[PDF] Méthodes numériques et optimisation un guide du consommateur





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Introduction aux méthodes numériques - Deuxième édition

à un calcul parfaitement banal : tout l'enjeu des méthodes numériques est Ce livre est une introduction aux méthodes numériques considérées tant.





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Faculté des Sciences Appliquées. Introduction aux Méthodes. Numériques. Professeur Q. Louveaux. Département d'Électricité Électronique et Informatique.



Introduction aux méthodes numériques et projet

Introduction aux méthodes numériques. 1e bac. Sciences Informatiques. Année préparatoire au master en Sciences Informatiques.



Introduction aux méthodes numériques de résolution des équations

Introduction aux méthodes numériques de résolution des équations aux dérivées partielles (EDP). Cours 1. Sébastien Deheuvels Laur`ene Jouve.



Chapitre 1 : Introduction à LAnalyse Numérique

Chapitre 1 : Introduction à L'Analyse Numérique Convergence et stabilité de la méthode numérique. Coût algorithmique ...



Introduction aux méthodes numériques de résolution des équations

Le schéma est consistant si l'erreur de consistance tend vers 0 lorsque tous les pas de discrétisation tendent vers 0. On appelle matrice d'amplification S 



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Introduction aux méthodes numériques et projet

Un examen matlab. Un examen écrit de théorie et d'exercices. Quentin Louveaux (). Introduction aux méthodes numériques et projet. Février 2013.



Introduction à lanalyse bayésienne et à ses méthodes numériques

1 Introduction à la statistique bayésienne l'ordinateur et au développement de méthodes numériques efficace qui ont permis de dépasser.

Méthodes numériques et optimisation un guide du consommateur >G A/, ?H@yRkj3883 ?iiTb,ff?HXb+B2M+2f?H@yRkj3883 Jûi?Q/2b MmKû`B[m2b 2i QTiBKBbiBQM- mM ;mB/2 /m +QMbQKKi2m` hQ +Bi2 i?Bb p2`bBQM,

Eric Walter

M

´ethodes num´eriques

et optimisation un guide du consommateur

Fluctuant Nec Merguntur

v

Eric Walter

Laboratoire des Signaux et Syst

`emes

CNRS - CentraleSup

´elec - Universit´e Paris-Sud

91192 Gif-sur-Yvette

France

Merci d"envoyer vos commentaires et questions

`a eric.p.h.walter@gmail.com

Copyright

c ´Eric Walter, 2015 pour cette traduction en langue franc¸aise, qui peut librement ˆetre transmise en tout ou en partie (sous forme´electronique ou imprim´ee), a deux conditions. La premi`ere est que la partie transmise ne soit pas retraduite ou autrement modifi ´ee. La seconde est qu"elle contienne la pr´esente page.

Fluctuant Nec Merguntur, Paris, 2015

Traduction abr

´eg´ee de l"´edition en langue anglaise : Numerical Methods and Optimization, A Consumer Guided"´Eric Walter

Copyright

c

Springer International Publishing AG 2014

Springer International Publishing AG fait partie de

Springer Science+Business Media

Tous droits r

´eserv´es.

A mes petits-enfants

Table des mati

`eres

1 Du calcul exact

`a l"´evaluation num´erique approch´ee. . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Pourquoi ne pas utiliser des m

´ethodes math´ematiques na¨ıves? . . . . .3

1.1.1 Trop de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2 Trop sensible aux erreurs num

´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

1.1.3 Pas disponible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2 Que faire, alors? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3 Comment est organis

´e ce livre?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

2 Notations et normes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.2 Scalaires, vecteurs et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 2.3 D

´eriv´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

2.4 Petit o et grand O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.5 Normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.5.1 Normes vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.5.2 Normes matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.5.3 Vitesses de convergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 3 R

´esoudre des syst`emes d"´equations lin´eaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

3.3 Conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

3.4 Approches

`a´eviter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

3.5 Questions surA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

3.6 M

´ethodes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

3.6.1 Substitution arri

`ere ou avant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

3.6.2´Elimination gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

3.6.3 Factorisation LU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.6.4 Am

´elioration it´erative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

3.6.5 Factorisation QR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.6.6 D

´ecomposition en valeurs singuli`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 ix x Table des mati `eres 3.7 M

´ethodes it´eratives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

3.7.1 M

´ethodes it´eratives classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

3.7.2 It

´eration dans les sous-espaces de Krylov . . . . . . . . . . . . . . . .38

3.8 Tirer profit de la structure deA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

3.8.1Aest sym´etrique d´efinie positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

3.8.2Aest une matrice de Toeplitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

3.8.3Aest une matrice de Vandermonde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

3.8.4Aest creuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

3.9 Enjeux de complexit

´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

3.9.1 Compter les flops . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3.9.2 Faire faire le travail rapidement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.10 Exemples MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.10.1Aest dense . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47

3.10.2Aest dense et sym´etrique d´efinie positive . . . . . . . . . . . . . . . .52

3.10.3Aest creuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

3.10.4Aest creuse et sym´etrique d´efinie positive . . . . . . . . . . . . . . .54

3.11 En r

´esum´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55

4 R ´esoudre d"autres probl`emes d"alg`ebre lin´eaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.1 Inverser des matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

4.2 Calculer des d

´eterminants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58

4.3 Calculer des valeurs propres et des vecteurs propres. . . . . . . . . . . . . .

59

4.3.1 Approche

`a´eviter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59

4.3.2 Exemples d"applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

4.3.3 M

´ethode de la puissance it´er´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

4.3.4 M

´ethode de la puissance inverse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

