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Eric Walter
M´ethodes num´eriques
et optimisation un guide du consommateurFluctuant Nec Merguntur
vEric Walter
Laboratoire des Signaux et Syst
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c ´Eric Walter, 2015 pour cette traduction en langue franc¸aise, qui peut librement ˆetre transmise en tout ou en partie (sous forme´electronique ou imprim´ee), a deux conditions. La premi`ere est que la partie transmise ne soit pas retraduite ou autrement modifi ´ee. La seconde est qu"elle contienne la pr´esente page.Fluctuant Nec Merguntur, Paris, 2015
Traduction abr
´eg´ee de l"´edition en langue anglaise : Numerical Methods and Optimization, A Consumer Guided"´Eric WalterCopyright
cSpringer International Publishing AG 2014
Springer International Publishing AG fait partie deSpringer Science+Business Media
Tous droits r
´eserv´es.
A mes petits-enfants
Table des mati
`eres1 Du calcul exact
`a l"´evaluation num´erique approch´ee. . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Pourquoi ne pas utiliser des m
´ethodes math´ematiques na¨ıves? . . . . .31.1.1 Trop de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31.1.2 Trop sensible aux erreurs num
´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31.1.3 Pas disponible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41.2 Que faire, alors? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41.3 Comment est organis
´e ce livre?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52 Notations et normes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72.2 Scalaires, vecteurs et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 2.3 D´eriv´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
2.4 Petit o et grand O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112.5 Normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122.5.1 Normes vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122.5.2 Normes matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132.5.3 Vitesses de convergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15 3 R´esoudre des syst`emes d"´equations lin´eaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
173.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
183.3 Conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
193.4 Approches
`a´eviter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .223.5 Questions surA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22
3.6 M´ethodes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
3.6.1 Substitution arri
`ere ou avant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .233.6.2´Elimination gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25
3.6.3 Factorisation LU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
253.6.4 Am
´elioration it´erative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .293.6.5 Factorisation QR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
293.6.6 D
´ecomposition en valeurs singuli`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 ix x Table des mati `eres 3.7 M´ethodes it´eratives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
3.7.1 M
´ethodes it´eratives classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .353.7.2 It
´eration dans les sous-espaces de Krylov . . . . . . . . . . . . . . . .383.8 Tirer profit de la structure deA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42
3.8.1Aest sym´etrique d´efinie positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42
3.8.2Aest une matrice de Toeplitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43
3.8.3Aest une matrice de Vandermonde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43
3.8.4Aest creuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43
3.9 Enjeux de complexit
´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .443.9.1 Compter les flops . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
443.9.2 Faire faire le travail rapidement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
453.10 Exemples MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
473.10.1Aest dense . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47
3.10.2Aest dense et sym´etrique d´efinie positive . . . . . . . . . . . . . . . .52
3.10.3Aest creuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53
3.10.4Aest creuse et sym´etrique d´efinie positive . . . . . . . . . . . . . . .54
3.11 En r
´esum´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55
4 R ´esoudre d"autres probl`emes d"alg`ebre lin´eaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.1 Inverser des matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
574.2 Calculer des d
´eterminants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .584.3 Calculer des valeurs propres et des vecteurs propres. . . . . . . . . . . . . .
594.3.1 Approche
`a´eviter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .594.3.2 Exemples d"applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
604.3.3 M
´ethode de la puissance it´er´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .624.3.4 M
´ethode de la puissance inverse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .634.3.5 M
´ethode de la puissance inverse avec d´ecalage . . . . . . . . . . .644.3.6 It
´eration QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .654.3.7 It
´eration QR d´ecal´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .664.4 Exemples MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
674.4.1 Inverser une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
674.4.2 Calculer un d
´eterminant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .694.4.3 Calculer des valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
