[PDF] GEA II - Introduction aux probabilités

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I.U.T.de SCEAUX

G.E.A.2 Lile annFe

ONDNane AO4:VSI

T.r. L b AnaDsée tocèNnaxoNle

E1eltNte L bL

'eLntrpiesL eL,gatsdLéeclLtsLu

g"LNoégNliNLëLftbgqecNdL gsdLcsL30levL eLmàLn3grpNedjLcsLftbgqecNLtnncégslLcseLdecveLn3grpNeLê

p"LNoégNliNLèLdgndLxL tdLi esli.cedLeslNeLALNgs tssecNdjLcsLNgs tssecNLs1gbgslL.c1csLdgnLxL tdLê

n"LNoégNliNLJLptsptsdLi esli.cedLégNriL(Les,gsldjLcsLdecvLes,gslLseLétcfgslLégdLgftiNLvedLJLê

"LtplesiNLcsLdiqveL eLTLvellNedLgfenLvedLvellNedL!j)jDLê e"LtplesiNLcsLstrpNeL eL(Ln3i,,NedLgfenLvedLn3i,,NedLltcdL idlisnldLê

,"L gsdLveL eddisLniL eddtcdjLgvveNL eLDLxLXLesLclividgslLveLn3erisLveLévcdLntcNljLesLseLdcifgslL.ceL

vedLLLLLlNgildLlNgnodLêLLLLLLLLLLLL

E1eltNte 2 bL

=seLrgisLedlLcsLesderpveL eLëLngNled"L»sLliNeLcseLrgisL gsdLcsLég.celL eL(JLngNled" :trpiesLg2l2tsL eLrgisdL i,,oNesledLétddipvedLêL

4gNriLnevvedLniLu

g"LntrpiesLtslLcsLNtiLê p"LntrpiesLtslLgcLrtisdLcsLNtiLê n"LntrpiesLtslLveLNtiL eLntecNLê "LntrpiesLtslLgcLrtisdLcsLntecNLê e"LntrpiesLtslLcsLNtiLelLcsLntecNLê

E1eltNte R bL

:trpiesL eLrtldL5csLrtlLedlLcsLgdderpvgqeL eLvellNedjLégNLe6eréveuL7L8k.qLEedlLcsLrtl"L eLTLvellNedLéeclL

tsLonNiNeLê :trpiesLtslL(L,tidLvgLrhreLvellNeLê

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G.E.A.2 Lile annFe

ONDNane AO4:VSI

T.r. 2 b slétatNDNoFc FDFèenoaNlec

Exel1N1e L bL

'eLntrpipsL Ln,gsaiLd,eiLéeLcaéLdaL luLL"éaNNaLaisLN,Logrë,ëpNpsfLdb,qrpgLLL3 ,0L L,iLv

ë0L,éLmrpeiLlL,iLv

n0LlLgrpiLasLàLd,maLv j0LéeLgrpLasLéeLopêéaLv

Exel1N1e 2 bL

è,eiLéeaLégeaLpNLxL,L.LëréNaiLqagsaiALlLëNaéaiALasL Lgré1aiu ,0LéeaLdaLnt,êéaLnréNaégLaeLspg,esLéeaLorp1efaLdaL Lv

d0LTLqagsaiAL!,qanLT)DALoépiLT)àALoépiLT)lALoépiLT) 0L,qanLN,LgJ1Na3LXLreLspgaLéeaLëréNaALipLaNNaLaisL

LLLLLqagsaLreLN,L1,gdaALipereLreLN,LgamasL=ALi,nt,esLêéaLNbreLj,psL Lspg,1aiLv

Exel1N1e R bL

Exel1N1e 3 b

,0LéeLdréëNaLv

ë0LéeLlLasLéeL4Lv

n0LéeaLirmmaLf1,NaL(L4LvLLLL(5Lv

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Liliane ALFONSI

T.D. 4 : Vrbsasiliéto cbndiéibnnelleo .

