[PDF] Komplexe Zahlen Ausgangspunkt war damals die Frage

View - Download Komplexe Zahlen

Previous PDF

Next PDF

Komplexe

HieristnocheineMathe-

aufgabe,dieichnichtlosen kann.Wasist

9+4?Oh,dieistschwer.

Daf urbrauchstdu

Analysisundimaginare

Zahlen.Imagin

are

Zahlen?!Duweitschon.Elf-

zehn,zwolf- dudasalles?

Dubistdoch

niezurSchu-

Zahlen

EinLeitprogramminMathematik

Verfasstvon

ChristinaDiehl

MarcelLeupp

Leitprogramm"KomplexeZahlen\

VersionJanuar2010

Stufe,Schulbereich

SekundarstufeII,Gymnasium

FachlicheVorkenntnisse

RechnenmitreellenZahlen

L osenvonquadratischenGleichungenimReellen

TrigonometrischeFunktionen

WinkelimBogenma

AdditionundSubtraktionvonVektoren

EulerscheZahle

Bearbeitungsdauer

Autoren

ChristinaDiehlMarcelLeupp

4052Basel9100Herisau

2Leitprogramm"KomplexeZahlen\

Einfuhrung

verf

WarumkomplexeZahlen?

l

Wiegehenwirdasan?

quadratischenGleichungenzulosen! einegeometrischeBedeutung. metrischenAbbildungen.

Wiegehtesnunweiter?

ger

Zahlensturzen.VielVergnugen!

3Leitprogramm"KomplexeZahlen\

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis

1WassindkomplexeZahlen?6

2WierechnetmanmitkomplexenZahlen?14

5DiePolarformkomplexerZahlen38

AdditumA:DreitheoretischeVertiefungen53

AdditumB:DielogarithmischeSpirale56

AdditumC:Juliamengen61

L osungenallerAufgabenundLernkontrollen67

LiteraturinderHandbibliothek89

4Leitprogramm"KomplexeZahlen\

Arbeitsanleitung

begegnen.SiehabendiefolgendeBedeutung: 1 1 A unddenAufbaudesKapitels. lerquellenaufmerksamgemachtwerden. k

Leitprogrammfortlaufendnummeriert.

L arbeitethaben.

5Leitprogramm"KomplexeZahlen\

1WassindkomplexeZahlen?

weiterung\derreellenZahlen.

Wiegehenwirdasan?

einf gin areEinheiti. reellenZahlenzusammengesetzt.

Wiegehtesnunweiter?

undlegenSiemitdemerstenAbschnittlos!

Lernziele:

erkl aren wasdieimaginareEinheitiist, waseinekomplexeZahlist, wasderRealteileinerkomplexenZahlist, wasdieMengeCist.

Siekonnenohnenachzuschlagen

ersteeinfacheRechnungenmitidurchfuhren, gegebeneZahlenderrichtigenMengezuordnen.

6Leitprogramm"KomplexeZahlen\

1WassindkomplexeZahlen?

1.1Zahlbereichserweiterungen

unl aufdenBereichRderreellenZahlenerweitert. 2

2p2=2.

ausgedr ucktschreibenwirdasalsQR. k

Zahlen.

G

Leitprogramm"KomplexeZahlen\7

1WassindkomplexeZahlen?

1.2DieimaginareEinheiti

x 2=1 x x sichselbstmultipliziert1ergibt:ii=1. derGleichungx2=1seinsoll. i

3=i2i=(1)i=i:

1

Aufgabe1.BerechnenSie

a)i2b)i4c)i5d)(i)2e)i2 amEndedesLeitprogramms. vonSchatten\. gin eDescar- tes(1596-1650)zuruck.

8Leitprogramm"KomplexeZahlen\

1WassindkomplexeZahlen?

ihreDenitionfest: f suchung,wiebeidenreellenZahleni=p

1zuschreiben.Tatsachlichndet

st jedenfallsfest:DieSchreibweisei=p

1benutzenwirnicht.

WieistdieZahlideniert?

1.3KomplexeZahlen

complexus=ver ochten).

BeispielefurkomplexeZahlensind

1+3i;1+4i;25i;3

4+7i;p3p5i:

undiweiterhingultigsein.

WirdenierenkomplexeZahlennunallgemein:

EineZahlzderForm

z=a+bi imagin areEinheiti.

Leitprogramm"KomplexeZahlen\9

1WassindkomplexeZahlen?

WieistdieZahlideniert?

WasverstehtmanuntereinerkomplexenZahl?

Begrieein:

schreibenauchRe(25i)=2. denneuenBegrienvertrautzumachen. 2 beispielsweiseRe(3+2i)=3,Im(3+2i)=2.) a)1+4ib)25ic)3

4+7id)p7+56i

e) p

5if)16g)ih)0

i)

10Leitprogramm"KomplexeZahlen\

1WassindkomplexeZahlen?

Zahlenwiep

1

6alsdiekomplexeZahl16+0i.

(areell)diekomplexeZahla+0i. 3 undImaginarteilbesitzt: a)Re(z)=5;Im(z)=3b)Re(z)=1

2p2;Im(z)=0

e)ZeigenSie:IstRe(Im(z))=0,dannistz2R. reelleZahlensind.

ZahlenderFormbiheienreinimaginar.

WasverstehtmanuntereinerkomplexenZahl?

1.4ReelleZahlensindauchkomplexeZahlen!

6+0i kurz1

Leitprogramm"KomplexeZahlen\11

1WassindkomplexeZahlen?

RC gilt.

Wirhaltenfest:

RC: 4 angegebenenZahlenjeweilsgehoren: a)2b)p

3c)3+12id)0e)4i

WieistdieZahlideniert?