704.4.4 Calculer des valeurs propres et des vecteurs propres . . . . . . .
724.5 En r
´esum´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73
5 Interpoler et extrapoler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
755.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
765.3 Cas
`a une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77
5.3.1 Interpolation polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
785.3.2 Interpolation par des splines cubiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
825.3.3 Interpolation rationnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
845.3.4 Extrapolation de Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
855.4 Cas
`a plusieurs variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87Table des mati
`eres xi5.4.1 Interpolation polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
875.4.2 Interpolation par splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
885.4.3 Krigeage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
885.5 Exemples MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
915.6 En r
´esum´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93
6 Int´egrer et diff´erentier des fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
986.2 Int
´egrer des fonctions d"une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .996.2.1 M
´ethodes de Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1006.2.2 M
´ethode de Romberg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1046.2.3 Quadrature gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1046.2.4 Int
´egrer via la r´esolution d"une EDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1066.3 Int
´egrer des fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1076.3.1 Int
´egrations`a une dimension imbriqu´ees. . . . . . . . . . . . . . . . .1076.3.2 Int
´egration de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1076.4 Diff
´erentier des fonctions d"une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1106.4.1 D
´eriv´ees premi`eres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1106.4.2 D
´eriv´ees secondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1136.4.3 Extrapolation de Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1146.5 Diff
´erentier des fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . .1166.6 Diff
´erentiation automatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1176.6.1 Inconv
´enients de l"approximation par diff´erences finies . . . .1176.6.2 Id
´ee de base de la diff´erentiation automatique . . . . . . . . . . . .1186.6.3´Evaluation r´etrograde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120
6.6.4´Evaluation progressive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124
6.6.5 Extension
`a l"´evaluation de hessiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . .1266.7 Exemples MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1286.7.1 Int
´egration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1286.7.2 Diff
´erentiation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1316.8 En r
´esum´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134
7 R ´esoudre des syst`emes d"´equations non lin´eaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.1 Quelles diff
´erences avec le cas lin´eaire? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1377.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1377.3 Une
´equation`a une inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1397.3.1 M
´ethode de bissection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1407.3.2 M
´ethode de point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1417.3.3 M
´ethode de la s´ecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1417.3.4 M
´ethode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1427.4 Syst
`emes d"´equations`a plusieurs inconnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1467.4.1 M
´ethode de point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1467.4.2 M
´ethode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1477.4.3 M
´ethode de Broyden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1487.5 D"o
`u partir? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151
xii Table des mati `eres7.6 Quand s"arr
ˆeter? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1527.7 Exemples MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1537.7.1 Une
´equation`a une inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1537.7.2 Syst
`emes d"´equations`a plusieurs inconnues . . . . . . . . . . . . . .1587.8 En r
´esum´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162
8 Introduction
`a l"optimisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1658.1 Un mot de mise en garde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1658.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1658.3 Taxonomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1668.4 Que diriez-vous d"un repas gratuit? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1708.4.1 C¸a n"existe pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1718.4.2 Vous pouvez quand m
ˆeme obtenir un repas bon march´e . . . .1728.5 En r
´esum´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172
9 Optimiser sans contrainte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
9.1 Conditions th
´eoriques d"optimalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1759.2 Moindres carr
´es lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1809.2.1 Co
ˆut quadratique en l"erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1819.2.2 Co
ˆut quadratique en les variables de d´ecision . . . . . . . . . . . . .1829.2.3 Moindres carr
´es lin´eaires via une factorisation QR . . . . . . . .1869.2.4 Moindres carr
´es lin´eaires via une SVD . . . . . . . . . . . . . . . . . .1889.2.5 Que faire siFTFn"est pas inversible? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191
9.2.6 R
´egularisation de probl`emes mal conditionn´es . . . . . . . . . . . .191 9.3 M´ethodes it´eratives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192
9.3.1 Moindres carr
´es s´eparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1929.3.2 Recherche unidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1939.3.3 Combinaison de recherches unidimensionnelles. . . . . . . . . . .
1979.3.4 M
´ethodes fond´ees sur un d´eveloppement de Taylor du coˆut .1999.3.5 Une m
´ethode qui peut traiter des coˆuts non diff´erentiables . .2149.4 Compl
´ements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .217
9.4.1 Optimisation robuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2179.4.2 Optimisation globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2209.4.3 Optimisation avec un budget serr
´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2229.4.4 Optimisation multi-objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2249.5 Exemples MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2259.5.1 Moindres carr
´es sur un mod`ele polynomial multivari´e. . . . . .2259.5.2 Estimation non lin
´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2349.6 En r
´esum´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .239
10 Optimiser sous contraintes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24310.1.1 Analogie topographique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24310.1.2 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24410.1.3 Propri
´et´es souhaitables de l"ensemble admissible. . . . . . . . . .245Table des mati
`eres xiii10.1.4 Se d
´ebarasser de contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24510.2 Conditions th
´eoriques d"optimalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24710.2.1 Contraintes d"
´egalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24710.2.2 Contraintes d"in
´egalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25110.2.3 Cas g
´en´eral : conditions KKT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25410.3 R
´esoudre les´equations KKT avec la m´ethode de Newton . . . . . . . . .25510.4 Utiliser des fonctions de p
´enalisation ou barri`eres. . . . . . . . . . . . . . . .25510.4.1 Fonctions de p
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