Eèercice x :

L'entrpiss tr,gar,dar,éarippi'intt scril ur" trp'eNiNn"ncotrtënlisc tf

v trpiss trm r"àippi' n"rescr" trp'eNiNn"ncotr' tp ucnl trjqarééqargdqarm rp'eleêë 'rësrueë'crun'uënc0

èsrueë'crun'uëncrir"n ëarêë "" r tcr"irpiss r"irp"ëtrp'eNiN" rpi'xnr,gar,dar,ér.

Eèercice 2 :r

Aistr" rpi1trm rJ ""e("ismarësrTexx rirgruTisu rtë'rdrmà!c' rN"esmr crës r) xx rgruTisu rtë'ré0

DeëtrmoNi'êë Xrmistr"iruipnci" rJ ""e(ce(sr crleëtrip 'u l Xrm r"ensrësrTiNnciscrN"esm0

=ë "" r tcr"irp'eNiNn"ncorêë ru rtencrës r) xx r.

Eèercice 4 :r

èsrc tcrLr tcrm tcnsor"ruesc'»" 'rtnrësr'ol n"ro" uc'esnêë r tcreërsesrmo) ucë ë:0

Aistr"àëtns rm rp'emëucnesaresriruestcicoriër)n"rm tristrêë r"irp'epe'cnesrm r'ol n"tr)iN'nêëotr srNesrocicrm rxi'uT r

tcrceë2eë'trm r:0

4 rc tcrLrmoc uc rësrxiëlintr)esucness x scrmistr5bqrm truitre6r" r'ol n"r tcrmo) ucë ë:ar crmistréqrm truitre6r" r

'ol n"r)esucness rue'' uc x sc0

=ë "" r tcr"irp'eNiNn"ncorêëàësr'ol n"armoc ucorsesrli"iN" rpi'rLartencr sr)incr srNesrocicr.

Eèercice 1 :r

èsrp'e) tt ë'rxi"r'ol n""oart r' smruTiêë rxicnsrm rtesrmexnun" r7r"r"à8èLarmotnksorpi'rvaril urgruTisu rtë'rdrm r

p' sm' r" rNesruT xnsr"ruTiêë rui'' )eë'0 =ë "" r tcr"irp'eNiNn"ncorêëàn"ri''nl r srvr.

v rxicnsrn"r tcrNn sri''nlor"r"à8èLarêë "" r tcr"irp'eNiNn"ncorêëàn"rtencrpittorpi'rEr.

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Liliane ALFONSI

T.D.4 L:iV diVrbséeV.

Etebrire o4

L'entrrterpis e,sgat edteéi''cstleu"cNoteësftepc,,iprtebeqpc'aeécs ea"cNote3eai0rtebeqpc'ale

votfet refmt ,àpc'atedtejcs'eêeèmàacprerx,teêee

Etebrire 2 4

èce,pi.c.sfsràe,iopeo'tecé,ioftedmArptedàqtaroto tet re1J(Tlee!isre)efte'ié.ptedteécoDcs t e

cé,ioft edc' eft efir edterpis levomtfftet refcefisedte)eêe!i'et ,àpc'ateêe!ceDcpsc'ateêe

Etebrire c 4

e!isre)eo'et'rstpecoe"c cpdet'rptebetrebXlevotfftet refcefisedte)eêe ceqi'arsi'edtepà,cprsrsi'eêe

Etebrire è 4

='ea"tDcfecefce,pi.c.sfsràeXJ"edtejcj'tpeo'teaiop tJee coqedc' efteac ei»esfece,tpdoefceaiop te

,pàaàdt'rtecoNotfeac esfe'mce,fo eNoteXJ:le2'Dcs'aoedtefce cs i'eatea"tDcfe,pà,cpterpis e aiop t levotfftet refceds rps.orsi'edtefceDcpsc.ftecfàcrispte4e )e5e'ié.ptedteaiop t ejcj'àt e opeft erpis eeeeeeeêe !i'et ,àpc'ateêe!ceDcpsc'ateêe

Etebrire x 4

6c' eo'efiredtebXXe,sgat Jei'et'ea"is srebXecoe"c cpdlevotfftet refce,pi.c.sfsràedmcDispe7e