WasverstehtmanuntereinerkomplexenZahl?

WasistdieMengeC?

12Leitprogramm"KomplexeZahlen\

1WassindkomplexeZahlen?

Lernkontrolle

Leitprogramms.

oderdieBenutzungderUnterlagen.

ALernkontrolleA:

a)BerechnenSiei3. 7an.

WelchekomplexeZahlbesitztdenRealteil1

2unddenImaginarteilp3?

5,p

7i,29.

d) oderfalsch?BegrundenSieIhreAntwort.

BLernkontrolleB:

a)BerechnenSie(i)3. 2,21

3i,p9.

d)

Leitprogramm"KomplexeZahlen\13

2WierechnetmanmitkomplexenZah-

len?

Reellenkennen,sindweiterhingultig.

Wiegehenwirdasan?

den.BeideRechenartensindsehrahnlich.

Wiegehtesnunweiter?

AbenteuervomRechnenmitkomplexenZahlen.

Lernziele:

erkl aren,waseinekonjugiertkomplexeZahlist.

14Leitprogramm"KomplexeZahlen\

2WierechnetmanmitkomplexenZahlen?

2.1AdditionundSubtraktion

(3+i)+(12i): Ausdr imagin arenAusdrucke(d.h.iund2i).

DasGleichetunwirauchhier.Wirschreiben

(3+i)+(12i)=3+i+12i=(3+1)+(i2i)=4i:

DasErgebnisderRechnunglautetalso4i.

(3+i)(12i)=3+i1+2i=(31)+(i+2i)=2+3i: osenderKlammer"+2i\ undzusubtrahieren: 5 a)(4+3i)+(2+i)b)(4+3i)(2+3i) c)(1

4+2i)+(15i)d)Re((2+i)(23i))

e)(p

5+3i)+(2+i)(4i)f)Im(7(4+3i)(54i))

gr undenSieIhreAntwort.

Leitprogramm"KomplexeZahlen\15

2WierechnetmanmitkomplexenZahlen?

6

Aufgabe6.ErganzenSiedenTextimKasten.

(a+bi)+(c+di)=; (a+bi)(c+di)=:

Zahlenbeherrschen.

7 Ausdr ucke: a)vwzb)v+wzc)Re(z+w)d)Im(zv)

2.2Multiplikation

diebeidenZahlen3+iund12i.Gesuchtistalso (3+i)(12i):

Wirschreibenalso

(3+i)(12i)=36i+i2i2:

16Leitprogramm"KomplexeZahlen\

2WierechnetmanmitkomplexenZahlen?

k (3+i)(12i)=36i+i| {z} =5i2i2=35i2(1)=35i+2=55i:

DasErgebnisderRechnunglautetalso55i.

Zahlen.

8 Ausdr ucke: a)vzb)v(wz)c)Re(vwz)d)Im(v+wz)

Imagin

SieIhreAntwort.

9

Aufgabe9.ErganzenSiedenTextimKasten.

(a+bi)(c+di)=: 10

Leitprogramm"KomplexeZahlen\17

2WierechnetmanmitkomplexenZahlen?

2.3KonjugiertkomplexeZahlen

dasVorzeichen. (5+3i)(53i)=2515i+15i9i2=25+9=34: esist(5+3i)(53i)=259i2=25+9=34.) alsnutzlicherweisen.

Allgemeinlegenwirfest:

dieZahlabi.Manschreibtdafurauch z=abi. (LesenSiefur z:"zquer\.) bestimmen. 11

Aufgabe11.BerechnenSiefurw=3iundz=12+4i:

a) zb)wc)w+zd)w2z (Hinweis: konjugiertkomplexeZahlderSummebilden.) 12 a)z z=Re(z)2+Im(z)2b)z+z=2Re(z)c)z=z

18Leitprogramm"KomplexeZahlen\

2WierechnetmanmitkomplexenZahlen?

2.4Division

m (3+i):(12i)=3+i 12i: Zun (3+i):5=1

5(3+i)=35+15i:

kommtdiekonjugiertkomplexeZahlinsSpiel. Z

Multiplizierenleichtberechnenkonnen.

DasVorgehenbeiderDivisionsiehtalsosoaus:

(3+i):(12i)=3+i 1+7i

5=15+75i:

DasErgebnisderRechnunglautetsomit1

5+75i.

erweitert,undnichtmitjenerdesZahlers! zweierkomplexerZahlen:

Leitprogramm"KomplexeZahlen\19

2WierechnetmanmitkomplexenZahlen?

13 a) 3+2i

7ib)i44ic)1id)3+4ii

zurechnen. 14

Aufgabe14.ErganzenSiedenTextimKasten.

danngilt (a+bi):(c+di)=: 15quotesdbs_dbs27.pdfusesText_33

[PDF] BI N° 4 - L`association Autocars Anciens de France - France

[PDF] BI N° 5 - L`association Autocars Anciens de France - France

[PDF] BI N° 6 - L`association Autocars Anciens de France - Gestion De Projet

[PDF] BI N° 7 - L`association Autocars Anciens de France - France

[PDF] BI rejets facturation SSR-code FF10 - Anciens Et Réunions

[PDF] BI rencontre education

[PDF] BI RT-2012 PAU

[PDF] BI Soirées étudiant créateur IES.indd

[PDF] BI Specialist II

[PDF] BI trail GTJ 2012 - Courir et découvrir

[PDF] BI-84 DEPARTMENT: HOME AFFAIRS REPUBLIC OF SOUTH - Anciens Et Réunions

[PDF] Bi-bloc Basse Température Nouvelle Génération - France

[PDF] Bi-carburation GPL

[PDF] Bi-composant Epoxy

[PDF] Bi-Diamir - Nervures