayant aucun membre. -Ndénote l"ensemble des nombres naturels, c"est-à-dire{0,1,2,3,...}. (Notez que certaines références excluent le 0 comme un entier naturel.) -Zdénote l"ensemble des entiers relatifs, c"est-à-dire{...,-2,-1,0,1,2,...}. -Qdénote l"ensemble des nombres rationnels. -Rdénote l"ensemble des nombres réels. -Cdénote l"ensemble des nombres complexes.

1.1.1 Égalité entre ensembles

Deux ensemblesAetBsont ditségaux, dénoté parA=B, siAetBcontiennent

les mêmes éléments. Autrement dit, leur égalité ne dépend pas de la façon dont ils sont

définis. Par exemple, siA={1,2,3}etB={(-1)2,⎷4,log28}, alorsA=Bmême siAetB semblent, en surface, contenir des éléments différents. En général, afin de démontrer queA=B, nous devons démontrer deux choses :A?B etB?A; c"est-à-dire,x?Asi et seulement six?B. Nous verrons des preuves utilisant les ensembles plus tard.

1.1.2 Notations communes pour les ensembles

SoientAetBdes ensembles.

-|A|, lacardinalitédeA, dénote le nombre d"éléments deA. Par exemple, siA= {(1,2),(3,4)}, alors|A|= 2. -A=Bsi et seulement si ils ont précisément les mêmes éléments. Par exemple, si

A={4,9}etB={n2:n= 2orn= 3}, alorsA=B.

-A?Bsi et seulement si chaque éléments deAest aussi un élément deB. On dit alors queAest unsous-ensembledeB. Par exemple,{1,8,1107} ?N. -a?Asignifie queaest un membre deA. Par exemple,5?Q -a /?Asignifie quean"est pas une membre deA. Par exemple,27 /?Z

1.1. ENSEMBLES15

-A∩Bdénote l"ensemble contenant les élément qui sont à la fois dansAet dans B,que l"on dénommel"intersectiondeAet deB. Par exemple, siA={1,2}et

B={2,3}, alorsA∩B={2}.

-A?Bdénote l"ensemble contenant les éléments qui sont soit dansAou dansBou dans les deux, que l"on dénommel"uniondeAet deB. Par exemple, siA={1,2} etB={2,3}, alorsA?B={1,2,3}. -A\Bdénote l"ensemble contenant les éléments qui sont dansAmais pas dans B,A\Bse lit "AsansB». Par exemple, siA={1,2}etB={2,3}, alors

A\B={1}.

Exercices

1. SoitA={1,3,5,7}etB={0,3,6,7,9}. Décrivez les ensembles suivants :

A?B,A∩BetA\B.

2. Lequel des nombres suivants est membre deQ∩ {a:a?Reta >⎷2}?

a. 0 b. 5 c.⎷3

16CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE BASE

Solutions

1. Les ensembles sont :

-A?B={0,1,3,5,6,7,9} -A∩B={3,7} -A?B={1,5}

2. a. Pas un membre.

b. Est un membre. c. Pas un membre.

1.2. UPLETS ET MATRICES17

1.2 Uplets et matrices

SoitAun ensemble. Soientmetndes entiers positifs.

Unn-uplet dont les éléments appartiennent àAest un tableau à 1 dimension den éléments deA. L"ensemble de tous lesn-uplets dont les éléments appartiennent àAest dénoté parAn.Unn-upletx?Ans"écrit comme une colonne d"éléments : x=? ??x 1... x n?

Exemple 1.1.Le2-uplet?3

-7? est un élément deZ2. Unematrice de taillem×ndont les éléments appartiennent àAest un tableau à 2 dimensions d"élémentsai,j, oùi= 1,...,metj= 1,...,n.(Parfois, on écritaij plutôt queai,jsi l"absence de la virgule ne porte pas à confusion.) L"ensemble de toutes les matrices de taillem×ndont les éléments appartiennent àAest dénoté parAm×n.Une matriceX?Am×nest écrit comme un tableau d"éléments ayantmlignes etncolonnes à l"intérieur de parenthèses carrées : X=? ?????x

1,1x1,2···x1,n

x

2,1x2,2···x2,n.........

x m,1xm,2···xm,n? Exemple 1.2.L"ensembleQ2×3contient entre autre les matrices suivantes :?1-3 0

1 5 4?

?0 112 -1 0.5 4? Remarque.Unn-uplet est effectivement une matrice de taillen×1.

1.2.1 Arithmétique des uplets

Soient un ensembleAetnun entier positif.

SiAest un ensemble muni d"une addition et d"une multiplication de deux éléments, alors l"addition d"upletetla multiplication par un scalairepeuvent être définis pourAn de la façon suivante :

18CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS DE BASE

Pourx,y?An, oùnest un entier positif,x+yest len-uplet dont lei-ième élément est donné parxi+yi,pouri= 1,...,n.

Exemple 1.3.

??1 2 3? ??4 5 6? ??1 + 4 2 + 5

3 + 6?

??5 7 9? Pourx?Anunn-uplet etαun nombre, alors,αxest len-uplet obtenu dexen multipliant chaque élément parα.

Exemple 1.4.

2? ??1 2 3? ??2×1

2×2

2×3?

??2 4 6?

Exemple 1.5.

⎷2 ⎷2

1/⎷2

=?2 1? Notons que siuetvsont desn-uplets de nombres,u-vest défini paru+ (-1)v,cequotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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