,sgat eécoDcs t e opeft eds8e sefmi'e o,,i te4e

ckei'e,pt'deft ebXe,sgat et'eo'te tofteqis etrei'e csreNomsfexeceDs'jre,sgat edàqtaroto t e,cpése

ft ebXXeêe .kesfexecet'Dspi'e7Xe,iopeat'redte,sgat edàqtaroto t edc' efce,pidoarsi'et'ejà'àpcfeêe

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Liliane ALFONSI

T.D. 4 : Variables aléatoires discrètes .

Exercice 1 :

L'entreprise Tina Rassi , grande spécialiste du "petit papa Noël", fabrique pour le 30 Novembre, et loue à la journée,

pour les fêtes de fin d'année, des pères Noël robotisés pour distribuer les jouets aux enfants lors des arbres de Noël

des écoles et des collectivités.

Au 1er Janvier, en piteux état, ils partent à la casse . (Triste destin pour un père Noël ! ).

D'après une étude,l'entreprise sait qu'au mois de Décembre, la variable aléatoire X = " Nombre de clients par jour », obéit à la loi suivante:

X012345678

p0.050.050.10.050.20.30.10.10.05 Les frais de gestion et d'entretien de stock s'élèvent à 50 Euros par robot et par jour.

Sachant que le prix de location d'un père Noël pour la journée est de 300 Euros , quel est le stock de robots donnant

la meilleure espérance de gain total par jour ? (on calculera l'espérance du gain pour un stock de 1 père Noël, de 2

pères Noël, de 3,de 4, 5,6,7, et 8 pères Noël ).

Exercice 2 :

Au 1er Décembre 2000, l'entreprise possèdera 6 robots dont chacun aura, chaque jour de sa brève existence, 95% de

chances d'être en état de marche.

Soit Y la variable aléatoire : " Nombre de pères Noël en état de marche chaque jour de Décembre ».

Donner toutes les valeurs de Y et les probabilités qui s'y rattachent.

Exercice 3 :

Soit Z la variable aléatoire : " Nombre de pères Noël loués effectivement par jour ».

Quelle est la loi de Z ? , son espérance ? , son écart type ? , sa variance ? sa fonction de répartition ?

Exercice 4 :

On prévoit pour un autre objet, une vente V qui peut atteindre 1000 objets, 2000 objets, ou 3000 objets, avec les

probabilités respectives de 0,25; 0,5; 0,25. Le bénéfice unitaire B, peut être de 100 Euros, avec la probabilité 1/6,

200 Euros, avec la probabilité 1/4,

300 Euros, avec la probabilité 1/3,

400 Euros, avec la probabilité 1/4.

Quelle est la loi de CA=V.B ? sa fonction de répartition ? Comparer E(V.B) à E(V).E(B). Conclusion?

Exercice 5 :

Soient X et Y, 2 variables aléatoires indépendantes, dont les lois sont données par les tableaux suivants:

X0123Y012

proba1/41/41/41/4proba1/31/31/3 Donner laloi de X+Y, sa fonction de répartition, son espérance, sa variance . A

510= 30240:

C

67= 7:

C

23= 3:

3

4= 81:

A

310= 720:

C

28= 28:

????? ?? ?????? ????? ?? ?????Card( Card( ) =C532= 201376: n

1= 4;p1= 1?

n

2= 324 = 28;p2= 51 = 4?

C

14C428= 81900:

n

1= 4;p1= 0?

n

2= 324 = 28;p2= 50 = 5?

C

04C528= 98280:

20137698280 = 103096

Card(A) = Card(

)Card(A) n

1= 1;p1= 1?

n

2= 321 = 31;p2= 51 = 4?

C

11C431= 31465

?? ? ?31465????? ???? ?? ??? ?? ????? n

1= 8;p1= 0?

n

2= 328 = 24;p2= 50 = 5?

