[PDF] Introduction aux méthodes numériques de résolution des équations

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Introductionauxm´ethodesnum´eriqu esder´es olution des´equationsaux d´eriv´eespartie lles(E DP)

Cours2

S´ebastienDeheuvels,Laur `eneJouve

InstitutdeRecherche enAstr ophysiqueetPlan´etologie

Octobre2017

S.Dehe uvels,L.Jouve(IRAP)IntroR´esolutio nEDPOctobre20171/ 44

Planducour s

Lesdi ´erentstypesdesimulat ionsnum´eriquese nastroph ysique M´ethodesnum´eriquespourlar ´esolutiondesEDP •Unpe udeth´eori e •Propri´et´esdequelquessch´emasnum´ erique ssimples(di!´erences finies) •Comparaisondel'e"cacit´ededeuxsch´em asdansl ecasd'une

´equationd'advection1D

Limitationsdessimulationsnum ´eriques

S.Dehe uvels,L.Jouve(IRAP)IntroR´esolutio nEDPOctobre20172/44

Rappelscourspr´ec´eden t

EDPettra iteme ntnum´erique

Traitementnum´eriquecarpasdes olutionanalytiqueduprobl`eme complet. Di

´erentesm´ethodesnum´erique s:

•Di!´erencesfinies •El´ementsfinis •M´ethodesspectrales Lame illeurem´ethode`aadopterd´ep endduprobl`emephysique consid´er´e Destests( convergence,stabi lit´e,probl`emessimplifi´es,...)son t toujoursn´ecessaires. S.Dehe uvels,L.Jouve(IRAP)IntroR´esolutio nEDPOctobre20173/44

Rappelscourspr´ec´eden t

Convergenced'unsch´emadediscr´ etisation

L'erreurdeconsistancees tobtenu eenrempla¸cantu i+k,j+n par u(x i +k#x,t j +n#t)dan slesch´em adedis cr´etisation. Les ch´emaestd'ordrepentemps etqenespac esil'erreurde consistancev´erifie: e i,j =O(#t p )+O(#x q Lesc h´emaestconsistantsil'e rreurdeconsistancetendver s0 lorsquetouslespasded iscr´etis ationtende ntvers 0.

Onappe llematriced'amplificationStellequeˆu

n+1 =S(k)ˆu n Lesc h´emaeststablessilera yonspectr aldelamatrice d'amplificationestborn´epar1quelquesoi tk.

Unsc h´emaconsistantetstable estconvergent

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L'´equationd'advection-di!usion

Onconsi d`erelesprocessusd'advection etdedi

usionappliqu´e s`a unchamp scalaireT(x,t),x!R,t!R .On obtient l'EDPdu

2emeordrehom og`enesuivant e:

T t +c T x 2 T x 2 =0 o`uc>0es tlavitess e(const ante)d'advectionet">0estle coe cient(constant)d edi usion. Oncompl `etecetteEDPdeconditionsau xlimitesetiniti ales. S.Dehe uvels,L.Jouve(IRAP)IntroR´esolutio nEDPOctobre20175/44 L'´equationd'advection-di!usion:mod´ elisation Sioncon sid `erelenombresansdimensionsuiv ant,appe l´enombrede

P´eclet:

Pe= cL o`uLestunelongu eurcaract´e ristiqueduprobl`em e(parexemplelataille dudomain eenx).

Onpeut alorsdistinguer 2r´egimes limites:

•Pe<<1#onobt ientalorsl'´equationd edi!usion(oudela chaleur): T t 2 T x 2 =0 •Pe>>1#onobt ientalorsl'´equationd 'advection: T t +c T x =0 S.Dehe uvels,L.Jouve(IRAP)IntroR´esolutio nEDPOctobre20176/44 L'´equationd'advection-di!usion:solutionse xplicites

Sionaj oute commeconditioninit iale:T(x,0)=T

0 (x)et aux limitesT(0,t)=T(L,t)=0.