4.3.5 M

´ethode de la puissance inverse avec d´ecalage . . . . . . . . . . .64

4.3.6 It

´eration QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65

4.3.7 It

´eration QR d´ecal´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66

4.4 Exemples MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

4.4.1 Inverser une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

4.4.2 Calculer un d

´eterminant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69

4.4.3 Calculer des valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

4.4.4 Calculer des valeurs propres et des vecteurs propres . . . . . . .

72

4.5 En r

´esum´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73

5 Interpoler et extrapoler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

5.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

5.3 Cas

`a une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77

5.3.1 Interpolation polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

5.3.2 Interpolation par des splines cubiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

5.3.3 Interpolation rationnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

5.3.4 Extrapolation de Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

5.4 Cas

`a plusieurs variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87

Table des mati

`eres xi

5.4.1 Interpolation polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

5.4.2 Interpolation par splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

5.4.3 Krigeage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

5.5 Exemples MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

5.6 En r

´esum´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93

6 Int

´egrer et diff´erentier des fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

6.2 Int

´egrer des fonctions d"une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99

6.2.1 M

´ethodes de Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100

6.2.2 M

´ethode de Romberg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104

6.2.3 Quadrature gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

104

6.2.4 Int

´egrer via la r´esolution d"une EDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106

6.3 Int

´egrer des fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107

6.3.1 Int

´egrations`a une dimension imbriqu´ees. . . . . . . . . . . . . . . . .107

6.3.2 Int

´egration de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107

6.4 Diff

´erentier des fonctions d"une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110

6.4.1 D

´eriv´ees premi`eres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110

6.4.2 D

´eriv´ees secondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113

6.4.3 Extrapolation de Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

114

6.5 Diff

´erentier des fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . .116

6.6 Diff

´erentiation automatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117

6.6.1 Inconv

´enients de l"approximation par diff´erences finies . . . .117

6.6.2 Id

´ee de base de la diff´erentiation automatique . . . . . . . . . . . .118

6.6.3´Evaluation r´etrograde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120

6.6.4´Evaluation progressive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124

6.6.5 Extension

`a l"´evaluation de hessiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . .126

6.7 Exemples MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

128

6.7.1 Int

´egration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128

6.7.2 Diff

´erentiation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131

6.8 En r

´esum´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134

7 R ´esoudre des syst`emes d"´equations non lin´eaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

7.1 Quelles diff

´erences avec le cas lin´eaire? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137

7.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

137

7.3 Une

´equation`a une inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139

7.3.1 M

´ethode de bissection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140

7.3.2 M

´ethode de point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141

7.3.3 M

´ethode de la s´ecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141

7.3.4 M

´ethode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142

7.4 Syst

`emes d"´equations`a plusieurs inconnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146

7.4.1 M

´ethode de point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146

7.4.2 M

´ethode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147

7.4.3 M

´ethode de Broyden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148

7.5 D"o

`u partir? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151

xii Table des mati `eres

7.6 Quand s"arr

ˆeter? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152

7.7 Exemples MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

153

7.7.1 Une

´equation`a une inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153

7.7.2 Syst

`emes d"´equations`a plusieurs inconnues . . . . . . . . . . . . . .158

7.8 En r

´esum´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162

8 Introduction

`a l"optimisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

8.1 Un mot de mise en garde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

165

8.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

165

8.3 Taxonomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

166

8.4 Que diriez-vous d"un repas gratuit? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

170

8.4.1 C¸a n"existe pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

171

8.4.2 Vous pouvez quand m

ˆeme obtenir un repas bon march´e . . . .172

8.5 En r

´esum´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172

9 Optimiser sans contrainte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

9.1 Conditions th

´eoriques d"optimalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175

9.2 Moindres carr

´es lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .180

9.2.1 Co

ˆut quadratique en l"erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181

9.2.2 Co

ˆut quadratique en les variables de d´ecision . . . . . . . . . . . . .182

9.2.3 Moindres carr

´es lin´eaires via une factorisation QR . . . . . . . .186

9.2.4 Moindres carr

´es lin´eaires via une SVD . . . . . . . . . . . . . . . . . .188

9.2.5 Que faire siFTFn"est pas inversible? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191

9.2.6 R

´egularisation de probl`emes mal conditionn´es . . . . . . . . . . . .191 9.3 M

´ethodes it´eratives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192

9.3.1 Moindres carr

´es s´eparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192

9.3.2 Recherche unidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

193

9.3.3 Combinaison de recherches unidimensionnelles. . . . . . . . . . .

197

9.3.4 M

´ethodes fond´ees sur un d´eveloppement de Taylor du coˆut .199

9.3.5 Une m

´ethode qui peut traiter des coˆuts non diff´erentiables . .214

9.4 Compl

´ements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .217

9.4.1 Optimisation robuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

217

9.4.2 Optimisation globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

220

9.4.3 Optimisation avec un budget serr

´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222

9.4.4 Optimisation multi-objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

224

9.5 Exemples MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

225

9.5.1 Moindres carr

´es sur un mod`ele polynomial multivari´e. . . . . .225

9.5.2 Estimation non lin

´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .234

9.6 En r

´esum´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .239

10 Optimiser sous contraintes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

243

10.1.1 Analogie topographique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

243

10.1.2 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

244

10.1.3 Propri

´et´es souhaitables de l"ensemble admissible. . . . . . . . . .245

Table des mati

`eres xiii

10.1.4 Se d

´ebarasser de contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .245

10.2 Conditions th

´eoriques d"optimalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .247

10.2.1 Contraintes d"

´egalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .247

10.2.2 Contraintes d"in

´egalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .251

10.2.3 Cas g

´en´eral : conditions KKT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .254

10.3 R

´esoudre les´equations KKT avec la m´ethode de Newton . . . . . . . . .255

10.4 Utiliser des fonctions de p

´enalisation ou barri`eres. . . . . . . . . . . . . . . .255

10.4.1 Fonctions de p

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