C

08C524= 42504:

20137642504 = 158872

?? ? ?158872????? ???? ?? ????? ?? ????? ?????? ????? ?????? ??? ???? ?? ??? ?? ?????n1= 1? ?????? ????? ?????? ??????n2= 81 = 7? ?????? ????? ?????? ?????n3= 41 = 3? ???? ?? ???? ?? ??????? ?p 1p 2p 3p 1000C

11C07C03C021= 10110C

1 + 21 = 22:

p 1p 2p 3p 1202C

11C27C03C221= 44101301C

11C37C03C121= 7351400C

11C47C03C021= 350311C

01C37C13C121= 22050410C

4410 + 735 + 35 + 2205 + 105 = 7490:

n p= 264= 456976 E ?? ????A=f??? ???? ???? ?g;B=f??? ???? ???? ?g? ?? ?????? ?? ???? ????E?? ????M???card(A[B)? ?? ??????? ?? ??????? ? card(A[B) = card(A) + card(B)card(A\B) ?????? ?? card(A)? ??? ???? ????E? ?????? ???? ??????E?n1= 1;p1= 0? ?????? ?? card(B)? ??? ???? ????M? ?????? ???? ??????M?n1= 1;p1= 0? ?????? ?? card(A\B)? ??? ???? ????E??M? ?????? ????? ???????E;M?n1= 1;p1= 0? card(A[B) =C01C425+C01C425C01C424

45697614674 = 442302:

2625C14= 2600

Card( ) =C332= 4960 p(A) =Card(A)Card( =C34C028C

332= 4=4960

1p 20C

24C128= 16830C

34C028= 4?? ???? ?? ????? ?

168 + 4 = 172

?????? ? ? ??? ???? n1= 4;p1= 2 ?????? ? ? ??? ?????n2= 4;p2= 1 C

24C14C024= 24:

?????? ? ? ??? ? ?????n1= 4;p11 ?????? ? ? ??? ??n2= 4;p21 1p 2p 111C

14C14C124= 384102C

14C04C224= 1104210C

24C14C024= 24201C

24C04C124= 144300C

34C04C024= 4?? ????? ?? ?

384 + 1104 + 24 + 144 + 4 = 1660

??1660=4960? ?????? ? ? ?? ??? ?? ?????n1= 1 ?????? ? ? ??? ????? ????n2= 3 ?????? ? ? ??? ?????? ??????n3= 7 ?? ???? ?? ??????? ??? ??? ?p 1p 2p 3p 1002C

14C04C07C221= 8400111C

?? ????? ??? ??1428=4960 ?? ?n1= 4?????? ???????n2= 2?????? ?????? ??n3= 3?????? ??????? ?? Card( ) =C39= 84:

A=fp1= 1;p2= 1;p3= 1g

Card(A) =C14C12C13= 24:

p(A) =Card(A)Card( =2484 =27 Card( ) = 9

3= 729:

?? ????? ????p(V) = 4=9?p(B) = 2=9??p(R) = 3=9? p(V;B;R) =p(V)p(B)p(R) = 24=729: p(V)p(B)p(R)

3!(24=729) = 144=729:

???? ?? ?????VVV(k= 3)2=7V(k= 2)5=73=8VV(k= 2)3=8V(k= 1)5=85=84=9VVV(k= 2)3=8V(k= 1)5=84=9VV(k= 1)4=9V(k= 0)5=95=95=9P(k= 3) = 4=93=82=7

= 1=21'0;05

P(k= 2) = 4=93=85=7 + 4=95=83=8 + 5=94=93=8

= 955=3024'0;32

P(k= 1) = 4=95=85=8 + 5=94=95=8 + 5=95=94=9

= 5425=11664'0;47

P(k= 0) = 5=95=95=9

= 125=729'0;17 pM1?? ????? ??M2?? ?????=p(M1?? ?????)p(M2?? ?????) = 2%2%

410000

?????? A1?????? ? ????? ?? ????? ??A2?????? ? ????? ?? ?????? ?? ??????? ???? ??????? ????? ????? p(A1??A2) =p(A1) +p(A2)p(A1??A2)