Lessolu tionsexplicitesaux3r´e gimessont:

•Equationdedi!usion:

T(x,t)=

1 4#"t T 0 (y)exp (x"y) 2 4"t dy •Equationd'advection:

T(x,t)=T

0 (x"ct) •Equationd'advection-di !usion:

T(x,t)=

1 4#"t T 0 (y)exp (x"ct"y) 2 4"t dy S.Dehe uvels,L.Jouve(IRAP)IntroR´esolutio nEDPOctobre20177/44

L'´equationdedi!usion1D:1er sch ´ema

Eulerentemps+Di

´erencesfiniescentr´ee sdu2`emeordreene space(FTCS) T i,j+1 "T i,j #t (T i"1,j "2T i,j +T i+1,j #x 2 o`uT i,j =T(x i ,t j #T i,j+1 =sT i"1,j +(1"2s)T i,j +sT i+1,j o`us="#t/#x 2 estlenombr edeCour ant-Friedrichs- Lewypour ladi usion

Stabilit´e

S(k)=1"4ssin

2 (k#x/2)

Stablesis="#t/#x

2 1 2

Erreurdeconsistance

e="(#x 2 /2)(s"1/6) 4 T x 4 +O(#t 2 )+O(#x 4

Lacon ditiondestabilit´eimpos e:

#tinf´erieur`a0.5f oisletemps dedi!usion`al'´ech elled elamaille#x 2 S.Dehe uvels,L.Jouve(IRAP)IntroR´esolutio nEDPOctobre20178/44

L'´equationdedi!usion1D:2eme sch ´ema

Centr´eentemps+centr´ eesdu2 `emeordreenes pac e(sch´emadeRichardson) T i,j+1 "T i,j"1 2 #t (T i"1,j "2T i,j +T i+1,j #x 2 #T i,j+1 =T i,j"1 +2s(T i"1,j "2T i,j +T i+1,j

Stabilit´e

$(S)= a+ a 2 +4 2 aveca="8ssin 2 k#x 2

Inconditionnellementinstable!

Erreurdeconsistance

e=""(#x 2 /12) 4 T x 4 +O(#t 2 )+O(#x 4 S.Dehe uvels,L.Jouve(IRAP)IntroR´esolutio nEDPOctobre20179/44

L'´equationdedi!usion1D:3eme sch ´ema

Sch´emadeCrank-Nichol son:se mi-impliciteentemps T i,j+1 !T i,j !t T i!1,j+1 !2T i,j+1 +T i+1,j+1 !x 2 +(1!") T i!1,j !2T i,j +T i+1,j !x 2

Ceciestappel´ eun%-sch´ema.

Pourunsch ´emade Crank-Nicholson,onprend%=1/2,s oit: s 2 T i"1,j+1 +(1+s)T i,j+1 s 2 T i+1,j+1 s 2 T i"1,j +(1"s)T i,j s 2 T i+1,j

Stabilit´e

S(k)=

1"2ssin

2 (k#x/2)

1+2ssin

2 (k#x/2)

Inconditionnellementstable!

Erreurdeconsistance

e=""(#x 2 /12) 4 T x 4 +O(#t)+O(#x 4

Pasdecon dition destabilit´esurlepasde temps

#t. #tdoitquandmˆ emeˆetreenac cordaveclaphysiq ue! S.Dehe uvels,L.Jouve(IRAP)IntroR´esolutio nEDPOctobre201710/44

L'´equationdedi!usion1D:r´ esum ´e

Ilexi stedessch´emasinconditionnellementinstables, Last abilit´eestassur´eesilenombr eCFL"#t/#x 2 v´erifieune condition(diteconditionCF L): "#t #x 2 Interpr´etationphysique:l epasdet empsdoi tˆetre inf´erieurau tempsdedi usiond'un´ecar tdetemp´erat ure`al'´echell edela maillenum´erique Eng´en ´eral&d´ecroitquandl'ordrespati aldusch´emaau gmente #unsch´ emapluspr´ecis(ordrep lus´elev´een espace)est-ilplus e cace? S.Dehe uvels,L.Jouve(IRAP)IntroR´esolutio nEDPOctobre201711/ 44

L'´equationd'advection1D:1er sch´ema

Eulerentemps+Di

´erencesfiniescentr´ee sdu2`emeordreenes pace(FTCS) T i,j+1quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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