2(2=100)2(2=100)4'810000

999210000

=f1;2;3;4;5;6g ???? ??????? ??? ?? ?????? ???????(x;y)??x2 ;y2 ????? ????7????6=36? 1P

1\C0;07P

1\C10;070;25P

2P

2\C0;33P

2\C10;330;25P

3P

3\C0;12P

P

C(P1) =PP1\CP(C)

P(C) =PP1\C+PP2\C+PP3\C

= 0;250;07 + 0;250;33 + 0;500;12 = 0;16: P

C(P1) =PP1\CP(C)=0;250;070;16'0;11

P

C(P2) =PP2\CP(C)=0;250;330;16'0;52

P

C(P3) =PP3\CP(C)=0;500;120;16'0;38

?????P2?

P(B) =PB\H+PB\F

= 1=21=2 + 1=21=3 = 5=12: P

B(F) =PF\BP(B)=1=21=35=12= 0;40:

P(T) =PT\D+PT\D

= 0;95(1x) + 0;03x = 0;950;92x: P TD =PD\TP(T)=0;03x0;950;92x=3x9592x: P(C) = (1=2)4+ (1=2)21 + (1=2)21 = 1=16 + 1=4 + 1=4 = 9=16: ????? ??????? ??? ?????? ??C?? ??????? ???B?

P(B\C) = (1=2)21 = 1=4:

P

C(B) =P(B\C)P(C)=1=49=16=49

??????? ??????? ???? ?????? ???X1???? ? X 1( ) =f1;1g

P(X1= 1) = 1=2

P(X1=1) = 1=2:

E(X1) =P(X1= 1)1 +P(X1=1)(1)

= 1=21=2 = 0: E (X1)2=P(X1= 1)12+P(X1=1)(1)2 = 1=2 + 1=2 = 1:

V(X1) =E(X1)2E(X1)2

= 102 = 1: ?????X=X1+X2+X3????? ?? ???? ?????? ???? ??? ????? ??????? ?????

E(X) =E(X1+X2+X3)

=E(X1) +E(X2) +E(X3) = 3E(X1)

V(X) =V(X1+X2+X3)

=V(X1) +V(X2) +V(X3) = 3V(X1)

V(X) = 3:

(X) =p3'1;732:

E(X1) =p= 0;035;

V(X1) =pp2=p(1p) = 0;0350;965:

X( ) =f0;1;2;3g; ?? ???? ????? ??????k???X???? ??????? ?

P(X=k) =Cknpk(1p)nk:

P(X= 0) = (0;965)3

P(X= 1) = 30;035(0;965)2

P(X= 2) = 3(0;035)20;965

P(X= 3) = (0;035)3

E(X) = 3E(X1)

= 30;035

V(X) = 3V(X1)

= 30;0350;965: X( ) =f1;2;:::;10g:

P(X=k) = 1=10:

F(t) =P(X < t) =8

:0??t1 k=10??1k9??k < tk+ 1

1??t >10:

X( ) =f0;1;2;3g

V(X= 2)0;40;6

VV(X= 2)0;4

V(X= 1)0;60;40;6

VVV(X= 2)0;6

V(X= 1)0;40;4

VV(X= 1)0;4

V(X= 0)0;60;60;4

P(X= 0) = (0;40;60;6)

= 144=1000

P(X= 1) = (0;60;40;6) + (0;40;40;4) + (0;40;60;4)

= 304=1000

P(X= 2) = (0;60;60;4) + (0;60;40;4) + (0;40;40;6)

= 336=1000

P(X= 3) = (0;60;60;6)

= 216=1000 ?? ???????E(X)???? ????? ??? ?

E(X) = 3P(X= 3) + 2P(X= 2) + 1P(X= 1) + 0P(X= 0)

= 32161000 + 23361000 + 13041000 = 1;624: ?? ??????? ?????E(X2)? E(X2) = 32P(X= 3) + 22P(X= 2) + 12P(X= 1) + 02P(X= 0) = 92161000 + 43361000 + 13041000 = 3;592:

V(X) =EX2E(X)2

= 3;5921;6242

V(X) = 0;955:

?? ???? ???? ??????? ??? ???? ???? ???????g= (X= 2)

P(A) =Card(A)Card(

C220C880C

10100'0;318:

P(X= 2) =C210(0;2)2(0;8)8'0;302:

V= min(X;S):

G= 300V50S:

E(V) = 300E(V)50S:

?? S= 1? ??? ??????? ???V???? ??????? ???? ? V( ) =f0;1g; p(V= 0) = 0:05; p(V= 1) = 0:95:

E(V) = 0:95:

?? S= 2??? ??????? ???V???? ??????? ???? ? V( ) =f0;1;2g; p(V= 0) = 0:05; p(V= 1) = 0:05; p(V= 2) = 0:90:

E(V) = 1:85:

?? S= 3? ?? ??????? ?

E(V) = 2:65:

?? S= 4? ?? ??????? ? E(V) = 3:40:?? ??? ????? ????? ?? ?? ???? ??? ? ???? ????? ?? ????? ?? ??????? ??? ?? ?????? ?? ???? ?? S= 5? ?? ??????? ?

E(V) = 3:95:

?? S= 6? ?? ??????? ?

E(V) = 4:20:

?? S= 7? ?? ??????? ?

E(V) = 4:35:

?? S= 8? ?? ??????? ?

E(V) = 4:40:

21:85455

32:65645

43:40820

53:95935

64:20960

74:35955

84:40920

P(Y=k) =Ck6(0:95)k(0:05)6k:k0 1 2 3 4 5 6

Z= min(X;Y):

?Z= 0?? ? ?Y= 0??X0? ?? ?Y1??X= 0? ?Z= 1?? ? ?Y= 1??X1? ?? ?Y2??X= 1? ?Z= 2?? ? ?Y= 2??X2? ?? ?Y3??X= 2? ?Z= 3?? ? ?Y= 3??X3? ?? ?Y4??X= 3? ?Z= 4?? ? ?Y= 4??X4? ?? ?Y5??X= 4? ?Z= 5?? ? ?Y= 5??X5? ?? ?Y6??X= 5? ?Z= 6?? ? ?Y= 6??X6? ?p(Z= 0) =p(Y= 0??X0) +p(Y1??X= 0) ?p(Z= 1) =p(Y= 1??X1) +p(Y2??X= 1) ?p(Z= 2) =p(Y= 2??X2) +p(Y3??X= 2) ?p(Z= 3) =p(Y= 3??X3) +p(Y4??X= 3) ?p(Z= 4) =p(Y= 4??X4) +p(Y5??X= 4) ?p(Z= 5) =p(Y= 5??X5) +p(Y6??X= 5) ?p(Z= 6) =p(Y= 6??X6) ?p(Z= 0) =p(Y= 0)p(X0) +p(Y1)p(X= 0) ?p(Z= 1) =p(Y= 1)p(X1) +p(Y2)p(X= 1) ?p(Z= 2) =p(Y= 2)p(X2) +p(Y3)p(X= 2) ?p(Z= 3) =p(Y= 3)p(X3) +p(Y4)p(X= 3) ?p(Z= 4) =p(Y= 4)p(X4) +p(Y5)p(X= 4) ?p(Z= 5) =p(Y= 5)p(X5) +p(Y6)p(X= 5) ?p(Z= 6) =p(Y= 6)p(X6) ???? ?????? ?? ??????? ?? ??????? ?? ?? ??? ??Z?k0 1 2 3 4 5 6 E(Z) = 00:050+10:050+20:10+30:052+40:22+50:35+60:19 = 4:176'4:2: E(Z2) = 00:050+10:050+40:10+90:052+160:22+250:35+360:19 = 20:028:

V(Z) =E(Z2)E(Z)2= 20:0284:1762= 2:589024'2:6:

Y4,(Y= 4)??(Y= 5)??(Y= 6):

E(X+Y) =E(X) +E(Y);

V(X+Y) =V(X) +V(Y):

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